Velkommen til presentasjonen
av 45-45-90-trekanter.
La meg skrive det ned.
Sånn. 45-45-90-trekanter.
Eller vi kunne sagt 45-45-90-rettvinklede
trekanter, men det er overflødig,
siden vi vet at alle trekanter med en
90-gradersvinkel i seg
er en rettvinklet trekant.
Og som du kan tenke deg, er
45-45-90 gradene i vinklene i trekanten.
Så hvorfor er disse trekantene spesielle?
Vel, hvis du så forrige presentasjon, ga
jeg et lite teorem som sa at
hvis to av grunnvinklene i en trekant
er like... det er vel bare grunnvinkler
Det er vel bare grunnvinkler
hvis du tegner det slik.
Du kan også tegne det som dette, og da er
det ikke så tydelig at de er grunnvinkler,
men det er fortsatt sant.
Hvis disse to vinklene er like,
så er sidene de ikke har felles,
så den siden og den siden
i dette eksempelet, eller den og den
i dette eksempelet...
da blir de to sidene like.
Så det som er interessant med en
45-45-90-trekant er at
den er en rettvinklet trekant
som har denne egenskapen.
Og hvordan vet vi at det er den eneste
rettvinklede trekanten med den egenskapen?
Vel, tenk deg en verden hvor jeg sier at
dette er en rettvinklet trekant.
$$Dette er 90 grader, så
dette blir hypotenusen.
$$Ikke sant, siden overfor
90-gradersvinkelen.
$$Og hvis jeg sier at disse to
vinklene er like hverandre,
$$hva må de være?
Vel, hvis vi kaller dem x,
$$vi vet at vinklene i en trekant i sum
blir 180, så vi sier x pluss x
pluss - dette er 90 - pluss 90,
er lik 180.
Eller 2 x pluss 90 er lik 180
$$Eller 2 x er lik 90,
eller x er lik 45 grader.
$$Så den eneste rettvinklede trekanten
hvor de to andre vinklene er like,
$$er en 45-45-90-trekant.
Så hva er interessant med
en 45-45-90-trekant?
Vel, i tillegg det jeg akkurat sa -
la meg tegne det på nytt slik.
Vi vet allerede at dette er 90 grader,
dette er 45 grader, dette er 45 grader.
Og ut fra det jeg sa vet vi også at sidene
45-gradersvinklene ikke deler, er like.
Så denne siden er lik denne siden.
Og hvis vi tenker på Pythagoras' teorem,
sier dette oss at de to sidene som ikke
er hypotenusen er like.
Så dette er hypotenusen.
La oss kalle denne siden A
og denne siden B.
Fra Pythagoras' teorem vet vi - la oss
kalle hypotenusen C -
Pythagoras' teorem sier oss at A i andre
pluss B i andre er lik C i andre.
Ikke sant?
Vel, vi vet at A er lik B, siden dette er
en 45-45-90-trekant.
Så vi kan bytte ut A med B eller B med A.
La oss bytte ut B med A.
Så vi kan si B i andre pluss B i andre
er lik C i andre.
Eller 2 B i andre er lik C i andre,
eller B i andre er lik
C i andre delt på 2.
$$Eller B er lik kvadratroten av
C i andre delt på 2,
$$som er lik C -- siden vi bare tar
kvadratrot av telleren
$$og kvadratroten av nevneren --
C delt på kvadratroten av 2.
$$Og faktisk, selv om dette handler om
trekanter, skal jeg gi dere litt
$$ekstrainformasjon om noe som kalles
rasjonalisering av nevnere.
$$Så dette er helt korrekt. Vi utledet
at B -- og vi vet også at A er lik B --
$$at B er lik C delt på kvadratroten av 2.
$$Men i størstedelen av matematikken,
og jeg forsto aldri helt hvorfor
$$det var slik, men folk liker ikke
kvadratroten av 2 i nevneren.
Eller generelt, de liker ikke
irrasjonelle tall i nevneren.
Irrasjonelle tall er tall med desimaler
som aldri gjentas og aldri slutter.
Så måten de blir kvitt
irrasjonelle tall i nevneren på
er at de rasjonaliserer nevneren.
Og måten du rasjonaliserer nevneren på --
la oss ta eksemplet vårt nå.
$$Vi hadde C over kvadratroten av 2,
vi bare ganger teller og nevner
$$med samme tall. Ikke sant? For å gange
teller og nevner med samme tall,
$$det er bare som å gange med 1.
Roten av 2 delt på roten av 2 er 1.
$$Og grunnen til at vi gjør dette
$$er at kvadratroten av 2 ganger
kvadratroten av 2 blir 2. Ikke sant?
$$Vi sa nettopp at noe ganger noe blir 2,
vel, roten av 2 ganger roten av 2 blir 2.
$$Og da er telleren
C ganger kvadratroten av 2.
$$Så merk at C ganger kvadraroten av 2
delt på 2 er det samme
$$som C over kvadratroten av 2.
$$Og dette er viktig, fordi i blant når du
tar en prøve, får du kanskje et svar
$$som ser slik ut, har kvadraroten av 2,
eller kanskje til og med kvadratroten av 3
eller kvadratroten av hva som helst,
i nevneren.
Og du ser kanskje ikke svaret ditt
hvis det er en flervalgsoppgave.
Det du må gjøre da er å
rasjonalisere nevneren.
Så multipliser teller og nevner
med kvadratroten av 2,
så får du kvadratroten av 2 delt på 2.
Men uansett, tilbake til oppgaven.
Hva lærte vi?
$$Dette er lik B, ikke sant?
$$Vi fant at B er lik C delt på
kvadratroten av 2 delt på 2.
La meg skrive det. A er lik B, ikke sant?
Og det er lik kvadratroten av 2 delt på 2
ganger C.
Du vil kanskje memorisere dette,
men du kan jo alltids utlede det,
hvis du bruker Pythagoras' teorem.
Husk at sidene som ikke er hypotenusen
i en 45-90-45-trekant er lik hverandre.
Men dette er veldig godt å vite.
Hvis du har en prøve,
og du må løse en oppgave skikkelig fort,
hvis du har memorisert dette
og du får hypotenusen, så kan du
finne sidene veldig fort.
Eller hvis du får en av sidene,
så kan du finne hypotenusen fort.
La oss prøve det. Jeg visker bort alt.
Nå lærte vi at A er lik B, er lik
kvadratroten av 2 delt på 2 ganger C.
Så hvis jeg gir deg en rettvinklet trekant
og sier at denne vinkelen er 90
og denne vinkelen er 45,
og denne siden er 8.
Jeg vil finne ut hva denne siden er.
Vel, først: Hvilken side er hypotenusen?
Hypotenusen er siden overfor
den rettvinklede trekanten,
så det er hypotenusen vi skal finne.
La oss kalle den C.
Og vi vet også at dette er en
45-90-45-trekant, ikke sant?
For denne vinkelen er 45,
så denne må også være 45,
siden 45 pluss 45 pluss 90 er lik 180.
Så dette er en 45-45-90-trekant,
og vi vet at en av sidene --
dette kan være A eller B -- vi vet at 8 er
lik kvadraroten av 2 delt på 2 ganger C.
C er det vi prøver å finne.
Så hvis vi ganger begge sider av ligningen
med 2 delt på kvadratroten av 2 --
jeg bare multipliserer med den inverse
til koeffisienten på C (tallet foran C).
Fordi denne kvadratroten av 2 stryker ut
den kvadratroten av 2,
og denne toeren stryker ut denne toeren.
Vi får 2 ganger 8, 16,
delt på kvadratroten av 2, er lik C.
Som er riktig. Men som jeg viste deg,
liker ikke folk å ha radikaler i nevneren.
$$Så vi kan si C er lik 16 delt på
kvadraroten av 2,
$$ganger kvadratroten av 2
delt på kvadratroten av 2.
$$Så dette er lik 16 kvadratrøtter av 2
delt på 2. Som er det samme som
$$8 kvadratrøtter av 2. Så C
i dette eksempelet er 8 kvadrøtter av 2.
$$Og vi vet også, siden dette er en
45-45-90-trekant, at denne siden er 8.
Håper det gir mening. I neste film
skal jeg vise deg en annen type trekant,
ellers så starter jeg med et par til
eksempler av dette, for jeg føler kanskje
jeg tok det litt fort.
Men uansett, ses neste gang.