-
Velkommen til presentasjonen
av 45-45-90-trekanter.
-
La meg skrive det ned.
Sånn. 45-45-90-trekanter.
-
Eller vi kunne sagt 45-45-90-rettvinklede
trekanter, men det er overflødig,
-
siden vi vet at alle trekanter med en
90-gradersvinkel i seg
-
er en rettvinklet trekant.
-
Og som du kan tenke deg, er
45-45-90 gradene i vinklene i trekanten.
-
Så hvorfor er disse trekantene spesielle?
-
Vel, hvis du så forrige presentasjon, ga
jeg et lite teorem som sa at
-
hvis to av grunnvinklene i en trekant
er like... det er vel bare grunnvinkler
-
Det er vel bare grunnvinkler
hvis du tegner det slik.
-
Du kan også tegne det som dette, og da er
det ikke så tydelig at de er grunnvinkler,
-
men det er fortsatt sant.
-
Hvis disse to vinklene er like,
så er sidene de ikke har felles,
-
så den siden og den siden
i dette eksempelet, eller den og den
-
i dette eksempelet...
da blir de to sidene like.
-
Så det som er interessant med en
45-45-90-trekant er at
-
den er en rettvinklet trekant
som har denne egenskapen.
-
Og hvordan vet vi at det er den eneste
rettvinklede trekanten med den egenskapen?
-
Vel, tenk deg en verden hvor jeg sier at
dette er en rettvinklet trekant.
-
$$Dette er 90 grader, så
dette blir hypotenusen.
-
$$Ikke sant, siden overfor
90-gradersvinkelen.
-
$$Og hvis jeg sier at disse to
vinklene er like hverandre,
-
$$hva må de være?
Vel, hvis vi kaller dem x,
-
$$vi vet at vinklene i en trekant i sum
blir 180, så vi sier x pluss x
-
pluss - dette er 90 - pluss 90,
er lik 180.
-
Eller 2 x pluss 90 er lik 180
-
$$Eller 2 x er lik 90,
eller x er lik 45 grader.
-
$$Så den eneste rettvinklede trekanten
hvor de to andre vinklene er like,
-
$$er en 45-45-90-trekant.
-
Så hva er interessant med
en 45-45-90-trekant?
-
Vel, i tillegg det jeg akkurat sa -
la meg tegne det på nytt slik.
-
Vi vet allerede at dette er 90 grader,
dette er 45 grader, dette er 45 grader.
-
Og ut fra det jeg sa vet vi også at sidene
45-gradersvinklene ikke deler, er like.
-
Så denne siden er lik denne siden.
-
Og hvis vi tenker på Pythagoras' teorem,
-
sier dette oss at de to sidene som ikke
er hypotenusen er like.
-
Så dette er hypotenusen.
-
La oss kalle denne siden A
og denne siden B.
-
Fra Pythagoras' teorem vet vi - la oss
kalle hypotenusen C -
-
Pythagoras' teorem sier oss at A i andre
pluss B i andre er lik C i andre.
-
Ikke sant?
-
Vel, vi vet at A er lik B, siden dette er
en 45-45-90-trekant.
-
Så vi kan bytte ut A med B eller B med A.
La oss bytte ut B med A.
-
Så vi kan si B i andre pluss B i andre
er lik C i andre.
-
Eller 2 B i andre er lik C i andre,
-
eller B i andre er lik
C i andre delt på 2.
-
$$Eller B er lik kvadratroten av
C i andre delt på 2,
-
$$som er lik C -- siden vi bare tar
kvadratrot av telleren
-
$$og kvadratroten av nevneren --
C delt på kvadratroten av 2.
-
$$Og faktisk, selv om dette handler om
trekanter, skal jeg gi dere litt
-
$$ekstrainformasjon om noe som kalles
rasjonalisering av nevnere.
-
$$Så dette er helt korrekt. Vi utledet
at B -- og vi vet også at A er lik B --
-
$$at B er lik C delt på kvadratroten av 2.
-
$$Men i størstedelen av matematikken,
og jeg forsto aldri helt hvorfor
-
$$det var slik, men folk liker ikke
kvadratroten av 2 i nevneren.
-
Eller generelt, de liker ikke
irrasjonelle tall i nevneren.
-
Irrasjonelle tall er tall med desimaler
som aldri gjentas og aldri slutter.
-
Så måten de blir kvitt
irrasjonelle tall i nevneren på
-
er at de rasjonaliserer nevneren.
-
Og måten du rasjonaliserer nevneren på --
la oss ta eksemplet vårt nå.
-
$$Vi hadde C over kvadratroten av 2,
vi bare ganger teller og nevner
-
$$med samme tall. Ikke sant? For å gange
teller og nevner med samme tall,
-
$$det er bare som å gange med 1.
Roten av 2 delt på roten av 2 er 1.
-
$$Og grunnen til at vi gjør dette
-
$$er at kvadratroten av 2 ganger
kvadratroten av 2 blir 2. Ikke sant?
-
$$Vi sa nettopp at noe ganger noe blir 2,
vel, roten av 2 ganger roten av 2 blir 2.
-
$$Og da er telleren
C ganger kvadratroten av 2.
-
$$Så merk at C ganger kvadraroten av 2
delt på 2 er det samme
-
$$som C over kvadratroten av 2.
-
$$Og dette er viktig, fordi i blant når du
tar en prøve, får du kanskje et svar
-
$$som ser slik ut, har kvadraroten av 2,
eller kanskje til og med kvadratroten av 3
-
eller kvadratroten av hva som helst,
i nevneren.
-
Og du ser kanskje ikke svaret ditt
hvis det er en flervalgsoppgave.
-
Det du må gjøre da er å
rasjonalisere nevneren.
-
Så multipliser teller og nevner
med kvadratroten av 2,
-
så får du kvadratroten av 2 delt på 2.
-
Men uansett, tilbake til oppgaven.
-
Hva lærte vi?
-
$$Dette er lik B, ikke sant?
-
$$Vi fant at B er lik C delt på
kvadratroten av 2 delt på 2.
-
La meg skrive det. A er lik B, ikke sant?
-
Og det er lik kvadratroten av 2 delt på 2
ganger C.
-
Du vil kanskje memorisere dette,
men du kan jo alltids utlede det,
-
hvis du bruker Pythagoras' teorem.
Husk at sidene som ikke er hypotenusen
-
i en 45-90-45-trekant er lik hverandre.
-
Men dette er veldig godt å vite.
Hvis du har en prøve,
-
og du må løse en oppgave skikkelig fort,
hvis du har memorisert dette
-
og du får hypotenusen, så kan du
finne sidene veldig fort.
-
Eller hvis du får en av sidene,
så kan du finne hypotenusen fort.
-
La oss prøve det. Jeg visker bort alt.
-
Nå lærte vi at A er lik B, er lik
kvadratroten av 2 delt på 2 ganger C.
-
Så hvis jeg gir deg en rettvinklet trekant
og sier at denne vinkelen er 90
-
og denne vinkelen er 45,
og denne siden er 8.
-
Jeg vil finne ut hva denne siden er.
-
Vel, først: Hvilken side er hypotenusen?
-
Hypotenusen er siden overfor
den rettvinklede trekanten,
-
så det er hypotenusen vi skal finne.
La oss kalle den C.
-
Og vi vet også at dette er en
45-90-45-trekant, ikke sant?
-
For denne vinkelen er 45,
så denne må også være 45,
-
siden 45 pluss 45 pluss 90 er lik 180.
-
Så dette er en 45-45-90-trekant,
og vi vet at en av sidene --
-
dette kan være A eller B -- vi vet at 8 er
lik kvadraroten av 2 delt på 2 ganger C.
-
C er det vi prøver å finne.
-
Så hvis vi ganger begge sider av ligningen
med 2 delt på kvadratroten av 2 --
-
jeg bare multipliserer med den inverse
til koeffisienten på C (tallet foran C).
-
Fordi denne kvadratroten av 2 stryker ut
den kvadratroten av 2,
-
og denne toeren stryker ut denne toeren.
-
Vi får 2 ganger 8, 16,
delt på kvadratroten av 2, er lik C.
-
Som er riktig. Men som jeg viste deg,
liker ikke folk å ha radikaler i nevneren.
-
$$Så vi kan si C er lik 16 delt på
kvadraroten av 2,
-
$$ganger kvadratroten av 2
delt på kvadratroten av 2.
-
$$Så dette er lik 16 kvadratrøtter av 2
delt på 2. Som er det samme som
-
$$8 kvadratrøtter av 2. Så C
i dette eksempelet er 8 kvadrøtter av 2.
-
$$Og vi vet også, siden dette er en
45-45-90-trekant, at denne siden er 8.
-
Håper det gir mening. I neste film
skal jeg vise deg en annen type trekant,
-
ellers så starter jeg med et par til
eksempler av dette, for jeg føler kanskje
-
jeg tok det litt fort.
Men uansett, ses neste gang.
