-
Velkommen til videoen om 45-45-90-trekanter.
-
Lad os skrive det ned.
-
.
-
45-45-90-trekanter.
-
Det er retvinklede 45-45-90-trekanter,
-
men det er overflødigt at sige,
-
for navnet siger jo, at der er en vinkel på 90 grader.
-
Som vi fik afsløret nu hedder det 45-45-90-trekanter,
-
fordi det er vinklerne i trekanten.
-
Hvorfor er den slags trekanter specielle?
-
I sidste video så vi
-
noget om trekanter,
-
hvor 2 af grundvinklerne var lige store.
-
Det her er en grundvinkel.
-
Man kan tegne den sådan her,
-
og så er det ikke tydeligt, at det er en grundvinkel, men det er det altså.
-
Hvis grundvinklerne er ens,
-
er de 2 sider,
-
de ikke deler også ens.
-
.
-
Det interessante ved 45-45-90-trekanter er altså,
-
at de udover at være retvinklede også har den egenskab.
-
Hvordan ved vi,
-
at det er den eneste retvinklede trekant, der har den egenskab?
-
Lad os sige,
-
at det her er en retvinklet trekant.
-
Det her er 90 grader, så her er hypotenusen.
-
Det er siden modsat den rette vinkel.
-
Hvis de her 2 vinkler skal være lige store,
-
hvor store skal de så være?
-
Vi kan kalde de 2 vinkler for x.
-
Vinklerne i en trekant giver sammenlagt 180 grader.
-
x plus x plus 90 grader
-
er lig med 180 grader.
-
2x olus 90 er er lig med 180.
-
2x er lig med 90.
-
x er lig med 45 grader.
-
Den eneste retvinklede trekant, hvor de 2 andre vinkler er lige store,
-
er altså en 45-45-90-trekant.
-
Hvad er interessant ved den slags trekanter?
-
Lad os tegne den igen.
-
Sådan.
-
Vi ved allerede, at den her er 90 grader,
-
45 grader og 45 grader.
-
Vi ved også allerede,
-
at siderne, som vinklerne på 45 grader ikke deler er lig med hinanden.
-
De her sider er lige lange.
-
Hvis vi kigger på det med Pythagoras-brillerne på,
-
ved vi,
-
at de 2 ikke-hypotenuser er lig med hinanden.
-
Det her er altså hypotenusen.
-
.
-
Lad os kalde de her sider for a og b.
-
Vi kalder hypotenusen for c.
-
Pythagoras læresætning siger,
-
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.
-
.
-
.
-
Vi ved, at a er lig med b.
-
Det er nemlig en 45-45-90-trekant.
-
Vi kan altså bytte rundt på a og b, som det passer os.
-
Lad os skifte a ud med b.
-
b i anden plus b i anden
-
er lig med c i anden.
-
2b i anden er lig med c i anden.
-
b i anden er lig med c i anden over 2.
-
b er lig med kvadratroden af c i anden over 2.
-
Vi tager nu kvadratroden
-
af både tælleren og nævneren.
-
Det er lig med c over kvadratroden af 2.
-
Selvom den her video handler om trekanter,
-
kan vi lige kigge lidt nærmere på,
-
hvordan man rationaliserer brøkers nævnere.
-
Det her er helt rigtigt.
-
Vi er kommet frem til,
-
at b er lig med c divideret med kvadratroden af 2.
-
I mange områder af matematikken
-
bryder man sig ikke om,
-
at der står kvadratroden af 2 i nævneren.
-
Generelt er det skidt
-
med irrationelle tal i nævnere.
-
Irrationelle tal er tal,
-
der har et uendeligt antal decimaler.
-
For at få de irrationelle tal
-
væk fra nævneren
-
kan vi altså rationalisere nævneren.
-
Lad os tage udgangspunkt
-
i vores eksempel her.
-
Hvis der stod c over kvadratroden af 2,
-
kunne vi nøjes med at gange tælleren og nævneren
-
med det samme tal.
-
Når vi ganger tælleren og nævneren med det samme tal,
-
er det, det samme som at gange det hele med 1.
-
Kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2 er 1.
-
.
-
Hvad er kvadratroden af 2
-
gange kvadratroden af 2?
-
Det er 2.
-
.
-
Kvadratroden af 2
-
gange kvadratroden af 2 er lig med 2.
-
Tælleren er c gange kvadratroden af 2.
-
c gange kvadratroden af 2 over 2
-
er det samme som c over kvadratroden af 2.
-
Det er vigtigt at huske,
-
for måske er man igang med en prøve
-
og får et svar,
-
der ligner det her
-
med en kvadratrod af et eller andet i nævneren.
-
Måske kan man ikke helt gennemskue,
-
hvad svaret er, hvis der er svarmuligheder.
-
I sådan et tilfælde skal man rationalisere nævneren.
-
Vi ganger tælleren og nævneren med kvadratroden af 2,
-
og vi får kvadratroden af 2 over 2.
-
Lad os vende tilbage til trekantopgaven.
-
Hvad har vi lært?
-
Det her er b.
-
Vi har fundet ud af,
-
at b er lig med c gange kvadratroden af 2 over 2.
-
Lad os skrive det ned.
-
Vi ved, at a er lig med b.
-
Det er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.
-
Man kan prøve at huske det her,
-
men man kan altid komme frem til det med Pythagoras læresætning.
-
Husk, at ikke-hypotenuserne i en 45-45-90-trekant
-
er lige lange.
-
Det her er rigtig godt at vide.
-
Hvis vi for eksempel er igang med en matematikprøve,
-
og vi ikke har så meget tid tilbage,
-
og vi kender hypotenusen i en trekant,
-
kan vi regne de andre sider ud lynhurtigt.
-
Vi kan også regne hypotenusen ud hurtigt, hvis vi kender en af de andre sider.
-
Lad os prøve det.
-
Vi sletter det hele.
-
Vi har fundet ud af, at a er lig med b,
-
som er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange C.
-
Vi kan eksempelvis have en retvinklet trekant.
-
Den her vinkel er 90 grader, og den her vinkel er 45,
-
og den her side er 8.
-
Vi skal finde den her side.
-
Lad os begynde med at finde
-
hypotenusen.
-
Hypotenusen er siden modsat den rette vinkel.
-
Hvor er hypotenusen?
-
Lad os kalde den c.
-
Vi ved også, at det er en 45-45-90-trekant.
-
Den her vinkel er 45, så det må den her også være.
-
45 plus 45 plus 90 er nemlig lig med 180.
-
Det er en 45-45-90-trekant, og vi kender en af siderne.
-
Vi ved,
-
at 8 er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.
-
Vi skal finde c, som er hypotenusen.
-
Lad os gange begge sider af ligningen med 2 gange
-
kvadratroden af 2.
-
Vi ganger den med c's inverse koefficient.
-
Fordi kvadratroden af 2 udligner den her kvadratrod af 2,
-
går de her 2-taller ud med hinanden
-
Vi får 2 gange 8, som er 16, over kvadratroden af 2 er lig med c.
-
Det er sådan set rigtigt nok, men vi har snakket om,
-
at vi ikke vil have irrationelle tal i nævneren.
-
c er lig med 16 over kvadratroden af 2
-
gange kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.
-
Det er lig med 16 kvadratrødder af 2 over 2.
-
Det er det samme som 8 kvadratrødder af 2.
-
I det her tilfælde er c lig med 8 kvadratrødder af 2.
-
Eftersom det her er en 45-45-90-trekant,
-
må den her side også være 8.
-
Forhåbentlig giver det mening.
-
I den næste video skal
-
vi se på en anden slags trekant.
-
Måske starter vi næste video med nogle flere eksempler
-
på 45-45-90-trekanter.
-
Vi ses i den næste video om 30-60-90-trekanter.
