0:00:00.892,0:00:05.420
Velkommen til presentasjonen[br]av 45-45-90-trekanter.

0:00:05.420,0:00:14.442
La meg skrive det ned.[br]Sånn. 45-45-90-trekanter.

0:00:15.526,0:00:19.285
Eller vi kunne sagt 45-45-90-rettvinklede[br]trekanter, men det er overflødig,

0:00:19.285,0:00:22.440
siden vi vet at alle trekanter med en[br]90-gradersvinkel i seg

0:00:22.440,0:00:24.110
er en rettvinklet trekant.

0:00:24.110,0:00:30.660
Og som du kan tenke deg, er[br]45-45-90 gradene i vinklene i trekanten.

0:00:30.660,0:00:33.050
Så hvorfor er disse trekantene spesielle?

0:00:33.050,0:00:38.295
Vel, hvis du så forrige presentasjon, ga[br]jeg et lite teorem som sa at

0:00:38.295,0:00:46.409
hvis to av grunnvinklene i en trekant[br]er like... det er vel bare grunnvinkler

0:00:47.516,0:00:49.800
Det er vel bare grunnvinkler[br]hvis du tegner det slik.

0:00:49.800,0:00:53.164
Du kan også tegne det som dette, og da er[br]det ikke så tydelig at de er grunnvinkler,[br]

0:00:53.164,0:00:55.059
men det er fortsatt sant.

0:00:55.226,0:00:59.387
Hvis disse to vinklene er like,[br]så er sidene de ikke har felles,

0:00:59.387,0:01:03.071
så den siden og den siden[br]i dette eksempelet, eller den og den

0:01:03.071,0:01:06.616
i dette eksempelet...[br]da blir de to sidene like.

0:01:07.050,0:01:11.140
Så det som er interessant med en[br]45-45-90-trekant er at

0:01:11.140,0:01:13.900
den er en rettvinklet trekant[br]som har denne egenskapen.

0:01:13.900,0:01:18.241
Og hvordan vet vi at det er den eneste[br]rettvinklede trekanten med den egenskapen?

0:01:18.241,0:01:23.927
Vel, tenk deg en verden hvor jeg sier at[br]dette er en rettvinklet trekant.

0:01:24.140,0:01:28.030
$$Dette er 90 grader, så[br]dette blir hypotenusen.

0:01:28.030,0:01:32.140
$$Ikke sant, siden overfor[br]90-gradersvinkelen.

0:01:32.140,0:01:37.907
$$Og hvis jeg sier at disse to[br]vinklene er like hverandre,

0:01:37.907,0:01:41.940
$$hva må de være?[br]Vel, hvis vi kaller dem x,

0:01:41.940,0:01:46.857
$$vi vet at vinklene i en trekant i sum[br]blir 180, så vi sier x pluss x

0:01:46.857,0:01:52.256
pluss - dette er 90 - pluss 90,[br]er lik 180.

0:01:52.367,0:01:57.950
Eller 2 x pluss 90 er lik 180

0:01:57.950,0:02:04.595
$$Eller 2 x er lik 90,[br]eller x er lik 45 grader.[br]

0:02:05.500,0:02:10.789
$$Så den eneste rettvinklede trekanten[br]hvor de to andre vinklene er like,

0:02:10.789,0:02:16.622
$$er en 45-45-90-trekant.

0:02:17.990,0:02:22.680
Så hva er interessant med[br]en 45-45-90-trekant?

0:02:22.680,0:02:28.682
Vel, i tillegg det jeg akkurat sa - [br]la meg tegne det på nytt slik.

0:02:29.180,0:02:36.857
Vi vet allerede at dette er 90 grader,[br]dette er 45 grader, dette er 45 grader.

0:02:37.320,0:02:45.939
Og ut fra det jeg sa vet vi også at sidene[br]45-gradersvinklene ikke deler, er like.

0:02:45.939,0:02:49.560
Så denne siden er lik denne siden.

0:02:49.560,0:02:52.590
Og hvis vi tenker på Pythagoras' teorem,

0:02:52.590,0:02:57.709
sier dette oss at de to sidene som ikke[br]er hypotenusen er like.

0:02:57.710,0:03:00.975
Så dette er hypotenusen.

0:03:03.695,0:03:09.500
La oss kalle denne siden A[br]og denne siden B.

0:03:09.500,0:03:13.161
Fra Pythagoras' teorem vet vi - la oss[br]kalle hypotenusen C -

0:03:13.161,0:03:21.458
Pythagoras' teorem sier oss at A i andre[br]pluss B i andre er lik C i andre.

0:03:21.458,0:03:22.868
Ikke sant?

0:03:24.720,0:03:30.026
Vel, vi vet at A er lik B, siden dette er[br]en 45-45-90-trekant.

0:03:30.026,0:03:34.698
Så vi kan bytte ut A med B eller B med A.[br]La oss bytte ut B med A.

0:03:34.698,0:03:41.411
Så vi kan si B i andre pluss B i andre[br]er lik C i andre.

0:03:41.411,0:03:47.371
Eller 2 B i andre er lik C i andre,

0:03:47.371,0:03:54.821
eller B i andre er lik[br]C i andre delt på 2.

0:03:54.821,0:04:03.521
$$Eller B er lik kvadratroten av[br]C i andre delt på 2,

0:04:03.521,0:04:07.221
$$som er lik C -- siden vi bare tar[br]kvadratrot av telleren

0:04:07.221,0:04:10.601
$$og kvadratroten av nevneren --[br]C delt på kvadratroten av 2.

0:04:10.611,0:04:16.624
$$Og faktisk, selv om dette handler om[br]trekanter, skal jeg gi dere litt

0:04:16.624,0:04:19.910
$$ekstrainformasjon om noe som kalles[br]rasjonalisering av nevnere.

0:04:19.910,0:04:25.799
$$Så dette er helt korrekt. Vi utledet[br]at B -- og vi vet også at A er lik B --

0:04:25.810,0:04:29.490
$$at B er lik C delt på kvadratroten av 2.

0:04:29.490,0:04:33.894
$$Men i størstedelen av matematikken,[br]og jeg forsto aldri helt hvorfor

0:04:33.894,0:04:37.876
$$det var slik, men folk liker ikke[br]kvadratroten av 2 i nevneren.

0:04:37.876,0:04:41.540
Eller generelt, de liker ikke[br]irrasjonelle tall i nevneren.

0:04:41.540,0:04:46.964
Irrasjonelle tall er tall med desimaler[br]som aldri gjentas og aldri slutter.

0:04:46.964,0:04:50.670
Så måten de blir kvitt[br]irrasjonelle tall i nevneren på

0:04:50.670,0:04:53.700
er at de rasjonaliserer nevneren.[br]

0:04:53.700,0:04:56.106
Og måten du rasjonaliserer nevneren på --[br]la oss ta eksemplet vårt nå.

0:04:56.110,0:05:02.956
$$Vi hadde C over kvadratroten av 2,[br]vi bare ganger teller og nevner

0:05:02.956,0:05:08.185
$$med samme tall. Ikke sant? For å gange[br]teller og nevner med samme tall,

0:05:08.185,0:05:13.536
$$det er bare som å gange med 1.[br]Roten av 2 delt på roten av 2 er 1.

0:05:13.536,0:05:15.656
$$Og grunnen til at vi gjør dette

0:05:15.656,0:05:21.041
$$er at kvadratroten av 2 ganger[br]kvadratroten av 2 blir 2. Ikke sant?

0:05:21.041,0:05:26.111
$$Vi sa nettopp at noe ganger noe blir 2,[br]vel, roten av 2 ganger roten av 2 blir 2.

0:05:26.111,0:05:31.010
$$Og da er telleren[br]C ganger kvadratroten av 2.

0:05:31.010,0:05:34.420
$$Så merk at C ganger kvadraroten av 2[br]delt på 2 er det samme

0:05:34.420,0:05:37.150
$$som C over kvadratroten av 2.

0:05:37.150,0:05:43.660
$$Og dette er viktig, fordi i blant når du[br]tar en prøve, får du kanskje et svar

0:05:43.660,0:05:46.811
$$som ser slik ut, har kvadraroten av 2,[br]eller kanskje til og med kvadratroten av 3

0:05:46.811,0:05:49.550
eller kvadratroten av hva som helst,[br]i nevneren.

0:05:49.550,0:05:52.820
Og du ser kanskje ikke svaret ditt[br]hvis det er en flervalgsoppgave.

0:05:52.820,0:05:55.710
Det du må gjøre da er å[br]rasjonalisere nevneren.

0:05:55.710,0:05:57.990
Så multipliser teller og nevner[br]med kvadratroten av 2,

0:05:57.990,0:06:01.470
så får du kvadratroten av 2 delt på 2.

0:06:01.470,0:06:03.250
Men uansett, tilbake til oppgaven.

0:06:03.250,0:06:04.450
Hva lærte vi?

0:06:04.450,0:06:06.880
$$Dette er lik B, ikke sant?

0:06:06.880,0:06:13.306
$$Vi fant at B er lik C delt på[br]kvadratroten av 2 delt på 2.

0:06:13.306,0:06:18.000
La meg skrive det. A er lik B, ikke sant?

0:06:18.760,0:06:26.839
Og det er lik kvadratroten av 2 delt på 2[br]ganger C.

0:06:27.370,0:06:30.510
Du vil kanskje memorisere dette,[br]men du kan jo alltids utlede det,

0:06:30.510,0:06:35.736
hvis du bruker Pythagoras' teorem.[br]Husk at sidene som ikke er hypotenusen

0:06:35.736,0:06:40.110
i en 45-90-45-trekant er lik hverandre.

0:06:40.110,0:06:44.004
Men dette er veldig godt å vite.[br]Hvis du har en prøve,

0:06:44.004,0:06:47.707
og du må løse en oppgave skikkelig fort,[br]hvis du har memorisert dette

0:06:47.707,0:06:50.862
og du får hypotenusen, så kan du[br]finne sidene veldig fort.

0:06:50.862,0:06:54.127
Eller hvis du får en av sidene,[br]så kan du finne hypotenusen fort.

0:06:54.127,0:06:58.011
La oss prøve det. Jeg visker bort alt.

0:06:59.250,0:07:10.225
Nå lærte vi at A er lik B, er lik[br]kvadratroten av 2 delt på 2 ganger C.

0:07:10.225,0:07:18.375
Så hvis jeg gir deg en rettvinklet trekant[br]og sier at denne vinkelen er 90

0:07:18.731,0:07:27.758
og denne vinkelen er 45,[br]og denne siden er 8.[br]

0:07:28.570,0:07:32.670
Jeg vil finne ut hva denne siden er.

0:07:32.670,0:07:35.543
Vel, først: Hvilken side er hypotenusen?

0:07:35.543,0:07:39.620
Hypotenusen er siden overfor[br]den rettvinklede trekanten,

0:07:39.620,0:07:44.556
så det er hypotenusen vi skal finne.[br]La oss kalle den C.

0:07:44.556,0:07:47.560
Og vi vet også at dette er en[br]45-90-45-trekant, ikke sant?

0:07:47.560,0:07:50.180
For denne vinkelen er 45,[br]så denne må også være 45,

0:07:50.180,0:07:54.620
siden 45 pluss 45 pluss 90 er lik 180.

0:07:54.620,0:07:58.840
Så dette er en 45-45-90-trekant,[br]og vi vet at en av sidene --

0:07:58.840,0:08:10.051
dette kan være A eller B -- vi vet at 8 er[br]lik kvadraroten av 2 delt på 2 ganger C.

0:08:10.051,0:08:12.160
C er det vi prøver å finne.

0:08:12.160,0:08:17.848
Så hvis vi ganger begge sider av ligningen[br]med 2 delt på kvadratroten av 2 --

0:08:17.972,0:08:23.595
jeg bare multipliserer med den inverse[br]til koeffisienten på C (tallet foran C).

0:08:23.600,0:08:26.150
Fordi denne kvadratroten av 2 stryker ut[br]den kvadratroten av 2,

0:08:26.150,0:08:28.432
og denne toeren stryker ut denne toeren.

0:08:28.432,0:08:37.640
Vi får 2 ganger 8, 16,[br]delt på kvadratroten av 2, er lik C.

0:08:37.640,0:08:42.151
Som er riktig. Men som jeg viste deg,[br]liker ikke folk å ha radikaler i nevneren.

0:08:42.151,0:08:47.436
$$Så vi kan si C er lik 16 delt på[br]kvadraroten av 2,

0:08:47.436,0:08:51.290
$$ganger kvadratroten av 2[br]delt på kvadratroten av 2.

0:08:51.290,0:09:00.365
$$Så dette er lik 16 kvadratrøtter av 2[br]delt på 2. Som er det samme som

0:09:00.965,0:09:09.968
$$8 kvadratrøtter av 2. Så C[br]i dette eksempelet er 8 kvadrøtter av 2.

0:09:10.170,0:09:15.963
$$Og vi vet også, siden dette er en[br]45-45-90-trekant, at denne siden er 8.

0:09:16.331,0:09:20.704
Håper det gir mening. I neste film[br]skal jeg vise deg en annen type trekant,

0:09:20.704,0:09:24.367
ellers så starter jeg med et par til[br]eksempler av dette, for jeg føler kanskje

0:09:24.369,0:09:28.601
jeg tok det litt fort.[br]Men uansett, ses neste gang.