0:00:01.710,0:00:05.420
Velkommen til videoen om 45-45-90-trekanter.

0:00:05.420,0:00:07.200
Lad os skrive det ned.

0:00:07.200,0:00:08.300
.

0:00:08.300,0:00:15.770
45-45-90-trekanter.

0:00:15.770,0:00:19.050
Det er retvinklede 45-45-90-trekanter,

0:00:19.050,0:00:21.630
men det er overflødigt at sige,

0:00:21.630,0:00:24.110
for navnet siger jo, at der er en vinkel på 90 grader.

0:00:24.110,0:00:27.790
Som vi fik afsløret nu hedder det 45-45-90-trekanter,

0:00:27.790,0:00:30.910
fordi det er vinklerne i trekanten.

0:00:30.910,0:00:33.220
Hvorfor er den slags trekanter specielle?

0:00:33.220,0:00:35.720
I sidste video så vi

0:00:35.720,0:00:43.950
noget om trekanter,

0:00:43.950,0:00:49.000
hvor 2 af grundvinklerne var lige store.

0:00:49.000,0:00:49.800
Det her er en grundvinkel.

0:00:49.800,0:00:51.830
Man kan tegne den sådan her,

0:00:51.830,0:00:55.410
og så er det ikke tydeligt, at det er en grundvinkel, men det er det altså.

0:00:55.410,0:00:58.520
Hvis grundvinklerne er ens,

0:00:58.520,0:01:02.000
er de 2 sider,

0:01:02.000,0:01:05.280
de ikke deler også ens.

0:01:05.280,0:01:07.050
.

0:01:07.050,0:01:11.140
Det interessante ved 45-45-90-trekanter er altså,

0:01:11.140,0:01:13.900
at de udover at være retvinklede også har den egenskab.

0:01:13.900,0:01:16.400
Hvordan ved vi,

0:01:16.400,0:01:17.690
at det er den eneste retvinklede trekant, der har den egenskab?

0:01:17.690,0:01:20.790
Lad os sige,

0:01:20.790,0:01:24.140
at det her er en retvinklet trekant.

0:01:24.140,0:01:28.030
Det her er 90 grader, så her er hypotenusen.

0:01:28.030,0:01:32.140
Det er siden modsat den rette vinkel.

0:01:32.140,0:01:36.780
Hvis de her 2 vinkler skal være lige store,

0:01:36.780,0:01:39.640
hvor store skal de så være?

0:01:39.640,0:01:42.840
Vi kan kalde de 2 vinkler for x.

0:01:42.840,0:01:44.410
Vinklerne i en trekant giver sammenlagt 180 grader.

0:01:44.410,0:01:49.220
x plus x plus 90 grader

0:01:49.220,0:01:52.650
er lig med 180 grader.

0:01:52.650,0:01:57.950
2x olus 90 er er lig med 180.

0:01:57.950,0:02:01.260
2x er lig med 90.

0:02:01.260,0:02:05.500
x er lig med 45 grader.

0:02:05.500,0:02:10.180
Den eneste retvinklede trekant, hvor de 2 andre vinkler er lige store,

0:02:10.180,0:02:17.990
er altså en 45-45-90-trekant.

0:02:17.990,0:02:22.680
Hvad er interessant ved den slags trekanter?

0:02:22.680,0:02:27.160
Lad os tegne den igen.

0:02:27.160,0:02:29.180
Sådan.

0:02:29.180,0:02:35.190
Vi ved allerede, at den her er 90 grader,

0:02:35.190,0:02:37.320
45 grader og 45 grader.

0:02:37.320,0:02:40.370
Vi ved også allerede,

0:02:40.370,0:02:45.850
at siderne, som vinklerne på 45 grader ikke deler er lig med hinanden.

0:02:45.850,0:02:49.560
De her sider er lige lange.

0:02:49.560,0:02:52.080
Hvis vi kigger på det med Pythagoras-brillerne på,

0:02:52.080,0:02:55.240
ved vi,

0:02:55.240,0:02:57.710
at de 2 ikke-hypotenuser er lig med hinanden.

0:02:57.710,0:02:58.400
Det her er altså hypotenusen.

0:02:58.400,0:03:03.660
.

0:03:03.660,0:03:09.500
Lad os kalde de her sider for a og b.

0:03:09.500,0:03:11.360
Vi kalder hypotenusen for c.

0:03:11.360,0:03:14.880
Pythagoras læresætning siger,

0:03:14.880,0:03:21.380
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

0:03:21.380,0:03:21.863
.

0:03:21.863,0:03:24.720
.

0:03:24.720,0:03:26.620
Vi ved, at a er lig med b.

0:03:26.620,0:03:30.070
Det er nemlig en 45-45-90-trekant.

0:03:30.070,0:03:32.010
Vi kan altså bytte rundt på a og b, som det passer os.

0:03:32.010,0:03:34.580
Lad os skifte a ud med b.

0:03:34.580,0:03:38.960
b i anden plus b i anden

0:03:38.960,0:03:41.530
er lig med c i anden.

0:03:41.530,0:03:47.490
2b i anden er lig med c i anden.

0:03:47.490,0:03:54.940
b i anden er lig med c i anden over 2.

0:03:54.940,0:04:03.640
b er lig med kvadratroden af c i anden over 2.

0:04:03.640,0:04:06.530
Vi tager nu kvadratroden

0:04:06.530,0:04:09.130
af både tælleren og nævneren.

0:04:09.130,0:04:10.570
Det er lig med c over kvadratroden af 2.

0:04:10.570,0:04:15.250
Selvom den her video handler om trekanter,

0:04:15.250,0:04:17.630
kan vi lige kigge lidt nærmere på,

0:04:17.630,0:04:19.930
hvordan man rationaliserer brøkers nævnere.

0:04:19.930,0:04:21.270
Det her er helt rigtigt.

0:04:21.270,0:04:25.950
Vi er kommet frem til,

0:04:25.950,0:04:29.510
at b er lig med c divideret med kvadratroden af 2.

0:04:29.510,0:04:31.820
I mange områder af matematikken

0:04:31.820,0:04:34.780
bryder man sig ikke om,

0:04:34.780,0:04:37.870
at der står kvadratroden af 2 i nævneren.

0:04:37.870,0:04:40.720
Generelt er det skidt

0:04:40.720,0:04:41.140
med irrationelle tal i nævnere.

0:04:41.140,0:04:45.030
Irrationelle tal er tal,

0:04:45.030,0:04:46.920
der har et uendeligt antal decimaler.

0:04:46.920,0:04:49.870
For at få de irrationelle tal

0:04:49.870,0:04:52.230
væk fra nævneren

0:04:52.230,0:04:53.570
kan vi altså rationalisere nævneren.

0:04:53.570,0:04:55.456
Lad os tage udgangspunkt

0:04:55.456,0:04:56.110
i vores eksempel her.

0:04:56.110,0:05:00.640
Hvis der stod c over kvadratroden af 2,

0:05:00.640,0:05:03.200
kunne vi nøjes med at gange tælleren og nævneren

0:05:03.200,0:05:05.130
med det samme tal.

0:05:05.130,0:05:08.120
Når vi ganger tælleren og nævneren med det samme tal,

0:05:08.120,0:05:11.280
er det, det samme som at gange det hele med 1.

0:05:11.280,0:05:13.680
Kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2 er 1.

0:05:13.680,0:05:15.530
.

0:05:15.530,0:05:17.020
Hvad er kvadratroden af 2

0:05:17.020,0:05:19.040
gange kvadratroden af 2?

0:05:19.040,0:05:20.220
Det er 2.

0:05:20.220,0:05:21.030
.

0:05:21.030,0:05:23.930
Kvadratroden af 2

0:05:23.930,0:05:25.990
gange kvadratroden af 2 er lig med 2.

0:05:25.990,0:05:31.010
Tælleren er c gange kvadratroden af 2.

0:05:31.010,0:05:34.420
c gange kvadratroden af 2 over 2

0:05:34.420,0:05:37.150
er det samme som c over kvadratroden af 2.

0:05:37.150,0:05:39.520
Det er vigtigt at huske,

0:05:39.520,0:05:41.090
for måske er man igang med en prøve

0:05:41.090,0:05:44.190
og får et svar,

0:05:44.190,0:05:46.320
der ligner det her

0:05:46.320,0:05:49.550
med en kvadratrod af et eller andet i nævneren.

0:05:49.550,0:05:51.420
Måske kan man ikke helt gennemskue,

0:05:51.420,0:05:52.750
hvad svaret er, hvis der er svarmuligheder.

0:05:52.750,0:05:55.710
I sådan et tilfælde skal man rationalisere nævneren.

0:05:55.710,0:05:57.990
Vi ganger tælleren og nævneren med kvadratroden af 2,

0:05:57.990,0:06:01.470
og vi får kvadratroden af 2 over 2.

0:06:01.470,0:06:03.250
Lad os vende tilbage til trekantopgaven.

0:06:03.250,0:06:04.450
Hvad har vi lært?

0:06:04.450,0:06:06.880
Det her er b.

0:06:06.880,0:06:11.240
Vi har fundet ud af,

0:06:11.240,0:06:13.420
at b er lig med c gange kvadratroden af 2 over 2.

0:06:13.420,0:06:14.410
Lad os skrive det ned.

0:06:14.410,0:06:18.760
Vi ved, at a er lig med b.

0:06:18.760,0:06:27.610
Det er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.

0:06:27.610,0:06:29.680
Man kan prøve at huske det her,

0:06:29.680,0:06:32.440
men man kan altid komme frem til det med Pythagoras læresætning.

0:06:32.440,0:06:35.720
Husk, at ikke-hypotenuserne i en 45-45-90-trekant

0:06:35.720,0:06:40.110
er lige lange.

0:06:40.110,0:06:41.370
Det her er rigtig godt at vide.

0:06:41.370,0:06:44.645
Hvis vi for eksempel er igang med en matematikprøve,

0:06:44.645,0:06:48.180
og vi ikke har så meget tid tilbage,

0:06:48.180,0:06:49.943
og vi kender hypotenusen i en trekant,

0:06:49.943,0:06:51.890
kan vi regne de andre sider ud lynhurtigt.

0:06:51.890,0:06:54.100
Vi kan også regne hypotenusen ud hurtigt, hvis vi kender en af de andre sider.

0:06:54.100,0:06:56.290
Lad os prøve det.

0:06:56.290,0:06:59.250
Vi sletter det hele.

0:06:59.250,0:07:06.060
Vi har fundet ud af, at a er lig med b,

0:07:06.060,0:07:10.210
som er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange C.

0:07:10.210,0:07:16.220
Vi kan eksempelvis have en retvinklet trekant.

0:07:16.220,0:07:23.760
Den her vinkel er 90 grader, og den her vinkel er 45,

0:07:23.760,0:07:28.570
og den her side er 8.

0:07:28.570,0:07:32.670
Vi skal finde den her side.

0:07:32.670,0:07:34.590
Lad os begynde med at finde

0:07:34.590,0:07:35.500
hypotenusen.

0:07:35.500,0:07:39.620
Hypotenusen er siden modsat den rette vinkel.

0:07:39.620,0:07:42.060
Hvor er hypotenusen?

0:07:42.060,0:07:44.640
Lad os kalde den c.

0:07:44.640,0:07:47.560
Vi ved også, at det er en 45-45-90-trekant.

0:07:47.560,0:07:50.180
Den her vinkel er 45, så det må den her også være.

0:07:50.180,0:07:54.620
45 plus 45 plus 90 er nemlig lig med 180.

0:07:54.620,0:07:58.840
Det er en 45-45-90-trekant, og vi kender en af siderne.

0:07:58.840,0:08:05.880
Vi ved,

0:08:05.880,0:08:10.030
at 8 er lig med kvadratroden af 2 over 2 gange c.

0:08:10.030,0:08:12.160
Vi skal finde c, som er hypotenusen.

0:08:12.160,0:08:16.400
Lad os gange begge sider af ligningen med 2 gange

0:08:16.400,0:08:22.010
kvadratroden af 2.

0:08:22.010,0:08:23.600
Vi ganger den med c's inverse koefficient.

0:08:23.600,0:08:25.750
Fordi kvadratroden af 2 udligner den her kvadratrod af 2,

0:08:25.750,0:08:28.430
går de her 2-taller ud med hinanden

0:08:28.430,0:08:37.640
Vi får 2 gange 8, som er 16, over kvadratroden af 2 er lig med c.

0:08:37.640,0:08:40.200
Det er sådan set rigtigt nok, men vi har snakket om,

0:08:40.200,0:08:42.120
at vi ikke vil have irrationelle tal i nævneren.

0:08:42.120,0:08:46.250
c er lig med 16 over kvadratroden af 2

0:08:46.250,0:08:51.290
gange kvadratroden af 2 over kvadratroden af 2.

0:08:51.290,0:08:58.790
Det er lig med 16 kvadratrødder af 2 over 2.

0:08:58.790,0:09:04.330
Det er det samme som 8 kvadratrødder af 2.

0:09:04.330,0:09:10.170
I det her tilfælde er c lig med 8 kvadratrødder af 2.

0:09:10.170,0:09:13.790
Eftersom det her er en 45-45-90-trekant,

0:09:13.790,0:09:16.700
må den her side også være 8.

0:09:16.700,0:09:17.940
Forhåbentlig giver det mening.

0:09:17.940,0:09:19.740
I den næste video skal

0:09:19.740,0:09:20.680
vi se på en anden slags trekant.

0:09:20.680,0:09:22.900
Måske starter vi næste video med nogle flere eksempler

0:09:22.900,0:09:25.080
på 45-45-90-trekanter.

0:09:25.080,0:09:28.450
Vi ses i den næste video om 30-60-90-trekanter.