WEBVTT

00:00:01.500 --> 00:00:03.430
Velkommen til den her

00:00:03.430 --> 00:00:06.220
video om trekanter.

00:00:06.220 --> 00:00:10.980
Vi fortsætter med 45-45-90-trekanterne.

00:00:10.980 --> 00:00:15.190
I den sidste video lærte vi,

00:00:15.190 --> 00:00:19.830
at enhver side i 45-45-90-trekanter, der ikke er hypotenusen,

00:00:19.830 --> 00:00:25.600
er kvadratroden af 2 over 2 gange hypotenusen.

00:00:25.600 --> 00:00:26.850
Lad os lave et par opgaver mere.

00:00:26.850 --> 00:00:30.680
De her regler

00:00:30.680 --> 00:00:33.010
gælder kun for

00:00:33.010 --> 00:00:35.760
45-45-90-trekanter.

00:00:35.760 --> 00:00:37.870
Når vi tegner 1 vinkel på 45 grader, ved vi,

00:00:37.870 --> 00:00:39.780
at den anden også er 45 grader.

00:00:39.780 --> 00:00:42.960
Lad os sige,

00:00:42.960 --> 00:00:44.690
at hypotenusen her er 10.

00:00:44.690 --> 00:00:46.510
Vi ved, at det er hypotenusen,

00:00:46.510 --> 00:00:48.340
fordi den ligger modsat den rette vinkel.

00:00:48.340 --> 00:00:50.680
Hvad er den her side? Vi kalder den x.

00:00:50.680 --> 00:00:54.300
Vi ved, at x er lig med kvadratroden

00:00:54.300 --> 00:00:55.490
af 2 over 2 gange hypotenusen.

00:00:55.490 --> 00:01:01.440
Det er altså kvadratroden af 2 over 2 gange 10.

00:01:01.440 --> 00:01:07.700
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

00:01:07.700 --> 00:01:07.990
.

00:01:07.990 --> 00:01:08.910
Vi har divideret 10 med 2.

00:01:08.910 --> 00:01:12.160
x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

00:01:12.160 --> 00:01:15.630
Vi ved,

00:01:15.630 --> 00:01:15.900
at de her sider er lig med hinanden.

00:01:15.900 --> 00:01:18.490
Vi ved, at den er ligebenet,

00:01:18.490 --> 00:01:20.280
fordi de her 2 vinkler er ens.

00:01:20.280 --> 00:01:23.770
Vi ved også, at den her side er 5 kvadratrødder af 2.

00:01:23.770 --> 00:01:25.830
Man kan selv prøve.

00:01:25.830 --> 00:01:27.460
Lad os prøve med Pythagoras læresætning.

00:01:27.460 --> 00:01:32.050
Vi ved fra Pythagoras læresætning, at 5 kvadratrødder af 2 i anden

00:01:32.050 --> 00:01:37.420
plus 5 kvadratrødder af 2 i anden er lig med hypotenusen i anden.

00:01:37.420 --> 00:01:39.090
Hypotenusen er 10,

00:01:39.090 --> 00:01:41.130
så det er 100.

00:01:41.130 --> 00:01:43.170
Det her er altså 25 gange 2,

00:01:43.170 --> 00:01:43.855
som er 50.

00:01:48.250 --> 00:01:49.590
Den her er 100.

00:01:49.590 --> 00:01:51.380
Den er lig med 100.

00:01:51.380 --> 00:01:53.780
Vi ved, at det er sandt.

00:01:53.780 --> 00:01:54.620
Det virkede altså.

00:01:54.620 --> 00:01:56.290
Vi beviste det ved hjælp af Pythagoras,

00:01:56.290 --> 00:01:57.740
og sådan kom vi i første omgang

00:01:57.740 --> 00:01:59.260
faktisk frem til den her formel.

00:01:59.260 --> 00:02:00.820
Hvis man har glemt, hvordan vi kom frem til den,

00:02:00.820 --> 00:02:03.590
kan man gå tilbage til nogle af de tidligere videoer.

00:02:03.590 --> 00:02:05.890
Nu skal vi faktisk

00:02:05.890 --> 00:02:06.620
se på en ny slags trekant.

00:02:06.620 --> 00:02:11.160
Vi gør det på samme måde

00:02:11.160 --> 00:02:14.490
ved at løse en opgave

00:02:14.490 --> 00:02:16.980
ved hjælp af Pythagoras.

00:02:16.980 --> 00:02:18.780
Det her er en type trekant,

00:02:18.780 --> 00:02:20.140
der hedder en 30-60-90-trekant.

00:02:25.550 --> 00:02:28.220
Hvis vi løber tør for tid,

00:02:28.220 --> 00:02:31.120
fortsætter vi i en ny video.

00:02:31.120 --> 00:02:33.965
Her er en retvinklet trekant.

00:02:38.610 --> 00:02:42.710
Den er ikke så pæn.

00:02:42.710 --> 00:02:43.920
Den er retvinklet.

00:02:43.920 --> 00:02:48.260
Den her vinkel er 30 grader.

00:02:48.260 --> 00:02:49.940
Vi ved, at alle vinklerne i en trekant

00:02:49.940 --> 00:02:51.730
sammenlagt giver 180 grader.

00:02:51.730 --> 00:02:56.570
Hvis den her er 30, og den her er 90, kan vi kalde den her for x.

00:02:56.570 --> 00:03:02.400
x plus 30 plus 90 er lig med 180.

00:03:02.400 --> 00:03:04.310
Alle vinklerne giver sammenlagt 180.

00:03:04.310 --> 00:03:07.770
I så fald ved vi, at x er lig med 60.

00:03:07.770 --> 00:03:08.600
.

00:03:08.600 --> 00:03:10.870
Den her vinkel er altså 60.

00:03:10.870 --> 00:03:14.370
Derfor hedder den en 30-60-90-trekant.

00:03:14.370 --> 00:03:17.320
Det angiver de 3 vinkler i trekanten.

00:03:17.320 --> 00:03:24.320
Lad os kalde hypotenusen h i stedet for c,

00:03:24.320 --> 00:03:27.130
som vi plejer.

00:03:27.130 --> 00:03:30.020
Hvordan kan vi finde længden af de andre sider?

00:03:30.020 --> 00:03:32.700
Dem kan vi sådan set finde ved hjælp

00:03:32.700 --> 00:03:34.210
af Pythagoras læresætning.

00:03:34.210 --> 00:03:36.410
Vi laver nu et lille trick.

00:03:36.410 --> 00:03:42.780
Lad os lave en kopi af trekanten,

00:03:42.780 --> 00:03:45.990
men vende den om.

00:03:45.990 --> 00:03:47.950
Det er den samme trekant.

00:03:47.950 --> 00:03:48.690
Den vender bare den anden vej.

00:03:48.690 --> 00:03:48.910
.

00:03:48.910 --> 00:03:51.040
Hvis den her vinkel er 90 grader,

00:03:51.040 --> 00:03:53.140
må de 2 andre vinkler være supplementære.

00:03:53.140 --> 00:03:55.890
Man kan eventuelt se nogle

00:03:55.890 --> 00:03:58.980
af videoerne om vinkler,

00:03:58.980 --> 00:04:00.000
hvis man ikke kan huske de supplementære vinkler.

00:04:00.000 --> 00:04:01.680
Den her er altså 90 grader.

00:04:01.680 --> 00:04:02.390
Det kan vi se på den.

00:04:02.390 --> 00:04:04.010
Det giver mening.

00:04:04.010 --> 00:04:06.040
Vi har vendt trekanten om.

00:04:06.040 --> 00:04:06.890
Det er stadig den samme trekant.

00:04:06.890 --> 00:04:09.130
Den er bare vendt til den anden side.

00:04:09.130 --> 00:04:12.400
Vi ved også, at den her vinkel er 30 grader.

00:04:12.400 --> 00:04:16.510
Til sidst ved vi, at den her vinkel er 60 grader.

00:04:16.510 --> 00:04:18.190
.

00:04:18.190 --> 00:04:20.450
Hvis de her vinkler er 30 grader,

00:04:20.450 --> 00:04:26.490
ved vi også,

00:04:26.490 --> 00:04:30.230
at den her større vinkel er 60 grader.

00:04:30.230 --> 00:04:31.770
.

00:04:31.770 --> 00:04:34.760
Hvis den her vinkel i toppen er 60 grader,

00:04:34.760 --> 00:04:38.920
og vinklen til højre er 60 grader,

00:04:38.920 --> 00:04:43.910
ved vi fra læresætningen om 45-45-90-trekanter,

00:04:43.910 --> 00:04:47.860
at hvis 2 vinkler er ens,

00:04:47.860 --> 00:04:52.030
er siderne de ikke har tilfælles også ens.

00:04:52.030 --> 00:04:53.440
Hvilke sider har de ikke tilfælles?

00:04:53.440 --> 00:04:55.490
Det er den her side og den her side.

00:04:55.490 --> 00:04:58.720
Hvis den her side er h, må den her side også være h.

00:04:58.720 --> 00:05:01.200
Den her vinkel er

00:05:01.200 --> 00:05:03.680
også 60 grader.

00:05:03.680 --> 00:05:07.600
Når begge de her vinkler er 60 grader,

00:05:07.600 --> 00:05:10.760
må siderne de ikke har tilfælles være ens.

00:05:10.760 --> 00:05:13.800
De har den her side tilfælles,

00:05:13.800 --> 00:05:15.370
så de har ikke den her og den her side tilfælles.

00:05:15.370 --> 00:05:19.460
Når den her side er h, må den her side altså også være h.

00:05:19.460 --> 00:05:21.270
.

00:05:21.270 --> 00:05:23.470
Hvis der altså er 60 grader 3 gange,

00:05:23.470 --> 00:05:26.680
har alle siderne samme længde,

00:05:26.680 --> 00:05:27.810
og så er trekanten ligesidet.

00:05:27.810 --> 00:05:29.670
Det er klogt at have i baghovedet.

00:05:29.670 --> 00:05:32.080
Det giver også mening,

00:05:32.080 --> 00:05:33.830
for ligesidede trekanter er symmetriskd ligemeget måden, vi ser på dem på.

00:05:33.830 --> 00:05:36.030
Alle vinklerne er ens,

00:05:36.030 --> 00:05:39.370
og alle siderne er ens.

00:05:39.370 --> 00:05:40.420
.

00:05:40.420 --> 00:05:43.090
Da vi startede med den her opgave

00:05:43.090 --> 00:05:44.050
brugte vi dog kun det halve af den her ligesidede trekant.

00:05:44.050 --> 00:05:48.970
Vi ved, at hele den her sidelængde er h.

00:05:48.970 --> 00:05:53.670
Hvad ved vi om den her side,

00:05:53.670 --> 00:05:56.530
altså grundvinklen i den oprindelige trekant,

00:05:56.530 --> 00:05:58.480
når den her længde er h?

00:05:58.480 --> 00:06:00.490
.

00:06:00.490 --> 00:06:02.180
Den må være det halve af den side.

00:06:02.180 --> 00:06:03.460
.

00:06:03.460 --> 00:06:07.890
Det her er h over 2, og det her er h over 2.

00:06:07.890 --> 00:06:08.770
.

00:06:12.380 --> 00:06:14.990
Lad os gå tilbage til den oprindelige trekant.

00:06:14.990 --> 00:06:17.730
Den her er 30 grader, og det her er hypotenusen,

00:06:17.730 --> 00:06:21.540
fordi den er modsat den rette vinkel.

00:06:21.540 --> 00:06:26.350
Vi ved nu, at siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

00:06:26.350 --> 00:06:28.140
Hvordan kom vi frem til det?

00:06:28.140 --> 00:06:29.840
Vi fordoblede trekanten.

00:06:29.840 --> 00:06:31.570
Vi lavede det til en ligesidet trekant.

00:06:31.570 --> 00:06:33.490
Vi fandt ud af,

00:06:33.490 --> 00:06:34.490
at hele den her side må være det samme som hypotenusen.

00:06:34.490 --> 00:06:36.760
Det her er det halve af hele den side.

00:06:36.760 --> 00:06:38.420
Det er altså det halve af hypotenusen.

00:06:38.420 --> 00:06:39.090
Lad os huske på det.

00:06:39.090 --> 00:06:43.060
Siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

00:06:43.060 --> 00:06:46.530
Lad os tegne det på en ny side.

00:06:46.530 --> 00:06:48.120
Det er ved at blive lidt rodet.

00:06:48.120 --> 00:06:49.880
Lad os gå tilbage til det oprindelige.

00:06:54.630 --> 00:06:56.570
Det her er en ret vinkel.

00:06:56.570 --> 00:06:59.700
Den her side er hypotenusen.

00:06:59.700 --> 00:07:05.080
Vi har lige fundet ud af,

00:07:05.080 --> 00:07:09.830
at siden modsat vinklen på 30 grader

00:07:09.830 --> 00:07:12.180
er lig med det halve af hypotenusen.

00:07:15.190 --> 00:07:17.300
Hvis den er lig med det halve af hypotenusen,

00:07:17.300 --> 00:07:19.450
hvad er den her side så lig med?

00:07:19.450 --> 00:07:22.660
Her kan vi igen bruge Pythagoras læresætning.

00:07:22.660 --> 00:07:25.685
Den her side i anden plus den her side i anden, som vi kalder a,

00:07:25.685 --> 00:07:31.470
er lig med h i anden.

00:07:31.470 --> 00:07:43.330
1/2 h i anden plus a i anden er lig med h i anden.

00:07:43.330 --> 00:07:48.370
Det svarer til h i anden over 4 plus a i anden

00:07:48.370 --> 00:07:51.690
er lig med h i anden.

00:07:51.690 --> 00:07:53.630
Vi trækker h i anden fra på begge sider.

00:07:53.630 --> 00:08:01.270
a i anden er lig med h i anden minus h i anden over 4.

00:08:01.270 --> 00:08:07.930
Det er altså lig med h i anden gange 1 minus 1/4.

00:08:07.930 --> 00:08:14.150
Det er lig med 3/4 h i anden.

00:08:14.150 --> 00:08:17.110
Det er igen lig med a i anden.

00:08:17.110 --> 00:08:19.710
Vi er ved at løbe tør for plads,

00:08:19.710 --> 00:08:21.730
så lad os gå herover.

00:08:21.730 --> 00:08:27.170
Vi tager kvadratroden af begge sider og får,

00:08:27.170 --> 00:08:30.920
at a er lig med kvadratroden af 3/4,

00:08:30.920 --> 00:08:36.270
som er det samme som kvadratroden af 3 over 2.

00:08:36.270 --> 00:08:40.510
Kvadratroden er h i anden er h.

00:08:41.430 --> 00:08:42.350
Det her a står ikke for areal.

00:08:42.350 --> 00:08:43.990
a er længden af den her side.

00:08:43.990 --> 00:08:45.630
Måske skulle vi have brugt noget andet end a.

00:08:45.630 --> 00:08:53.070
Det er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange h.

00:08:53.070 --> 00:08:53.670
Sådan.

00:08:53.670 --> 00:08:56.320
Vi har nu fundet alle sidelængderne

00:08:56.320 --> 00:08:59.320
i forhold til hypotenusen i 30-60-90-trekanter.

00:08:59.320 --> 00:09:01.360
.

00:09:01.360 --> 00:09:04.750
Hvis vi kender hypotenusen og ved, at det er en 30-60-90-trekant,

00:09:04.750 --> 00:09:08.080
ved vi, at siden modsat vinklen på 30 grader

00:09:08.080 --> 00:09:10.500
er lig med det halve af hypotenusen.

00:09:10.500 --> 00:09:14.010
Vi er også kommet frem til, at siden modsat vinklen på 60 grader

00:09:14.010 --> 00:09:18.410
er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange hypotenusen.

00:09:18.410 --> 00:09:22.250
I næste video skal vi se på,

00:09:22.250 --> 00:09:24.120
hvordan vi kan bruge den viden.

00:09:24.120 --> 00:09:26.950
Det er en god idé at øve sig i at huske

00:09:26.950 --> 00:09:30.850
sideforholdene.

00:09:30.850 --> 00:09:34.740
Vi kan bruge den viden til at finde sider

00:09:34.740 --> 00:09:35.900
i 30-60-90-trekanter meget hurtigt.

00:09:35.900 --> 00:09:37.780
Vi ses.