0:00:00.000,0:00:05.090
在这期的视频中 我们将介绍

0:00:05.090,0:00:14.340
一个非常有趣的定理 勾股定理

0:00:14.340,0:00:16.850
当你越来越多地学习数学的时候你会发现

0:00:16.850,0:00:21.700
它是数学的基本定理之一

0:00:21.740,0:00:26.570
它在几何学中很有用 是三角学的基础

0:00:26.570,0:00:30.460
你们会用它去计算两点间

0:00:30.480,0:00:33.990
所以我们最好把它学好

0:00:33.990,0:00:36.670
这就是我要说的

0:00:36.670,0:00:38.110
让我告诉你们什么是勾股定理

0:00:38.130,0:00:44.010
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形

0:00:44.010,0:00:47.170
就是说

0:00:47.170,0:00:50.970
三个角中必须有一个是90度

0:00:50.970,0:00:56.150
你画一个小方块来表示它是90度

0:00:56.220,0:00:59.310
所以这里是 让我用一个不同的颜色

0:00:59.350,0:01:05.690
一个90度角

0:01:05.730,0:01:13.360
或者 我们可以叫它直角

0:01:13.380,0:01:15.320
有一个直角的三角形叫做直角三角形

0:01:15.360,0:01:21.090
所以这叫做直角三角形

0:01:21.090,0:01:23.860
根据勾股定理

0:01:23.910,0:01:26.760
如果我们知道一个直角三角形的两边

0:01:26.820,0:01:32.560
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前

0:01:32.580,0:01:35.880
让我再介绍一个术语

0:01:35.900,0:01:39.440
90度角相对的边

0:01:39.480,0:01:44.540
是直角三角形中最长的

0:01:44.600,0:01:49.290
所以在这个例子中 就是这条边

0:01:49.340,0:01:53.080
这是最长的边

0:01:53.100,0:01:56.260
找到直角 它面对着那个最长边

0:01:56.260,0:02:00.930
那个最长边叫做斜边

0:02:00.970,0:02:05.380
这个最好记住 因为会经常用到

0:02:05.430,0:02:08.740
所以我们会很擅长找斜边

0:02:08.740,0:02:11.700
让我再画几个直角三角形

0:02:11.730,0:02:15.170
现在我有这样一个三角形

0:02:15.170,0:02:19.270
让我把它画得更好看一些

0:02:19.310,0:02:23.060
我有这样一个三角形

0:02:23.100,0:02:25.130
这个角是90度

0:02:25.160,0:02:30.760
这种情况下 这是斜边

0:02:30.760,0:02:35.080
因为它对着90度角 它是最长边

0:02:35.110,0:02:38.840
让我再画一个 让我们更好地找出斜边

0:02:38.840,0:02:42.250
这是我的三角形

0:02:42.250,0:02:45.570
这是90度角

0:02:45.570,0:02:47.710
我相信你们已经知道该怎么做了

0:02:47.710,0:02:51.260
找它相对的

0:02:51.310,0:02:56.750
这是最长边 就是斜边

0:02:56.770,0:03:00.130
当你找到斜边

0:03:00.170,0:03:03.240
我们把它叫做C 现在我们来学习

0:03:03.280,0:03:05.050
勾股定理告诉了我们什么

0:03:05.090,0:03:08.240
我们让C等于斜边的长度

0:03:08.290,0:03:11.420
让我们把它叫做C

0:03:11.420,0:03:13.900
把这个边叫做

0:03:13.950,0:03:16.950
把这个边叫做A

0:03:17.020,0:03:21.410
这个边叫B

0:03:21.460,0:03:26.480
勾股定理告诉我们 A的平方

0:03:26.520,0:03:28.760
一条直角边

0:03:28.800,0:03:31.010
一个直角边的平方

0:03:31.040,0:03:36.740
加上另一个直角边的平方

0:03:36.760,0:03:41.140
等于斜边的平方

0:03:41.160,0:03:43.600
现在让我们举一个实例

0:03:43.600,0:03:45.470
你们就会发现其实没那么难

0:03:45.540,0:03:47.930
我有这样一个三角形

0:03:47.930,0:03:50.840
让我把它画出来

0:03:50.840,0:03:57.080
这就是我的三角形 它看起来像这样

0:03:57.080,0:04:00.520
这里是直角

0:04:00.540,0:04:03.400
这条边 让我用些不同的颜色

0:04:03.480,0:04:08.890
这条边长是3这条边是4

0:04:08.910,0:04:10.940
要让我们求出

0:04:10.940,0:04:14.400
让我们找出这条边的边长

0:04:14.440,0:04:17.070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

0:04:17.090,0:04:19.360
是要保证你有斜边

0:04:19.360,0:04:22.140
你要知道

0:04:22.180,0:04:23.200
你要求解什么

0:04:23.240,0:04:26.290
在这种情况下 我们是要计算斜边

0:04:26.320,0:04:28.480
我们知道是因为 这条边是

0:04:28.550,0:04:33.070
直角所对的边

0:04:33.110,0:04:36.510
如果我们来看勾股定理 这是C

0:04:36.510,0:04:39.540
这是最长边 现在我们就可以

0:04:39.540,0:04:42.100
使用勾股定理了

0:04:42.160,0:04:49.260
它告诉我们 一条直角边 4的平方

0:04:49.260,0:04:53.290
加上另一条直角边 3的平方

0:04:53.290,0:04:56.230
等于较长边的平方

0:04:56.300,0:05:00.270
也就是斜边的平方 等于C的平方

0:05:00.270,0:05:02.460
求解出C

0:05:02.460,0:05:06.140
4的平方等于4乘以4

0:05:06.210,0:05:12.030
是16 3的平方等于3乘以3

0:05:12.030,0:05:17.400
是9

0:05:17.440,0:05:21.850
这等于C的平方 16加9是多少 是25

0:05:21.850,0:05:25.230
所以25等于C的平方

0:05:25.260,0:05:28.370
我们取两边的正根

0:05:28.370,0:05:33.150
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5

0:05:33.190,0:05:34.700
但是我们在做距离问题

0:05:34.740,0:05:36.710
所以只关心正根

0:05:36.740,0:05:39.570
所以我们取两边的算术平方根

0:05:39.620,0:05:44.520
得到5等于C

0:05:44.560,0:05:50.110
或者说 最长边等于5

0:05:50.110,0:05:52.110
现在 你可以用勾股定理

0:05:52.170,0:05:54.600
给出两边 求任意第三边

0:05:54.620,0:05:55.950
无论第三边是什么

0:05:56.010,0:05:58.160
让我们再举一个例子

0:05:58.160,0:06:03.800
这是我们的三角形

0:06:03.840,0:06:07.230
像这样

0:06:07.230,0:06:10.670
这样

0:06:10.670,0:06:15.450
这是直角

0:06:15.450,0:06:20.900
这条边长12 这条边长6

0:06:20.900,0:06:23.200
我们要求解

0:06:23.200,0:06:26.840
我们要求出这条边

0:06:26.890,0:06:30.010
像我说过的 你要做的第一件事是

0:06:30.040,0:06:31.460
找到斜边

0:06:31.520,0:06:33.790
它是直角所对的边

0:06:33.790,0:06:37.240
这里是直角 在直角的对面

0:06:37.240,0:06:41.530
最长边 斜边 就在这儿

0:06:41.600,0:06:45.030
如果我们考虑勾股定理

0:06:45.060,0:06:50.010
A的平方加上B的平方等于C的平方

0:06:50.010,0:06:53.510
你可以把12看成C这是斜边

0:06:53.550,0:06:56.870
C的平方是斜边的平方

0:06:56.870,0:06:58.640
你可以说12等于C

0:06:58.660,0:07:00.250
我们可以叫这些边 顺序无所谓

0:07:00.250,0:07:03.030
顺序无所谓一条为A 一条为B

0:07:03.090,0:07:07.180
就让我们把这条边叫A A的长度是6

0:07:07.230,0:07:12.790
让B 这个颜色的B的长度是未知的

0:07:12.840,0:07:14.910
现在我们可以应用勾股定理了

0:07:14.910,0:07:23.100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

0:07:23.100,0:07:28.010
等于斜边的平方

0:07:28.010,0:07:29.350
等于C的平方

0:07:29.350,0:07:35.390
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了

0:07:35.440,0:07:36.860
注意这里的区别

0:07:36.910,0:07:38.210
我们现在求的不是斜边

0:07:38.250,0:07:39.910
我们在求一条直角边

0:07:39.910,0:07:43.820
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C

0:07:43.820,0:07:46.230
所以要注意

0:07:46.230,0:07:48.360
A的平方加上B的平方等于C的平方

0:07:48.410,0:07:51.330
C是斜边的边长 现在我们来求B

0:07:51.390,0:07:59.450
6的平方等于36 加上B的平方

0:07:59.500,0:08:04.340
等于12的平方 12乘以12 等于144

0:08:04.340,0:08:09.110
两边同时减掉36

0:08:09.110,0:08:14.990
这里约掉了

0:08:15.060,0:08:18.400
左边只剩下B的平方

0:08:18.430,0:08:27.130
等于 144减去36 是多少 144减去30是114

0:08:27.160,0:08:29.800
再减去6 是108

0:08:29.800,0:08:36.030
这是108 那是B的平方

0:08:36.070,0:08:37.730
现在我们要它两边的算术平方根

0:08:37.760,0:08:39.820
或者正根

0:08:39.820,0:08:48.540
得到B等于108的算术平方根

0:08:48.540,0:08:50.720
现在看看我们可不可以化简

0:08:50.770,0:08:53.240
根号108

0:08:53.300,0:08:56.330
我们可以找出108的质因数分解式

0:08:56.330,0:08:58.010
然后看一下怎样可以化简这个根数

0:08:58.010,0:09:02.580
108等于

0:09:02.630,0:09:06.420
等于2乘以54

0:09:06.460,0:09:10.820
54等于2乘以27

0:09:10.850,0:09:15.330
27等于3乘以9

0:09:15.330,0:09:19.600
所以根号108 等于

0:09:19.630,0:09:25.360
根号下2乘以2哦 还没完

0:09:25.360,0:09:28.500
9可以被分解成3乘以3

0:09:28.500,0:09:33.390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

0:09:33.390,0:09:37.180
所以我们现在有几个完全平方式

0:09:37.180,0:09:38.750
让我把它写得工整些

0:09:38.750,0:09:41.000
这种化简根数的练习

0:09:41.000,0:09:44.270
你们在用勾股定理的时候会经常遇到

0:09:44.270,0:09:48.020
所以现在做没有坏处

0:09:48.050,0:09:55.460
这个等同于根号下2乘以2

0:09:55.460,0:10:02.240
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3

0:10:02.240,0:10:04.040
这是一样的

0:10:04.040,0:10:06.810
你不必把这些都写在纸上

0:10:06.810,0:10:09.020
你可以在脑中思考

0:10:09.020,0:10:11.430
这是多少2乘以2是4

0:10:11.460,0:10:15.900
4乘以9 是36 所以这是根号36

0:10:15.900,0:10:20.260
乘以根号3 36的算术平方根是6

0:10:20.310,0:10:25.130
所以这个化简成了6倍根号3

0:10:25.130,0:10:29.470
所以B的长 你可以把它写成根号108

0:10:29.470,0:10:35.360
或者你可以写成6乘以根号3

0:10:35.360,0:10:39.840
这是12 这是6

0:10:39.880,0:10:42.020
根号3是1点多

0:10:42.100,0:10:44.700
所以它会比6大一点点