0:00:01.500,0:00:03.430
Velkommen til den her

0:00:03.430,0:00:06.220
video om trekanter.

0:00:06.220,0:00:10.980
Vi fortsætter med 45-45-90-trekanterne.

0:00:10.980,0:00:15.190
I den sidste video lærte vi,

0:00:15.190,0:00:19.830
at enhver side i 45-45-90-trekanter, der ikke er hypotenusen,

0:00:19.830,0:00:25.600
er kvadratroden af 2 over 2 gange hypotenusen.

0:00:25.600,0:00:26.850
Lad os lave et par opgaver mere.

0:00:26.850,0:00:30.680
De her regler

0:00:30.680,0:00:33.010
gælder kun for

0:00:33.010,0:00:35.760
45-45-90-trekanter.

0:00:35.760,0:00:37.870
Når vi tegner 1 vinkel på 45 grader, ved vi,

0:00:37.870,0:00:39.780
at den anden også er 45 grader.

0:00:39.780,0:00:42.960
Lad os sige,

0:00:42.960,0:00:44.690
at hypotenusen her er 10.

0:00:44.690,0:00:46.510
Vi ved, at det er hypotenusen,

0:00:46.510,0:00:48.340
fordi den ligger modsat den rette vinkel.

0:00:48.340,0:00:50.680
Hvad er den her side? Vi kalder den x.

0:00:50.680,0:00:54.300
Vi ved, at x er lig med kvadratroden

0:00:54.300,0:00:55.490
af 2 over 2 gange hypotenusen.

0:00:55.490,0:01:01.440
Det er altså kvadratroden af 2 over 2 gange 10.

0:01:01.440,0:01:07.700
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

0:01:07.700,0:01:07.990
.

0:01:07.990,0:01:08.910
Vi har divideret 10 med 2.

0:01:08.910,0:01:12.160
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

0:01:12.160,0:01:15.630
Vi ved,

0:01:15.630,0:01:15.900
at de her sider er lig med hinanden.

0:01:15.900,0:01:18.490
Vi ved, at den er ligebenet,

0:01:18.490,0:01:20.280
fordi de her 2 vinkler er ens.

0:01:20.280,0:01:23.770
Vi ved også, at den her side er 5 kvadratrødder af 2.

0:01:23.770,0:01:25.830
Man kan selv prøve.

0:01:25.830,0:01:27.460
Lad os prøve med Pythagoras læresætning.

0:01:27.460,0:01:32.050
Vi ved fra Pythagoras læresætning, at 5 kvadratrødder af 2 i anden

0:01:32.050,0:01:37.420
plus 5 kvadratrødder af 2 i anden er lig med hypotenusen i anden.

0:01:37.420,0:01:39.090
Hypotenusen er 10,

0:01:39.090,0:01:41.130
så det er 100.

0:01:41.130,0:01:43.170
Det her er altså 25 gange 2,

0:01:43.170,0:01:43.855
som er 50.

0:01:48.250,0:01:49.590
Den her er 100.

0:01:49.590,0:01:51.380
Den er lig med 100.

0:01:51.380,0:01:53.780
Vi ved, at det er sandt.

0:01:53.780,0:01:54.620
Det virkede altså.

0:01:54.620,0:01:56.290
Vi beviste det ved hjælp af Pythagoras,

0:01:56.290,0:01:57.740
og sådan kom vi i første omgang

0:01:57.740,0:01:59.260
faktisk frem til den her formel.

0:01:59.260,0:02:00.820
Hvis man har glemt, hvordan vi kom frem til den,

0:02:00.820,0:02:03.590
kan man gå tilbage til nogle af de tidligere videoer.

0:02:03.590,0:02:05.890
Nu skal vi faktisk

0:02:05.890,0:02:06.620
se på en ny slags trekant.

0:02:06.620,0:02:11.160
Vi gør det på samme måde

0:02:11.160,0:02:14.490
ved at løse en opgave

0:02:14.490,0:02:16.980
ved hjælp af Pythagoras.

0:02:16.980,0:02:18.780
Det her er en type trekant,

0:02:18.780,0:02:20.140
der hedder en 30-60-90-trekant.

0:02:25.550,0:02:28.220
Hvis vi løber tør for tid,

0:02:28.220,0:02:31.120
fortsætter vi i en ny video.

0:02:31.120,0:02:33.965
Her er en retvinklet trekant.

0:02:38.610,0:02:42.710
Den er ikke så pæn.

0:02:42.710,0:02:43.920
Den er retvinklet.

0:02:43.920,0:02:48.260
Den her vinkel er 30 grader.

0:02:48.260,0:02:49.940
Vi ved, at alle vinklerne i en trekant

0:02:49.940,0:02:51.730
sammenlagt giver 180 grader.

0:02:51.730,0:02:56.570
Hvis den her er 30, og den her er 90, kan vi kalde den her for x.

0:02:56.570,0:03:02.400
x plus 30 plus 90 er lig med 180.

0:03:02.400,0:03:04.310
Alle vinklerne giver sammenlagt 180.

0:03:04.310,0:03:07.770
I så fald ved vi, at x er lig med 60.

0:03:07.770,0:03:08.600
.

0:03:08.600,0:03:10.870
Den her vinkel er altså 60.

0:03:10.870,0:03:14.370
Derfor hedder den en 30-60-90-trekant.

0:03:14.370,0:03:17.320
Det angiver de 3 vinkler i trekanten.

0:03:17.320,0:03:24.320
Lad os kalde hypotenusen h i stedet for c,

0:03:24.320,0:03:27.130
som vi plejer.

0:03:27.130,0:03:30.020
Hvordan kan vi finde længden af de andre sider?

0:03:30.020,0:03:32.700
Dem kan vi sådan set finde ved hjælp

0:03:32.700,0:03:34.210
af Pythagoras læresætning.

0:03:34.210,0:03:36.410
Vi laver nu et lille trick.

0:03:36.410,0:03:42.780
Lad os lave en kopi af trekanten,

0:03:42.780,0:03:45.990
men vende den om.

0:03:45.990,0:03:47.950
Det er den samme trekant.

0:03:47.950,0:03:48.690
Den vender bare den anden vej.

0:03:48.690,0:03:48.910
.

0:03:48.910,0:03:51.040
Hvis den her vinkel er 90 grader,

0:03:51.040,0:03:53.140
må de 2 andre vinkler være supplementære.

0:03:53.140,0:03:55.890
Man kan eventuelt se nogle

0:03:55.890,0:03:58.980
af videoerne om vinkler,

0:03:58.980,0:04:00.000
hvis man ikke kan huske de supplementære vinkler.

0:04:00.000,0:04:01.680
Den her er altså 90 grader.

0:04:01.680,0:04:02.390
Det kan vi se på den.

0:04:02.390,0:04:04.010
Det giver mening.

0:04:04.010,0:04:06.040
Vi har vendt trekanten om.

0:04:06.040,0:04:06.890
Det er stadig den samme trekant.

0:04:06.890,0:04:09.130
Den er bare vendt til den anden side.

0:04:09.130,0:04:12.400
Vi ved også, at den her vinkel er 30 grader.

0:04:12.400,0:04:16.510
Til sidst ved vi, at den her vinkel er 60 grader.

0:04:16.510,0:04:18.190
.

0:04:18.190,0:04:20.450
Hvis de her vinkler er 30 grader,

0:04:20.450,0:04:26.490
ved vi også,

0:04:26.490,0:04:30.230
at den her større vinkel er 60 grader.

0:04:30.230,0:04:31.770
.

0:04:31.770,0:04:34.760
Hvis den her vinkel i toppen er 60 grader,

0:04:34.760,0:04:38.920
og vinklen til højre er 60 grader,

0:04:38.920,0:04:43.910
ved vi fra læresætningen om 45-45-90-trekanter,

0:04:43.910,0:04:47.860
at hvis 2 vinkler er ens,

0:04:47.860,0:04:52.030
er siderne de ikke har tilfælles også ens.

0:04:52.030,0:04:53.440
Hvilke sider har de ikke tilfælles?

0:04:53.440,0:04:55.490
Det er den her side og den her side.

0:04:55.490,0:04:58.720
Hvis den her side er h, må den her side også være h.

0:04:58.720,0:05:01.200
Den her vinkel er

0:05:01.200,0:05:03.680
også 60 grader.

0:05:03.680,0:05:07.600
Når begge de her vinkler er 60 grader,

0:05:07.600,0:05:10.760
må siderne de ikke har tilfælles være ens.

0:05:10.760,0:05:13.800
De har den her side tilfælles,

0:05:13.800,0:05:15.370
så de har ikke den her og den her side tilfælles.

0:05:15.370,0:05:19.460
Når den her side er h, må den her side altså også være h.

0:05:19.460,0:05:21.270
.

0:05:21.270,0:05:23.470
Hvis der altså er 60 grader 3 gange,

0:05:23.470,0:05:26.680
har alle siderne samme længde,

0:05:26.680,0:05:27.810
og så er trekanten ligesidet.

0:05:27.810,0:05:29.670
Det er klogt at have i baghovedet.

0:05:29.670,0:05:32.080
Det giver også mening,

0:05:32.080,0:05:33.830
for ligesidede trekanter er symmetriskd ligemeget måden, vi ser på dem på.

0:05:33.830,0:05:36.030
Alle vinklerne er ens,

0:05:36.030,0:05:39.370
og alle siderne er ens.

0:05:39.370,0:05:40.420
.

0:05:40.420,0:05:43.090
Da vi startede med den her opgave

0:05:43.090,0:05:44.050
brugte vi dog kun det halve af den her ligesidede trekant.

0:05:44.050,0:05:48.970
Vi ved, at hele den her sidelængde er h.

0:05:48.970,0:05:53.670
Hvad ved vi om den her side,

0:05:53.670,0:05:56.530
altså grundvinklen i den oprindelige trekant,

0:05:56.530,0:05:58.480
når den her længde er h?

0:05:58.480,0:06:00.490
.

0:06:00.490,0:06:02.180
Den må være det halve af den side.

0:06:02.180,0:06:03.460
.

0:06:03.460,0:06:07.890
Det her er h over 2, og det her er h over 2.

0:06:07.890,0:06:08.770
.

0:06:12.380,0:06:14.990
Lad os gå tilbage til den oprindelige trekant.

0:06:14.990,0:06:17.730
Den her er 30 grader, og det her er hypotenusen,

0:06:17.730,0:06:21.540
fordi den er modsat den rette vinkel.

0:06:21.540,0:06:26.350
Vi ved nu, at siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

0:06:26.350,0:06:28.140
Hvordan kom vi frem til det?

0:06:28.140,0:06:29.840
Vi fordoblede trekanten.

0:06:29.840,0:06:31.570
Vi lavede det til en ligesidet trekant.

0:06:31.570,0:06:33.490
Vi fandt ud af,

0:06:33.490,0:06:34.490
at hele den her side må være det samme som hypotenusen.

0:06:34.490,0:06:36.760
Det her er det halve af hele den side.

0:06:36.760,0:06:38.420
Det er altså det halve af hypotenusen.

0:06:38.420,0:06:39.090
Lad os huske på det.

0:06:39.090,0:06:43.060
Siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

0:06:43.060,0:06:46.530
Lad os tegne det på en ny side.

0:06:46.530,0:06:48.120
Det er ved at blive lidt rodet.

0:06:48.120,0:06:49.880
Lad os gå tilbage til det oprindelige.

0:06:54.630,0:06:56.570
Det her er en ret vinkel.

0:06:56.570,0:06:59.700
Den her side er hypotenusen.

0:06:59.700,0:07:05.080
Vi har lige fundet ud af,

0:07:05.080,0:07:09.830
at siden modsat vinklen på 30 grader

0:07:09.830,0:07:12.180
er lig med det halve af hypotenusen.

0:07:15.190,0:07:17.300
Hvis den er lig med det halve af hypotenusen,

0:07:17.300,0:07:19.450
hvad er den her side så lig med?

0:07:19.450,0:07:22.660
Her kan vi igen bruge Pythagoras læresætning.

0:07:22.660,0:07:25.685
Den her side i anden plus den her side i anden, som vi kalder a,

0:07:25.685,0:07:31.470
er lig med h i anden.

0:07:31.470,0:07:43.330
1/2 h i anden plus a i anden er lig med h i anden.

0:07:43.330,0:07:48.370
Det svarer til h i anden over 4 plus a i anden

0:07:48.370,0:07:51.690
er lig med h i anden.

0:07:51.690,0:07:53.630
Vi trækker h i anden fra på begge sider.

0:07:53.630,0:08:01.270
a i anden er lig med h i anden minus h i anden over 4.

0:08:01.270,0:08:07.930
Det er altså lig med h i anden gange 1 minus 1/4.

0:08:07.930,0:08:14.150
Det er lig med 3/4 h i anden.

0:08:14.150,0:08:17.110
Det er igen lig med a i anden.

0:08:17.110,0:08:19.710
Vi er ved at løbe tør for plads,

0:08:19.710,0:08:21.730
så lad os gå herover.

0:08:21.730,0:08:27.170
Vi tager kvadratroden af begge sider og får,

0:08:27.170,0:08:30.920
at a er lig med kvadratroden af 3/4,

0:08:30.920,0:08:36.270
som er det samme som kvadratroden af 3 over 2.

0:08:36.270,0:08:40.510
Kvadratroden er h i anden er h.

0:08:41.430,0:08:42.350
Det her a står ikke for areal.

0:08:42.350,0:08:43.990
a er længden af den her side.

0:08:43.990,0:08:45.630
Måske skulle vi have brugt noget andet end a.

0:08:45.630,0:08:53.070
Det er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange h.

0:08:53.070,0:08:53.670
Sådan.

0:08:53.670,0:08:56.320
Vi har nu fundet alle sidelængderne

0:08:56.320,0:08:59.320
i forhold til hypotenusen i 30-60-90-trekanter.

0:08:59.320,0:09:01.360
.

0:09:01.360,0:09:04.750
Hvis vi kender hypotenusen og ved, at det er en 30-60-90-trekant,

0:09:04.750,0:09:08.080
ved vi, at siden modsat vinklen på 30 grader

0:09:08.080,0:09:10.500
er lig med det halve af hypotenusen.

0:09:10.500,0:09:14.010
Vi er også kommet frem til, at siden modsat vinklen på 60 grader

0:09:14.010,0:09:18.410
er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange hypotenusen.

0:09:18.410,0:09:22.250
I næste video skal vi se på,

0:09:22.250,0:09:24.120
hvordan vi kan bruge den viden.

0:09:24.120,0:09:26.950
Det er en god idé at øve sig i at huske

0:09:26.950,0:09:30.850
sideforholdene.

0:09:30.850,0:09:34.740
Vi kan bruge den viden til at finde sider

0:09:34.740,0:09:35.900
i 30-60-90-trekanter meget hurtigt.

0:09:35.900,0:09:37.780
Vi ses.