1
00:00:01,500 --> 00:00:03,430
Velkommen til den her

2
00:00:03,430 --> 00:00:06,220
video om trekanter.

3
00:00:06,220 --> 00:00:10,980
Vi fortsætter med 45-45-90-trekanterne.

4
00:00:10,980 --> 00:00:15,190
I den sidste video lærte vi,

5
00:00:15,190 --> 00:00:19,830
at enhver side i 45-45-90-trekanter, der ikke er hypotenusen,

6
00:00:19,830 --> 00:00:25,600
er kvadratroden af 2 over 2 gange hypotenusen.

7
00:00:25,600 --> 00:00:26,850
Lad os lave et par opgaver mere.

8
00:00:26,850 --> 00:00:30,680
De her regler

9
00:00:30,680 --> 00:00:33,010
gælder kun for

10
00:00:33,010 --> 00:00:35,760
45-45-90-trekanter.

11
00:00:35,760 --> 00:00:37,870
Når vi tegner 1 vinkel på 45 grader, ved vi,

12
00:00:37,870 --> 00:00:39,780
at den anden også er 45 grader.

13
00:00:39,780 --> 00:00:42,960
Lad os sige,

14
00:00:42,960 --> 00:00:44,690
at hypotenusen her er 10.

15
00:00:44,690 --> 00:00:46,510
Vi ved, at det er hypotenusen,

16
00:00:46,510 --> 00:00:48,340
fordi den ligger modsat den rette vinkel.

17
00:00:48,340 --> 00:00:50,680
Hvad er den her side? Vi kalder den x.

18
00:00:50,680 --> 00:00:54,300
Vi ved, at x er lig med kvadratroden

19
00:00:54,300 --> 00:00:55,490
af 2 over 2 gange hypotenusen.

20
00:00:55,490 --> 00:01:01,440
Det er altså kvadratroden af 2 over 2 gange 10.

21
00:01:01,440 --> 00:01:07,700
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

22
00:01:07,700 --> 00:01:07,990
.

23
00:01:07,990 --> 00:01:08,910
Vi har divideret 10 med 2.

24
00:01:08,910 --> 00:01:12,160
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

25
00:01:12,160 --> 00:01:15,630
Vi ved,

26
00:01:15,630 --> 00:01:15,900
at de her sider er lig med hinanden.

27
00:01:15,900 --> 00:01:18,490
Vi ved, at den er ligebenet,

28
00:01:18,490 --> 00:01:20,280
fordi de her 2 vinkler er ens.

29
00:01:20,280 --> 00:01:23,770
Vi ved også, at den her side er 5 kvadratrødder af 2.

30
00:01:23,770 --> 00:01:25,830
Man kan selv prøve.

31
00:01:25,830 --> 00:01:27,460
Lad os prøve med Pythagoras læresætning.

32
00:01:27,460 --> 00:01:32,050
Vi ved fra Pythagoras læresætning, at 5 kvadratrødder af 2 i anden

33
00:01:32,050 --> 00:01:37,420
plus 5 kvadratrødder af 2 i anden er lig med hypotenusen i anden.

34
00:01:37,420 --> 00:01:39,090
Hypotenusen er 10,

35
00:01:39,090 --> 00:01:41,130
så det er 100.

36
00:01:41,130 --> 00:01:43,170
Det her er altså 25 gange 2,

37
00:01:43,170 --> 00:01:43,855
som er 50.

38
00:01:48,250 --> 00:01:49,590
Den her er 100.

39
00:01:49,590 --> 00:01:51,380
Den er lig med 100.

40
00:01:51,380 --> 00:01:53,780
Vi ved, at det er sandt.

41
00:01:53,780 --> 00:01:54,620
Det virkede altså.

42
00:01:54,620 --> 00:01:56,290
Vi beviste det ved hjælp af Pythagoras,

43
00:01:56,290 --> 00:01:57,740
og sådan kom vi i første omgang

44
00:01:57,740 --> 00:01:59,260
faktisk frem til den her formel.

45
00:01:59,260 --> 00:02:00,820
Hvis man har glemt, hvordan vi kom frem til den,

46
00:02:00,820 --> 00:02:03,590
kan man gå tilbage til nogle af de tidligere videoer.

47
00:02:03,590 --> 00:02:05,890
Nu skal vi faktisk

48
00:02:05,890 --> 00:02:06,620
se på en ny slags trekant.

49
00:02:06,620 --> 00:02:11,160
Vi gør det på samme måde

50
00:02:11,160 --> 00:02:14,490
ved at løse en opgave

51
00:02:14,490 --> 00:02:16,980
ved hjælp af Pythagoras.

52
00:02:16,980 --> 00:02:18,780
Det her er en type trekant,

53
00:02:18,780 --> 00:02:20,140
der hedder en 30-60-90-trekant.

54
00:02:25,550 --> 00:02:28,220
Hvis vi løber tør for tid,

55
00:02:28,220 --> 00:02:31,120
fortsætter vi i en ny video.

56
00:02:31,120 --> 00:02:33,965
Her er en retvinklet trekant.

57
00:02:38,610 --> 00:02:42,710
Den er ikke så pæn.

58
00:02:42,710 --> 00:02:43,920
Den er retvinklet.

59
00:02:43,920 --> 00:02:48,260
Den her vinkel er 30 grader.

60
00:02:48,260 --> 00:02:49,940
Vi ved, at alle vinklerne i en trekant

61
00:02:49,940 --> 00:02:51,730
sammenlagt giver 180 grader.

62
00:02:51,730 --> 00:02:56,570
Hvis den her er 30, og den her er 90, kan vi kalde den her for x.

63
00:02:56,570 --> 00:03:02,400
x plus 30 plus 90 er lig med 180.

64
00:03:02,400 --> 00:03:04,310
Alle vinklerne giver sammenlagt 180.

65
00:03:04,310 --> 00:03:07,770
I så fald ved vi, at x er lig med 60.

66
00:03:07,770 --> 00:03:08,600
.

67
00:03:08,600 --> 00:03:10,870
Den her vinkel er altså 60.

68
00:03:10,870 --> 00:03:14,370
Derfor hedder den en 30-60-90-trekant.

69
00:03:14,370 --> 00:03:17,320
Det angiver de 3 vinkler i trekanten.

70
00:03:17,320 --> 00:03:24,320
Lad os kalde hypotenusen h i stedet for c,

71
00:03:24,320 --> 00:03:27,130
som vi plejer.

72
00:03:27,130 --> 00:03:30,020
Hvordan kan vi finde længden af de andre sider?

73
00:03:30,020 --> 00:03:32,700
Dem kan vi sådan set finde ved hjælp

74
00:03:32,700 --> 00:03:34,210
af Pythagoras læresætning.

75
00:03:34,210 --> 00:03:36,410
Vi laver nu et lille trick.

76
00:03:36,410 --> 00:03:42,780
Lad os lave en kopi af trekanten,

77
00:03:42,780 --> 00:03:45,990
men vende den om.

78
00:03:45,990 --> 00:03:47,950
Det er den samme trekant.

79
00:03:47,950 --> 00:03:48,690
Den vender bare den anden vej.

80
00:03:48,690 --> 00:03:48,910
.

81
00:03:48,910 --> 00:03:51,040
Hvis den her vinkel er 90 grader,

82
00:03:51,040 --> 00:03:53,140
må de 2 andre vinkler være supplementære.

83
00:03:53,140 --> 00:03:55,890
Man kan eventuelt se nogle

84
00:03:55,890 --> 00:03:58,980
af videoerne om vinkler,

85
00:03:58,980 --> 00:04:00,000
hvis man ikke kan huske de supplementære vinkler.

86
00:04:00,000 --> 00:04:01,680
Den her er altså 90 grader.

87
00:04:01,680 --> 00:04:02,390
Det kan vi se på den.

88
00:04:02,390 --> 00:04:04,010
Det giver mening.

89
00:04:04,010 --> 00:04:06,040
Vi har vendt trekanten om.

90
00:04:06,040 --> 00:04:06,890
Det er stadig den samme trekant.

91
00:04:06,890 --> 00:04:09,130
Den er bare vendt til den anden side.

92
00:04:09,130 --> 00:04:12,400
Vi ved også, at den her vinkel er 30 grader.

93
00:04:12,400 --> 00:04:16,510
Til sidst ved vi, at den her vinkel er 60 grader.

94
00:04:16,510 --> 00:04:18,190
.

95
00:04:18,190 --> 00:04:20,450
Hvis de her vinkler er 30 grader,

96
00:04:20,450 --> 00:04:26,490
ved vi også,

97
00:04:26,490 --> 00:04:30,230
at den her større vinkel er 60 grader.

98
00:04:30,230 --> 00:04:31,770
.

99
00:04:31,770 --> 00:04:34,760
Hvis den her vinkel i toppen er 60 grader,

100
00:04:34,760 --> 00:04:38,920
og vinklen til højre er 60 grader,

101
00:04:38,920 --> 00:04:43,910
ved vi fra læresætningen om 45-45-90-trekanter,

102
00:04:43,910 --> 00:04:47,860
at hvis 2 vinkler er ens,

103
00:04:47,860 --> 00:04:52,030
er siderne de ikke har tilfælles også ens.

104
00:04:52,030 --> 00:04:53,440
Hvilke sider har de ikke tilfælles?

105
00:04:53,440 --> 00:04:55,490
Det er den her side og den her side.

106
00:04:55,490 --> 00:04:58,720
Hvis den her side er h, må den her side også være h.

107
00:04:58,720 --> 00:05:01,200
Den her vinkel er

108
00:05:01,200 --> 00:05:03,680
også 60 grader.

109
00:05:03,680 --> 00:05:07,600
Når begge de her vinkler er 60 grader,

110
00:05:07,600 --> 00:05:10,760
må siderne de ikke har tilfælles være ens.

111
00:05:10,760 --> 00:05:13,800
De har den her side tilfælles,

112
00:05:13,800 --> 00:05:15,370
så de har ikke den her og den her side tilfælles.

113
00:05:15,370 --> 00:05:19,460
Når den her side er h, må den her side altså også være h.

114
00:05:19,460 --> 00:05:21,270
.

115
00:05:21,270 --> 00:05:23,470
Hvis der altså er 60 grader 3 gange,

116
00:05:23,470 --> 00:05:26,680
har alle siderne samme længde,

117
00:05:26,680 --> 00:05:27,810
og så er trekanten ligesidet.

118
00:05:27,810 --> 00:05:29,670
Det er klogt at have i baghovedet.

119
00:05:29,670 --> 00:05:32,080
Det giver også mening,

120
00:05:32,080 --> 00:05:33,830
for ligesidede trekanter er symmetriskd ligemeget måden, vi ser på dem på.

121
00:05:33,830 --> 00:05:36,030
Alle vinklerne er ens,

122
00:05:36,030 --> 00:05:39,370
og alle siderne er ens.

123
00:05:39,370 --> 00:05:40,420
.

124
00:05:40,420 --> 00:05:43,090
Da vi startede med den her opgave

125
00:05:43,090 --> 00:05:44,050
brugte vi dog kun det halve af den her ligesidede trekant.

126
00:05:44,050 --> 00:05:48,970
Vi ved, at hele den her sidelængde er h.

127
00:05:48,970 --> 00:05:53,670
Hvad ved vi om den her side,

128
00:05:53,670 --> 00:05:56,530
altså grundvinklen i den oprindelige trekant,

129
00:05:56,530 --> 00:05:58,480
når den her længde er h?

130
00:05:58,480 --> 00:06:00,490
.

131
00:06:00,490 --> 00:06:02,180
Den må være det halve af den side.

132
00:06:02,180 --> 00:06:03,460
.

133
00:06:03,460 --> 00:06:07,890
Det her er h over 2, og det her er h over 2.

134
00:06:07,890 --> 00:06:08,770
.

135
00:06:12,380 --> 00:06:14,990
Lad os gå tilbage til den oprindelige trekant.

136
00:06:14,990 --> 00:06:17,730
Den her er 30 grader, og det her er hypotenusen,

137
00:06:17,730 --> 00:06:21,540
fordi den er modsat den rette vinkel.

138
00:06:21,540 --> 00:06:26,350
Vi ved nu, at siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

139
00:06:26,350 --> 00:06:28,140
Hvordan kom vi frem til det?

140
00:06:28,140 --> 00:06:29,840
Vi fordoblede trekanten.

141
00:06:29,840 --> 00:06:31,570
Vi lavede det til en ligesidet trekant.

142
00:06:31,570 --> 00:06:33,490
Vi fandt ud af,

143
00:06:33,490 --> 00:06:34,490
at hele den her side må være det samme som hypotenusen.

144
00:06:34,490 --> 00:06:36,760
Det her er det halve af hele den side.

145
00:06:36,760 --> 00:06:38,420
Det er altså det halve af hypotenusen.

146
00:06:38,420 --> 00:06:39,090
Lad os huske på det.

147
00:06:39,090 --> 00:06:43,060
Siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

148
00:06:43,060 --> 00:06:46,530
Lad os tegne det på en ny side.

149
00:06:46,530 --> 00:06:48,120
Det er ved at blive lidt rodet.

150
00:06:48,120 --> 00:06:49,880
Lad os gå tilbage til det oprindelige.

151
00:06:54,630 --> 00:06:56,570
Det her er en ret vinkel.

152
00:06:56,570 --> 00:06:59,700
Den her side er hypotenusen.

153
00:06:59,700 --> 00:07:05,080
Vi har lige fundet ud af,

154
00:07:05,080 --> 00:07:09,830
at siden modsat vinklen på 30 grader

155
00:07:09,830 --> 00:07:12,180
er lig med det halve af hypotenusen.

156
00:07:15,190 --> 00:07:17,300
Hvis den er lig med det halve af hypotenusen,

157
00:07:17,300 --> 00:07:19,450
hvad er den her side så lig med?

158
00:07:19,450 --> 00:07:22,660
Her kan vi igen bruge Pythagoras læresætning.

159
00:07:22,660 --> 00:07:25,685
Den her side i anden plus den her side i anden, som vi kalder a,

160
00:07:25,685 --> 00:07:31,470
er lig med h i anden.

161
00:07:31,470 --> 00:07:43,330
1/2 h i anden plus a i anden er lig med h i anden.

162
00:07:43,330 --> 00:07:48,370
Det svarer til h i anden over 4 plus a i anden

163
00:07:48,370 --> 00:07:51,690
er lig med h i anden.

164
00:07:51,690 --> 00:07:53,630
Vi trækker h i anden fra på begge sider.

165
00:07:53,630 --> 00:08:01,270
a i anden er lig med h i anden minus h i anden over 4.

166
00:08:01,270 --> 00:08:07,930
Det er altså lig med h i anden gange 1 minus 1/4.

167
00:08:07,930 --> 00:08:14,150
Det er lig med 3/4 h i anden.

168
00:08:14,150 --> 00:08:17,110
Det er igen lig med a i anden.

169
00:08:17,110 --> 00:08:19,710
Vi er ved at løbe tør for plads,

170
00:08:19,710 --> 00:08:21,730
så lad os gå herover.

171
00:08:21,730 --> 00:08:27,170
Vi tager kvadratroden af begge sider og får,

172
00:08:27,170 --> 00:08:30,920
at a er lig med kvadratroden af 3/4,

173
00:08:30,920 --> 00:08:36,270
som er det samme som kvadratroden af 3 over 2.

174
00:08:36,270 --> 00:08:40,510
Kvadratroden er h i anden er h.

175
00:08:41,430 --> 00:08:42,350
Det her a står ikke for areal.

176
00:08:42,350 --> 00:08:43,990
a er længden af den her side.

177
00:08:43,990 --> 00:08:45,630
Måske skulle vi have brugt noget andet end a.

178
00:08:45,630 --> 00:08:53,070
Det er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange h.

179
00:08:53,070 --> 00:08:53,670
Sådan.

180
00:08:53,670 --> 00:08:56,320
Vi har nu fundet alle sidelængderne

181
00:08:56,320 --> 00:08:59,320
i forhold til hypotenusen i 30-60-90-trekanter.

182
00:08:59,320 --> 00:09:01,360
.

183
00:09:01,360 --> 00:09:04,750
Hvis vi kender hypotenusen og ved, at det er en 30-60-90-trekant,

184
00:09:04,750 --> 00:09:08,080
ved vi, at siden modsat vinklen på 30 grader

185
00:09:08,080 --> 00:09:10,500
er lig med det halve af hypotenusen.

186
00:09:10,500 --> 00:09:14,010
Vi er også kommet frem til, at siden modsat vinklen på 60 grader

187
00:09:14,010 --> 00:09:18,410
er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange hypotenusen.

188
00:09:18,410 --> 00:09:22,250
I næste video skal vi se på,

189
00:09:22,250 --> 00:09:24,120
hvordan vi kan bruge den viden.

190
00:09:24,120 --> 00:09:26,950
Det er en god idé at øve sig i at huske

191
00:09:26,950 --> 00:09:30,850
sideforholdene.

192
00:09:30,850 --> 00:09:34,740
Vi kan bruge den viden til at finde sider

193
00:09:34,740 --> 00:09:35,900
i 30-60-90-trekanter meget hurtigt.

194
00:09:35,900 --> 00:09:37,780
Vi ses.