1
00:00:01,710 --> 00:00:05,420
Velkommen til videoen om 45-45-90-trekanter.

2
00:00:05,420 --> 00:00:07,200
Lad os skrive det ned.

3
00:00:07,200 --> 00:00:08,300
.

4
00:00:08,300 --> 00:00:15,770
45-45-90-trekanter.

5
00:00:15,770 --> 00:00:19,050
Det er retvinklede 45-45-90-trekanter,

6
00:00:19,050 --> 00:00:21,630
men det er overflødigt at sige,

7
00:00:21,630 --> 00:00:24,110
for navnet siger jo, at der er en vinkel på 90 grader.

8
00:00:24,110 --> 00:00:27,790
Som vi fik afsløret nu hedder det 45-45-90-trekanter,

9
00:00:27,790 --> 00:00:30,910
fordi det er vinklerne i trekanten.

10
00:00:30,910 --> 00:00:33,220
Hvorfor er den slags trekanter specielle?

11
00:00:33,220 --> 00:00:35,720
I sidste video så vi

12
00:00:35,720 --> 00:00:43,950
noget om trekanter,

13
00:00:43,950 --> 00:00:49,000
hvor 2 af grundvinklerne var lige store.

14
00:00:49,000 --> 00:00:49,800
Det her er en grundvinkel.

15
00:00:49,800 --> 00:00:51,830
Man kan tegne den sådan her,

16
00:00:51,830 --> 00:00:55,410
og så er det ikke tydeligt, at det er en grundvinkel, men det er det altså.

17
00:00:55,410 --> 00:00:58,520
Hvis grundvinklerne er ens,

18
00:00:58,520 --> 00:01:02,000
er de 2 sider,

19
00:01:02,000 --> 00:01:05,280
de ikke deler også ens.

20
00:01:05,280 --> 00:01:07,050
.

21
00:01:07,050 --> 00:01:11,140
Det interessante ved 45-45-90-trekanter er altså,

22
00:01:11,140 --> 00:01:13,900
at de udover at være retvinklede også har den egenskab.

23
00:01:13,900 --> 00:01:16,400
Hvordan ved vi,

24
00:01:16,400 --> 00:01:17,690
at det er den eneste retvinklede trekant, der har den egenskab?

25
00:01:17,690 --> 00:01:20,790
Lad os sige,

26
00:01:20,790 --> 00:01:24,140
at det her er en retvinklet trekant.

27
00:01:24,140 --> 00:01:28,030
Det her er 90 grader, så her er hypotenusen.

28
00:01:28,030 --> 00:01:32,140
Det er siden modsat den rette vinkel.

29
00:01:32,140 --> 00:01:36,780
Hvis de her 2 vinkler skal være lige store,

30
00:01:36,780 --> 00:01:39,640
hvor store skal de så være?

31
00:01:39,640 --> 00:01:42,840
Vi kan kalde de 2 vinkler for x.

32
00:01:42,840 --> 00:01:44,410
Vinklerne i en trekant giver sammenlagt 180 grader.

33
00:01:44,410 --> 00:01:49,220
x plus x plus 90 grader

34
00:01:49,220 --> 00:01:52,650
er lig med 180 grader.

35
00:01:52,650 --> 00:01:57,950
2x olus 90 er er lig med 180.

36
00:01:57,950 --> 00:02:01,260
2x er lig med 90.

37
00:02:01,260 --> 00:02:05,500
x er lig med 45 grader.

38
00:02:05,500 --> 00:02:10,180
Den eneste retvinklede trekant, hvor de 2 andre vinkler er lige store,

39
00:02:10,180 --> 00:02:17,990
er altså en 45-45-90-trekant.

40
00:02:17,990 --> 00:02:22,680
Hvad er interessant ved den slags trekanter?

41
00:02:22,680 --> 00:02:27,160
Lad os tegne den igen.

42
00:02:27,160 --> 00:02:29,180
Sådan.

43
00:02:29,180 --> 00:02:35,190
Vi ved allerede, at den her er 90 grader,

44
00:02:35,190 --> 00:02:37,320
45 grader og 45 grader.

45
00:02:37,320 --> 00:02:40,370
Vi ved også allerede,

46
00:02:40,370 --> 00:02:45,850
at siderne, som vinklerne på 45 grader ikke deler er lig med hinanden.

47
00:02:45,850 --> 00:02:49,560
De her sider er lige lange.

48
00:02:49,560 --> 00:02:52,080
Hvis vi kigger på det med Pythagoras-brillerne på,

49
00:02:52,080 --> 00:02:55,240
ved vi,

50
00:02:55,240 --> 00:02:57,710
at de 2 ikke-hypotenuser er lig med hinanden.

51
00:02:57,710 --> 00:02:58,400
Det her er altså hypotenusen.

52
00:02:58,400 --> 00:03:03,660
.

53
00:03:03,660 --> 00:03:09,500
Lad os kalde de her sider for a og b.

54
00:03:09,500 --> 00:03:11,360
Vi kalder hypotenusen for c.

55
00:03:11,360 --> 00:03:14,880
Pythagoras læresætning siger,

56
00:03:14,880 --> 00:03:21,380
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

57
00:03:21,380 --> 00:03:21,863
.

58
00:03:21,863 --> 00:03:24,720
.

59
00:03:24,720 --> 00:03:26,620
Vi ved, at a er lig med b.

60
00:03:26,620 --> 00:03:30,070
Det er nemlig en 45-45-90-trekant.

61
00:03:30,070 --> 00:03:32,010
Vi kan altså bytte rundt på a og b, som det passer os.

62
00:03:32,010 --> 00:03:34,580
Lad os skifte a ud med b.

63
00:03:34,580 --> 00:03:38,960
b i anden plus b i anden

64
00:03:38,960 --> 00:03:41,530
er lig med c i anden.

65
00:03:41,530 --> 00:03:47,490
2b i anden er lig med c i anden.

66
00:03:47,490 --> 00:03:54,940
b i anden er lig med c i anden over 2.

67
00:03:54,940 --> 00:04:03,640
b er lig med kvadratroden af c i anden over 2.

68
00:04:03,640 --> 00:04:06,530
Vi tager nu kvadratroden

69
00:04:06,530 --> 00:04:09,130
af både tælleren og nævneren.

70
00:04:09,130 --> 00:04:10,570
Det er lig med c over kvadratroden af 2.

71
00:04:10,570 --> 00:04:15,250
Selvom den her video handler om trekanter,

72
00:04:15,250 --> 00:04:17,630
kan vi lige kigge lidt nærmere på,

73
00:04:17,630 --> 00:04:19,930
hvordan man rationaliserer brøkers nævnere.

74
00:04:19,930 --> 00:04:21,270
Det her er helt rigtigt.

75
00:04:21,270 --> 00:04:25,950
Vi er kommet frem til,

76
00:04:25,950 --> 00:04:29,510
at b er lig med c divideret med kvadratroden af 2.

77
00:04:29,510 --> 00:04:31,820
I mange områder af matematikken

78
00:04:31,820 --> 00:04:34,780
bryder man sig ikke om,

79
00:04:34,780 --> 00:04:37,870
at der står kvadratroden af 2 i nævneren.

80
00:04:37,870 --> 00:04:40,720
Generelt er det skidt

81
00:04:40,720 --> 00:04:41,140
med irrationelle tal i nævnere.

82
00:04:41,140 --> 00:04:45,030
Irrationelle tal er tal,

83
00:04:45,030 --> 00:04:46,920
der har et uendeligt antal decimaler.

84
00:04:46,920 --> 00:04:49,870
For at få de irrationelle tal

85
00:04:49,870 --> 00:04:52,230
væk fra nævneren

86
00:04:52,230 --> 00:04:53,570
kan vi altså rationalisere nævneren.

87
00:04:53,570 --> 00:04:55,456
Lad os tage udgangspunkt

88
00:04:55,456 --> 00:04:56,110
i vores eksempel her.

89
00:04:56,110 --> 00:05:00,640
Hvis der stod c over kvadratroden af 2,

90
00:05:00,640 --> 00:05:03,200
kunne vi nøjes med at gange tælleren og nævneren

91
00:05:03,200 --> 00:05:05,130
med det samme tal.

92
00:05:05,130 --> 00:05:08,120
Når vi ganger tælleren og nævneren med det samme tal,

93
00:05:08,120 --> 00:05:11,280
er det, det samme som at gange det hele med 1.

94
00:05:11,280 --> 00:05:13,680
Kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2 er 1.

95
00:05:13,680 --> 00:05:15,530
.

96
00:05:15,530 --> 00:05:17,020
Hvad er kvadratroden af 2

97
00:05:17,020 --> 00:05:19,040
gange kvadratroden af 2?

98
00:05:19,040 --> 00:05:20,220
Det er 2.

99
00:05:20,220 --> 00:05:21,030
.

100
00:05:21,030 --> 00:05:23,930
Kvadratroden af 2

101
00:05:23,930 --> 00:05:25,990
gange kvadratroden af 2 er lig med 2.

102
00:05:25,990 --> 00:05:31,010
Tælleren er c gange kvadratroden af 2.

103
00:05:31,010 --> 00:05:34,420
c gange kvadratroden af 2 over 2

104
00:05:34,420 --> 00:05:37,150
er det samme som c over kvadratroden af 2.

105
00:05:37,150 --> 00:05:39,520
Det er vigtigt at huske,

106
00:05:39,520 --> 00:05:41,090
for måske er man igang med en prøve

107
00:05:41,090 --> 00:05:44,190
og får et svar,

108
00:05:44,190 --> 00:05:46,320
der ligner det her

109
00:05:46,320 --> 00:05:49,550
med en kvadratrod af et eller andet i nævneren.

110
00:05:49,550 --> 00:05:51,420
Måske kan man ikke helt gennemskue,

111
00:05:51,420 --> 00:05:52,750
hvad svaret er, hvis der er svarmuligheder.

112
00:05:52,750 --> 00:05:55,710
I sådan et tilfælde skal man rationalisere nævneren.

113
00:05:55,710 --> 00:05:57,990
Vi ganger tælleren og nævneren med kvadratroden af 2,

114
00:05:57,990 --> 00:06:01,470
og vi får kvadratroden af 2 over 2.

115
00:06:01,470 --> 00:06:03,250
Lad os vende tilbage til trekantopgaven.

116
00:06:03,250 --> 00:06:04,450
Hvad har vi lært?

117
00:06:04,450 --> 00:06:06,880
Det her er b.

118
00:06:06,880 --> 00:06:11,240
Vi har fundet ud af,

119
00:06:11,240 --> 00:06:13,420
at b er lig med c gange kvadratroden af 2 over 2.

120
00:06:13,420 --> 00:06:14,410
Lad os skrive det ned.

121
00:06:14,410 --> 00:06:18,760
Vi ved, at a er lig med b.

122
00:06:18,760 --> 00:06:27,610
Det er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.

123
00:06:27,610 --> 00:06:29,680
Man kan prøve at huske det her,

124
00:06:29,680 --> 00:06:32,440
men man kan altid komme frem til det med Pythagoras læresætning.

125
00:06:32,440 --> 00:06:35,720
Husk, at ikke-hypotenuserne i en 45-45-90-trekant

126
00:06:35,720 --> 00:06:40,110
er lige lange.

127
00:06:40,110 --> 00:06:41,370
Det her er rigtig godt at vide.

128
00:06:41,370 --> 00:06:44,645
Hvis vi for eksempel er igang med en matematikprøve,

129
00:06:44,645 --> 00:06:48,180
og vi ikke har så meget tid tilbage,

130
00:06:48,180 --> 00:06:49,943
og vi kender hypotenusen i en trekant,

131
00:06:49,943 --> 00:06:51,890
kan vi regne de andre sider ud lynhurtigt.

132
00:06:51,890 --> 00:06:54,100
Vi kan også regne hypotenusen ud hurtigt, hvis vi kender en af de andre sider.

133
00:06:54,100 --> 00:06:56,290
Lad os prøve det.

134
00:06:56,290 --> 00:06:59,250
Vi sletter det hele.

135
00:06:59,250 --> 00:07:06,060
Vi har fundet ud af, at a er lig med b,

136
00:07:06,060 --> 00:07:10,210
som er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange C.

137
00:07:10,210 --> 00:07:16,220
Vi kan eksempelvis have en retvinklet trekant.

138
00:07:16,220 --> 00:07:23,760
Den her vinkel er 90 grader, og den her vinkel er 45,

139
00:07:23,760 --> 00:07:28,570
og den her side er 8.

140
00:07:28,570 --> 00:07:32,670
Vi skal finde den her side.

141
00:07:32,670 --> 00:07:34,590
Lad os begynde med at finde

142
00:07:34,590 --> 00:07:35,500
hypotenusen.

143
00:07:35,500 --> 00:07:39,620
Hypotenusen er siden modsat den rette vinkel.

144
00:07:39,620 --> 00:07:42,060
Hvor er hypotenusen?

145
00:07:42,060 --> 00:07:44,640
Lad os kalde den c.

146
00:07:44,640 --> 00:07:47,560
Vi ved også, at det er en 45-45-90-trekant.

147
00:07:47,560 --> 00:07:50,180
Den her vinkel er 45, så det må den her også være.

148
00:07:50,180 --> 00:07:54,620
45 plus 45 plus 90 er nemlig lig med 180.

149
00:07:54,620 --> 00:07:58,840
Det er en 45-45-90-trekant, og vi kender en af siderne.

150
00:07:58,840 --> 00:08:05,880
Vi ved,

151
00:08:05,880 --> 00:08:10,030
at 8 er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.

152
00:08:10,030 --> 00:08:12,160
Vi skal finde c, som er hypotenusen.

153
00:08:12,160 --> 00:08:16,400
Lad os gange begge sider af ligningen med 2 gange

154
00:08:16,400 --> 00:08:22,010
kvadratroden af 2.

155
00:08:22,010 --> 00:08:23,600
Vi ganger den med c's inverse koefficient.

156
00:08:23,600 --> 00:08:25,750
Fordi kvadratroden af 2 udligner den her kvadratrod af 2,

157
00:08:25,750 --> 00:08:28,430
går de her 2-taller ud med hinanden

158
00:08:28,430 --> 00:08:37,640
Vi får 2 gange 8, som er 16, over kvadratroden af 2 er lig med c.

159
00:08:37,640 --> 00:08:40,200
Det er sådan set rigtigt nok, men vi har snakket om,

160
00:08:40,200 --> 00:08:42,120
at vi ikke vil have irrationelle tal i nævneren.

161
00:08:42,120 --> 00:08:46,250
c er lig med 16 over kvadratroden af 2

162
00:08:46,250 --> 00:08:51,290
gange kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

163
00:08:51,290 --> 00:08:58,790
Det er lig med 16 kvadratrødder af 2 over 2.

164
00:08:58,790 --> 00:09:04,330
Det er det samme som 8 kvadratrødder af 2.

165
00:09:04,330 --> 00:09:10,170
I det her tilfælde er c lig med 8 kvadratrødder af 2.

166
00:09:10,170 --> 00:09:13,790
Eftersom det her er en 45-45-90-trekant,

167
00:09:13,790 --> 00:09:16,700
må den her side også være 8.

168
00:09:16,700 --> 00:09:17,940
Forhåbentlig giver det mening.

169
00:09:17,940 --> 00:09:19,740
I den næste video skal

170
00:09:19,740 --> 00:09:20,680
vi se på en anden slags trekant.

171
00:09:20,680 --> 00:09:22,900
Måske starter vi næste video med nogle flere eksempler

172
00:09:22,900 --> 00:09:25,080
på 45-45-90-trekanter.

173
00:09:25,080 --> 00:09:28,450
Vi ses i den næste video om 30-60-90-trekanter.