Velkommen til videoen om 45-45-90-trekanter. Lad os skrive det ned. . 45-45-90-trekanter. Det er retvinklede 45-45-90-trekanter, men det er overflødigt at sige, for navnet siger jo, at der er en vinkel på 90 grader. Som vi fik afsløret nu hedder det 45-45-90-trekanter, fordi det er vinklerne i trekanten. Hvorfor er den slags trekanter specielle? I sidste video så vi noget om trekanter, hvor 2 af grundvinklerne var lige store. Det her er en grundvinkel. Man kan tegne den sådan her, og så er det ikke tydeligt, at det er en grundvinkel, men det er det altså. Hvis grundvinklerne er ens, er de 2 sider, de ikke deler også ens. . Det interessante ved 45-45-90-trekanter er altså, at de udover at være retvinklede også har den egenskab. Hvordan ved vi, at det er den eneste retvinklede trekant, der har den egenskab? Lad os sige, at det her er en retvinklet trekant. Det her er 90 grader, så her er hypotenusen. Det er siden modsat den rette vinkel. Hvis de her 2 vinkler skal være lige store, hvor store skal de så være? Vi kan kalde de 2 vinkler for x. Vinklerne i en trekant giver sammenlagt 180 grader. x plus x plus 90 grader er lig med 180 grader. 2x olus 90 er er lig med 180. 2x er lig med 90. x er lig med 45 grader. Den eneste retvinklede trekant, hvor de 2 andre vinkler er lige store, er altså en 45-45-90-trekant. Hvad er interessant ved den slags trekanter? Lad os tegne den igen. Sådan. Vi ved allerede, at den her er 90 grader, 45 grader og 45 grader. Vi ved også allerede, at siderne, som vinklerne på 45 grader ikke deler er lig med hinanden. De her sider er lige lange. Hvis vi kigger på det med Pythagoras-brillerne på, ved vi, at de 2 ikke-hypotenuser er lig med hinanden. Det her er altså hypotenusen. . Lad os kalde de her sider for a og b. Vi kalder hypotenusen for c. Pythagoras læresætning siger, at a i anden plus b i anden er lig med c i anden. . . Vi ved, at a er lig med b. Det er nemlig en 45-45-90-trekant. Vi kan altså bytte rundt på a og b, som det passer os. Lad os skifte a ud med b. b i anden plus b i anden er lig med c i anden. 2b i anden er lig med c i anden. b i anden er lig med c i anden over 2. b er lig med kvadratroden af c i anden over 2. Vi tager nu kvadratroden af både tælleren og nævneren. Det er lig med c over kvadratroden af 2. Selvom den her video handler om trekanter, kan vi lige kigge lidt nærmere på, hvordan man rationaliserer brøkers nævnere. Det her er helt rigtigt. Vi er kommet frem til, at b er lig med c divideret med kvadratroden af 2. I mange områder af matematikken bryder man sig ikke om, at der står kvadratroden af 2 i nævneren. Generelt er det skidt med irrationelle tal i nævnere. Irrationelle tal er tal, der har et uendeligt antal decimaler. For at få de irrationelle tal væk fra nævneren kan vi altså rationalisere nævneren. Lad os tage udgangspunkt i vores eksempel her. Hvis der stod c over kvadratroden af 2, kunne vi nøjes med at gange tælleren og nævneren med det samme tal. Når vi ganger tælleren og nævneren med det samme tal, er det, det samme som at gange det hele med 1. Kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2 er 1. . Hvad er kvadratroden af 2 gange kvadratroden af 2? Det er 2. . Kvadratroden af 2 gange kvadratroden af 2 er lig med 2. Tælleren er c gange kvadratroden af 2. c gange kvadratroden af 2 over 2 er det samme som c over kvadratroden af 2. Det er vigtigt at huske, for måske er man igang med en prøve og får et svar, der ligner det her med en kvadratrod af et eller andet i nævneren. Måske kan man ikke helt gennemskue, hvad svaret er, hvis der er svarmuligheder. I sådan et tilfælde skal man rationalisere nævneren. Vi ganger tælleren og nævneren med kvadratroden af 2, og vi får kvadratroden af 2 over 2. Lad os vende tilbage til trekantopgaven. Hvad har vi lært? Det her er b. Vi har fundet ud af, at b er lig med c gange kvadratroden af 2 over 2. Lad os skrive det ned. Vi ved, at a er lig med b. Det er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c. Man kan prøve at huske det her, men man kan altid komme frem til det med Pythagoras læresætning. Husk, at ikke-hypotenuserne i en 45-45-90-trekant er lige lange. Det her er rigtig godt at vide. Hvis vi for eksempel er igang med en matematikprøve, og vi ikke har så meget tid tilbage, og vi kender hypotenusen i en trekant, kan vi regne de andre sider ud lynhurtigt. Vi kan også regne hypotenusen ud hurtigt, hvis vi kender en af de andre sider. Lad os prøve det. Vi sletter det hele. Vi har fundet ud af, at a er lig med b, som er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange C. Vi kan eksempelvis have en retvinklet trekant. Den her vinkel er 90 grader, og den her vinkel er 45, og den her side er 8. Vi skal finde den her side. Lad os begynde med at finde hypotenusen. Hypotenusen er siden modsat den rette vinkel. Hvor er hypotenusen? Lad os kalde den c. Vi ved også, at det er en 45-45-90-trekant. Den her vinkel er 45, så det må den her også være. 45 plus 45 plus 90 er nemlig lig med 180. Det er en 45-45-90-trekant, og vi kender en af siderne. Vi ved, at 8 er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c. Vi skal finde c, som er hypotenusen. Lad os gange begge sider af ligningen med 2 gange kvadratroden af 2. Vi ganger den med c's inverse koefficient. Fordi kvadratroden af 2 udligner den her kvadratrod af 2, går de her 2-taller ud med hinanden Vi får 2 gange 8, som er 16, over kvadratroden af 2 er lig med c. Det er sådan set rigtigt nok, men vi har snakket om, at vi ikke vil have irrationelle tal i nævneren. c er lig med 16 over kvadratroden af 2 gange kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2. Det er lig med 16 kvadratrødder af 2 over 2. Det er det samme som 8 kvadratrødder af 2. I det her tilfælde er c lig med 8 kvadratrødder af 2. Eftersom det her er en 45-45-90-trekant, må den her side også være 8. Forhåbentlig giver det mening. I den næste video skal vi se på en anden slags trekant. Måske starter vi næste video med nogle flere eksempler på 45-45-90-trekanter. Vi ses i den næste video om 30-60-90-trekanter.