-
Velkommen til den her
-
video om trekanter.
-
Vi fortsætter med 45-45-90-trekanterne.
-
I den sidste video lærte vi,
-
at enhver side i 45-45-90-trekanter, der ikke er hypotenusen,
-
er kvadratroden af 2 over 2 gange hypotenusen.
-
Lad os lave et par opgaver mere.
-
De her regler
-
gælder kun for
-
45-45-90-trekanter.
-
Når vi tegner 1 vinkel på 45 grader, ved vi,
-
at den anden også er 45 grader.
-
Lad os sige,
-
at hypotenusen her er 10.
-
Vi ved, at det er hypotenusen,
-
fordi den ligger modsat den rette vinkel.
-
Hvad er den her side? Vi kalder den x.
-
Vi ved, at x er lig med kvadratroden
-
af 2 over 2 gange hypotenusen.
-
Det er altså kvadratroden af 2 over 2 gange 10.
-
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.
-
.
-
Vi har divideret 10 med 2.
-
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.
-
Vi ved,
-
at de her sider er lig med hinanden.
-
Vi ved, at den er ligebenet,
-
fordi de her 2 vinkler er ens.
-
Vi ved også, at den her side er 5 kvadratrødder af 2.
-
Man kan selv prøve.
-
Lad os prøve med Pythagoras læresætning.
-
Vi ved fra Pythagoras læresætning, at 5 kvadratrødder af 2 i anden
-
plus 5 kvadratrødder af 2 i anden er lig med hypotenusen i anden.
-
Hypotenusen er 10,
-
så det er 100.
-
Det her er altså 25 gange 2,
-
som er 50.
-
Den her er 100.
-
Den er lig med 100.
-
Vi ved, at det er sandt.
-
Det virkede altså.
-
Vi beviste det ved hjælp af Pythagoras,
-
og sådan kom vi i første omgang
-
faktisk frem til den her formel.
-
Hvis man har glemt, hvordan vi kom frem til den,
-
kan man gå tilbage til nogle af de tidligere videoer.
-
Nu skal vi faktisk
-
se på en ny slags trekant.
-
Vi gør det på samme måde
-
ved at løse en opgave
-
ved hjælp af Pythagoras.
-
Det her er en type trekant,
-
der hedder en 30-60-90-trekant.
-
Hvis vi løber tør for tid,
-
fortsætter vi i en ny video.
-
Her er en retvinklet trekant.
-
Den er ikke så pæn.
-
Den er retvinklet.
-
Den her vinkel er 30 grader.
-
Vi ved, at alle vinklerne i en trekant
-
sammenlagt giver 180 grader.
-
Hvis den her er 30, og den her er 90, kan vi kalde den her for x.
-
x plus 30 plus 90 er lig med 180.
-
Alle vinklerne giver sammenlagt 180.
-
I så fald ved vi, at x er lig med 60.
-
.
-
Den her vinkel er altså 60.
-
Derfor hedder den en 30-60-90-trekant.
-
Det angiver de 3 vinkler i trekanten.
-
Lad os kalde hypotenusen h i stedet for c,
-
som vi plejer.
-
Hvordan kan vi finde længden af de andre sider?
-
Dem kan vi sådan set finde ved hjælp
-
af Pythagoras læresætning.
-
Vi laver nu et lille trick.
-
Lad os lave en kopi af trekanten,
-
men vende den om.
-
Det er den samme trekant.
-
Den vender bare den anden vej.
-
.
-
Hvis den her vinkel er 90 grader,
-
må de 2 andre vinkler være supplementære.
-
Man kan eventuelt se nogle
-
af videoerne om vinkler,
-
hvis man ikke kan huske de supplementære vinkler.
-
Den her er altså 90 grader.
-
Det kan vi se på den.
-
Det giver mening.
-
Vi har vendt trekanten om.
-
Det er stadig den samme trekant.
-
Den er bare vendt til den anden side.
-
Vi ved også, at den her vinkel er 30 grader.
-
Til sidst ved vi, at den her vinkel er 60 grader.
-
.
-
Hvis de her vinkler er 30 grader,
-
ved vi også,
-
at den her større vinkel er 60 grader.
-
.
-
Hvis den her vinkel i toppen er 60 grader,
-
og vinklen til højre er 60 grader,
-
ved vi fra læresætningen om 45-45-90-trekanter,
-
at hvis 2 vinkler er ens,
-
er siderne de ikke har tilfælles også ens.
-
Hvilke sider har de ikke tilfælles?
-
Det er den her side og den her side.
-
Hvis den her side er h, må den her side også være h.
-
Den her vinkel er
-
også 60 grader.
-
Når begge de her vinkler er 60 grader,
-
må siderne de ikke har tilfælles være ens.
-
De har den her side tilfælles,
-
så de har ikke den her og den her side tilfælles.
-
Når den her side er h, må den her side altså også være h.
-
.
-
Hvis der altså er 60 grader 3 gange,
-
har alle siderne samme længde,
-
og så er trekanten ligesidet.
-
Det er klogt at have i baghovedet.
-
Det giver også mening,
-
for ligesidede trekanter er symmetriskd ligemeget måden, vi ser på dem på.
-
Alle vinklerne er ens,
-
og alle siderne er ens.
-
.
-
Da vi startede med den her opgave
-
brugte vi dog kun det halve af den her ligesidede trekant.
-
Vi ved, at hele den her sidelængde er h.
-
Hvad ved vi om den her side,
-
altså grundvinklen i den oprindelige trekant,
-
når den her længde er h?
-
.
-
Den må være det halve af den side.
-
.
-
Det her er h over 2, og det her er h over 2.
-
.
-
Lad os gå tilbage til den oprindelige trekant.
-
Den her er 30 grader, og det her er hypotenusen,
-
fordi den er modsat den rette vinkel.
-
Vi ved nu, at siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.
-
Hvordan kom vi frem til det?
-
Vi fordoblede trekanten.
-
Vi lavede det til en ligesidet trekant.
-
Vi fandt ud af,
-
at hele den her side må være det samme som hypotenusen.
-
Det her er det halve af hele den side.
-
Det er altså det halve af hypotenusen.
-
Lad os huske på det.
-
Siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.
-
Lad os tegne det på en ny side.
-
Det er ved at blive lidt rodet.
-
Lad os gå tilbage til det oprindelige.
-
Det her er en ret vinkel.
-
Den her side er hypotenusen.
-
Vi har lige fundet ud af,
-
at siden modsat vinklen på 30 grader
-
er lig med det halve af hypotenusen.
-
Hvis den er lig med det halve af hypotenusen,
-
hvad er den her side så lig med?
-
Her kan vi igen bruge Pythagoras læresætning.
-
Den her side i anden plus den her side i anden, som vi kalder a,
-
er lig med h i anden.
-
1/2 h i anden plus a i anden er lig med h i anden.
-
Det svarer til h i anden over 4 plus a i anden
-
er lig med h i anden.
-
Vi trækker h i anden fra på begge sider.
-
a i anden er lig med h i anden minus h i anden over 4.
-
Det er altså lig med h i anden gange 1 minus 1/4.
-
Det er lig med 3/4 h i anden.
-
Det er igen lig med a i anden.
-
Vi er ved at løbe tør for plads,
-
så lad os gå herover.
-
Vi tager kvadratroden af begge sider og får,
-
at a er lig med kvadratroden af 3/4,
-
som er det samme som kvadratroden af 3 over 2.
-
Kvadratroden er h i anden er h.
-
Det her a står ikke for areal.
-
a er længden af den her side.
-
Måske skulle vi have brugt noget andet end a.
-
Det er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange h.
-
Sådan.
-
Vi har nu fundet alle sidelængderne
-
i forhold til hypotenusen i 30-60-90-trekanter.
-
.
-
Hvis vi kender hypotenusen og ved, at det er en 30-60-90-trekant,
-
ved vi, at siden modsat vinklen på 30 grader
-
er lig med det halve af hypotenusen.
-
Vi er også kommet frem til, at siden modsat vinklen på 60 grader
-
er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange hypotenusen.
-
I næste video skal vi se på,
-
hvordan vi kan bruge den viden.
-
Det er en god idé at øve sig i at huske
-
sideforholdene.
-
Vi kan bruge den viden til at finde sider
-
i 30-60-90-trekanter meget hurtigt.
-
Vi ses.