1
00:00:00,892 --> 00:00:05,420
Velkommen til presentasjonen
av 45-45-90-trekanter.

2
00:00:05,420 --> 00:00:14,442
La meg skrive det ned.
Sånn. 45-45-90-trekanter.

3
00:00:15,526 --> 00:00:19,285
Eller vi kunne sagt 45-45-90-rettvinklede
trekanter, men det er overflødig,

4
00:00:19,285 --> 00:00:22,440
siden vi vet at alle trekanter med en
90-gradersvinkel i seg

5
00:00:22,440 --> 00:00:24,110
er en rettvinklet trekant.

6
00:00:24,110 --> 00:00:30,660
Og som du kan tenke deg, er
45-45-90 gradene i vinklene i trekanten.

7
00:00:30,660 --> 00:00:33,050
Så hvorfor er disse trekantene spesielle?

8
00:00:33,050 --> 00:00:38,295
Vel, hvis du så forrige presentasjon, ga
jeg et lite teorem som sa at

9
00:00:38,295 --> 00:00:46,409
hvis to av grunnvinklene i en trekant
er like... det er vel bare grunnvinkler

10
00:00:47,516 --> 00:00:49,800
Det er vel bare grunnvinkler
hvis du tegner det slik.

11
00:00:49,800 --> 00:00:53,164
Du kan også tegne det som dette, og da er
det ikke så tydelig at de er grunnvinkler,


12
00:00:53,164 --> 00:00:55,059
men det er fortsatt sant.

13
00:00:55,226 --> 00:00:59,387
Hvis disse to vinklene er like,
så er sidene de ikke har felles,

14
00:00:59,387 --> 00:01:03,071
så den siden og den siden
i dette eksempelet, eller den og den

15
00:01:03,071 --> 00:01:06,616
i dette eksempelet...
da blir de to sidene like.

16
00:01:07,050 --> 00:01:11,140
Så det som er interessant med en
45-45-90-trekant er at

17
00:01:11,140 --> 00:01:13,900
den er en rettvinklet trekant
som har denne egenskapen.

18
00:01:13,900 --> 00:01:18,241
Og hvordan vet vi at det er den eneste
rettvinklede trekanten med den egenskapen?

19
00:01:18,241 --> 00:01:23,927
Vel, tenk deg en verden hvor jeg sier at
dette er en rettvinklet trekant.

20
00:01:24,140 --> 00:01:28,030
$$Dette er 90 grader, så
dette blir hypotenusen.

21
00:01:28,030 --> 00:01:32,140
$$Ikke sant, siden overfor
90-gradersvinkelen.

22
00:01:32,140 --> 00:01:37,907
$$Og hvis jeg sier at disse to
vinklene er like hverandre,

23
00:01:37,907 --> 00:01:41,940
$$hva må de være?
Vel, hvis vi kaller dem x,

24
00:01:41,940 --> 00:01:46,857
$$vi vet at vinklene i en trekant i sum
blir 180, så vi sier x pluss x

25
00:01:46,857 --> 00:01:52,256
pluss - dette er 90 - pluss 90,
er lik 180.

26
00:01:52,367 --> 00:01:57,950
Eller 2 x pluss 90 er lik 180

27
00:01:57,950 --> 00:02:04,595
$$Eller 2 x er lik 90,
eller x er lik 45 grader.


28
00:02:05,500 --> 00:02:10,789
$$Så den eneste rettvinklede trekanten
hvor de to andre vinklene er like,

29
00:02:10,789 --> 00:02:16,622
$$er en 45-45-90-trekant.

30
00:02:17,990 --> 00:02:22,680
Så hva er interessant med
en 45-45-90-trekant?

31
00:02:22,680 --> 00:02:28,682
Vel, i tillegg det jeg akkurat sa - 
la meg tegne det på nytt slik.

32
00:02:29,180 --> 00:02:36,857
Vi vet allerede at dette er 90 grader,
dette er 45 grader, dette er 45 grader.

33
00:02:37,320 --> 00:02:45,939
Og ut fra det jeg sa vet vi også at sidene
45-gradersvinklene ikke deler, er like.

34
00:02:45,939 --> 00:02:49,560
Så denne siden er lik denne siden.

35
00:02:49,560 --> 00:02:52,590
Og hvis vi tenker på Pythagoras' teorem,

36
00:02:52,590 --> 00:02:57,709
sier dette oss at de to sidene som ikke
er hypotenusen er like.

37
00:02:57,710 --> 00:03:00,975
Så dette er hypotenusen.

38
00:03:03,695 --> 00:03:09,500
La oss kalle denne siden A
og denne siden B.

39
00:03:09,500 --> 00:03:13,161
Fra Pythagoras' teorem vet vi - la oss
kalle hypotenusen C -

40
00:03:13,161 --> 00:03:21,458
Pythagoras' teorem sier oss at A i andre
pluss B i andre er lik C i andre.

41
00:03:21,458 --> 00:03:22,868
Ikke sant?

42
00:03:24,720 --> 00:03:30,026
Vel, vi vet at A er lik B, siden dette er
en 45-45-90-trekant.

43
00:03:30,026 --> 00:03:34,698
Så vi kan bytte ut A med B eller B med A.
La oss bytte ut B med A.

44
00:03:34,698 --> 00:03:41,411
Så vi kan si B i andre pluss B i andre
er lik C i andre.

45
00:03:41,411 --> 00:03:47,371
Eller 2 B i andre er lik C i andre,

46
00:03:47,371 --> 00:03:54,821
eller B i andre er lik
C i andre delt på 2.

47
00:03:54,821 --> 00:04:03,521
$$Eller B er lik kvadratroten av
C i andre delt på 2,

48
00:04:03,521 --> 00:04:07,221
$$som er lik C -- siden vi bare tar
kvadratrot av telleren

49
00:04:07,221 --> 00:04:10,601
$$og kvadratroten av nevneren --
C delt på kvadratroten av 2.

50
00:04:10,611 --> 00:04:16,624
$$Og faktisk, selv om dette handler om
trekanter, skal jeg gi dere litt

51
00:04:16,624 --> 00:04:19,910
$$ekstrainformasjon om noe som kalles
rasjonalisering av nevnere.

52
00:04:19,910 --> 00:04:25,799
$$Så dette er helt korrekt. Vi utledet
at B -- og vi vet også at A er lik B --

53
00:04:25,810 --> 00:04:29,490
$$at B er lik C delt på kvadratroten av 2.

54
00:04:29,490 --> 00:04:33,894
$$Men i størstedelen av matematikken,
og jeg forsto aldri helt hvorfor

55
00:04:33,894 --> 00:04:37,876
$$det var slik, men folk liker ikke
kvadratroten av 2 i nevneren.

56
00:04:37,876 --> 00:04:41,540
Eller generelt, de liker ikke
irrasjonelle tall i nevneren.

57
00:04:41,540 --> 00:04:46,964
Irrasjonelle tall er tall med desimaler
som aldri gjentas og aldri slutter.

58
00:04:46,964 --> 00:04:50,670
Så måten de blir kvitt
irrasjonelle tall i nevneren på

59
00:04:50,670 --> 00:04:53,700
er at de rasjonaliserer nevneren.


60
00:04:53,700 --> 00:04:56,106
Og måten du rasjonaliserer nevneren på --
la oss ta eksemplet vårt nå.

61
00:04:56,110 --> 00:05:02,956
$$Vi hadde C over kvadratroten av 2,
vi bare ganger teller og nevner

62
00:05:02,956 --> 00:05:08,185
$$med samme tall. Ikke sant? For å gange
teller og nevner med samme tall,

63
00:05:08,185 --> 00:05:13,536
$$det er bare som å gange med 1.
Roten av 2 delt på roten av 2 er 1.

64
00:05:13,536 --> 00:05:15,656
$$Og grunnen til at vi gjør dette

65
00:05:15,656 --> 00:05:21,041
$$er at kvadratroten av 2 ganger
kvadratroten av 2 blir 2. Ikke sant?

66
00:05:21,041 --> 00:05:26,111
$$Vi sa nettopp at noe ganger noe blir 2,
vel, roten av 2 ganger roten av 2 blir 2.

67
00:05:26,111 --> 00:05:31,010
$$Og da er telleren
C ganger kvadratroten av 2.

68
00:05:31,010 --> 00:05:34,420
$$Så merk at C ganger kvadraroten av 2
delt på 2 er det samme

69
00:05:34,420 --> 00:05:37,150
$$som C over kvadratroten av 2.

70
00:05:37,150 --> 00:05:43,660
$$Og dette er viktig, fordi i blant når du
tar en prøve, får du kanskje et svar

71
00:05:43,660 --> 00:05:46,811
$$som ser slik ut, har kvadraroten av 2,
eller kanskje til og med kvadratroten av 3

72
00:05:46,811 --> 00:05:49,550
eller kvadratroten av hva som helst,
i nevneren.

73
00:05:49,550 --> 00:05:52,820
Og du ser kanskje ikke svaret ditt
hvis det er en flervalgsoppgave.

74
00:05:52,820 --> 00:05:55,710
Det du må gjøre da er å
rasjonalisere nevneren.

75
00:05:55,710 --> 00:05:57,990
Så multipliser teller og nevner
med kvadratroten av 2,

76
00:05:57,990 --> 00:06:01,470
så får du kvadratroten av 2 delt på 2.

77
00:06:01,470 --> 00:06:03,250
Men uansett, tilbake til oppgaven.

78
00:06:03,250 --> 00:06:04,450
Hva lærte vi?

79
00:06:04,450 --> 00:06:06,880
$$Dette er lik B, ikke sant?

80
00:06:06,880 --> 00:06:13,306
$$Vi fant at B er lik C delt på
kvadratroten av 2 delt på 2.

81
00:06:13,306 --> 00:06:18,000
La meg skrive det. A er lik B, ikke sant?

82
00:06:18,760 --> 00:06:26,839
Og det er lik kvadratroten av 2 delt på 2
ganger C.

83
00:06:27,370 --> 00:06:30,510
Du vil kanskje memorisere dette,
men du kan jo alltids utlede det,

84
00:06:30,510 --> 00:06:35,736
hvis du bruker Pythagoras' teorem.
Husk at sidene som ikke er hypotenusen

85
00:06:35,736 --> 00:06:40,110
i en 45-90-45-trekant er lik hverandre.

86
00:06:40,110 --> 00:06:44,004
Men dette er veldig godt å vite.
Hvis du har en prøve,

87
00:06:44,004 --> 00:06:47,707
og du må løse en oppgave skikkelig fort,
hvis du har memorisert dette

88
00:06:47,707 --> 00:06:50,862
og du får hypotenusen, så kan du
finne sidene veldig fort.

89
00:06:50,862 --> 00:06:54,127
Eller hvis du får en av sidene,
så kan du finne hypotenusen fort.

90
00:06:54,127 --> 00:06:58,011
La oss prøve det. Jeg visker bort alt.

91
00:06:59,250 --> 00:07:10,225
Nå lærte vi at A er lik B, er lik
kvadratroten av 2 delt på 2 ganger C.

92
00:07:10,225 --> 00:07:18,375
Så hvis jeg gir deg en rettvinklet trekant
og sier at denne vinkelen er 90

93
00:07:18,731 --> 00:07:27,758
og denne vinkelen er 45,
og denne siden er 8.


94
00:07:28,570 --> 00:07:32,670
Jeg vil finne ut hva denne siden er.

95
00:07:32,670 --> 00:07:35,543
Vel, først: Hvilken side er hypotenusen?

96
00:07:35,543 --> 00:07:39,620
Hypotenusen er siden overfor
den rettvinklede trekanten,

97
00:07:39,620 --> 00:07:44,556
så det er hypotenusen vi skal finne.
La oss kalle den C.

98
00:07:44,556 --> 00:07:47,560
Og vi vet også at dette er en
45-90-45-trekant, ikke sant?

99
00:07:47,560 --> 00:07:50,180
For denne vinkelen er 45,
så denne må også være 45,

100
00:07:50,180 --> 00:07:54,620
siden 45 pluss 45 pluss 90 er lik 180.

101
00:07:54,620 --> 00:07:58,840
Så dette er en 45-45-90-trekant,
og vi vet at en av sidene --

102
00:07:58,840 --> 00:08:10,051
dette kan være A eller B -- vi vet at 8 er
lik kvadraroten av 2 delt på 2 ganger C.

103
00:08:10,051 --> 00:08:12,160
C er det vi prøver å finne.

104
00:08:12,160 --> 00:08:17,848
Så hvis vi ganger begge sider av ligningen
med 2 delt på kvadratroten av 2 --

105
00:08:17,972 --> 00:08:23,595
jeg bare multipliserer med den inverse
til koeffisienten på C (tallet foran C).

106
00:08:23,600 --> 00:08:26,150
Fordi denne kvadratroten av 2 stryker ut
den kvadratroten av 2,

107
00:08:26,150 --> 00:08:28,432
og denne toeren stryker ut denne toeren.

108
00:08:28,432 --> 00:08:37,640
Vi får 2 ganger 8, 16,
delt på kvadratroten av 2, er lik C.

109
00:08:37,640 --> 00:08:42,151
Som er riktig. Men som jeg viste deg,
liker ikke folk å ha radikaler i nevneren.

110
00:08:42,151 --> 00:08:47,436
$$Så vi kan si C er lik 16 delt på
kvadraroten av 2,

111
00:08:47,436 --> 00:08:51,290
$$ganger kvadratroten av 2
delt på kvadratroten av 2.

112
00:08:51,290 --> 00:09:00,365
$$Så dette er lik 16 kvadratrøtter av 2
delt på 2. Som er det samme som

113
00:09:00,965 --> 00:09:09,968
$$8 kvadratrøtter av 2. Så C
i dette eksempelet er 8 kvadrøtter av 2.

114
00:09:10,170 --> 00:09:15,963
$$Og vi vet også, siden dette er en
45-45-90-trekant, at denne siden er 8.

115
00:09:16,331 --> 00:09:20,704
Håper det gir mening. I neste film
skal jeg vise deg en annen type trekant,

116
00:09:20,704 --> 00:09:24,367
ellers så starter jeg med et par til
eksempler av dette, for jeg føler kanskje

117
00:09:24,369 --> 00:09:28,601
jeg tok det litt fort.
Men uansett, ses neste gang.