-
Съжалявам, че започвам урока с кашлица.
-
Мисля, че все още не съм много оздравял.
-
Но сега, искам да продължа за правоъгълните триъгълници, имащи ъгъл 45 градуса.
-
В миналата презентация научихме, че дължината на всеки от катетите (така наричаме страните
-
на такъв триъгълник, различни от хипотенузата), е равна
-
на корен квадратен от 2 върху 2 по дължината на хипотенузата.
-
Да решим още няколко задачи.
-
Да кажем, че хипотенузата на този
-
триъгълник... още веднъж повтарям, че това важи
-
само за правоъгълни триъгълници , имащи ъгъл 45 градуса
-
и ако просто начертая един ъгъл, който е равен на 45 градуса, знаете,
-
че и другият остър ъгъл в този правоъгълен триъгълник винаги е равен на 45 градуса...
-
Да кажем, че дължината на хипотенузата е
-
10, например.
-
Знаем, че това е хипотенузата, защото е страната срещу
-
правия ъгъл,
-
и питам колко дълга е тази страна, означена с х.
-
Знаем, че х е равно на квадратен корен от 2,
-
върху 2 по хипотенузата.
-
Следователно се получава втори корен от 2 върху 2 по 10,
-
или х е равно на 5 по втори корен от 2.
-
Нали така?
-
10 делено на 2.
-
И така стойността на х е 5 по втори корен от 2.
-
Знаем, че дължините на тази и тази страни са равни,
-
нали?
-
Оказва се, че нашия триъгълник е и равнобедрен,
-
защото тези два ъгъла са равни.
-
Също така знаем и че тази страна е 5 върху 2
-
Ако не сте сигурни, проверете.
-
Да приложим Питагоровата теорема.
-
От нея знаем, че 5 по корен от 2, цялото на квадрат,
-
плюс 5 по корен от 2, цялото на квадрат, е равно на квадрата на хипотенузата,
-
а тя е дълга 10,
-
значи е равно на 100.
-
Получава се 25 по 2,
-
което е 50,
-
Получава се, че 100
-
е равно на 100,
-
а ние разбира се знаем, че това е вярно.
-
Значи е така.
-
Доказахме го чрез Питагоровата теорема и
-
всъщност така стигнахме до формулата
-
още в началото.
-
Може би трябва да се върнете към някои от предишните презентации,
-
ако забравите или не разбирате как стигнахме до това.
-
Всъщност, сега ще представя друг
-
интересен правоъгълен триъгълник.
-
Ще го направя по същия начин, чрез задаване на задача
-
и използване на Питагоровата теорема,
-
за да я реша.
-
Това е удобен вид триъгълник, наречен
-
правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.
-
Ако нямам време за това, ще направя
-
друга презентация.
-
Да кажем, че имам правоъгълен триъгълник.
-
Не е много хубав, но ще ползваме каквото можем.
-
Това е прав ъгъл
-
и казваме, че този ъгъл тук е 30 градуса.
-
Знаем, че сборът на ъглите във всеки триъгълник
-
е 180 градуса.
-
Ако размерът на този ъгъл е 30, на този - 90, а този наречем х,
-
то х плюс 30 плюс 90 е равно на 180, защото сборът на ъглите
-
в триъгълника винаги е 180 градуса.
-
Получаваме, че х е равно на 60.
-
Нали?
-
Така че стойността този ъгъл е 60.
-
Ето защо понякога този триъгълник се нарича и триъгълник 30-60-90 -
-
това са мерките на ъглите му.
-
И ако кажем, че дължината на хипотенузата е
-
означена не с, както винаги я кръщаваме, ами h,
-
и искаме да намерим дължините на другите страни, как ще го направим?
-
Ами можем да го направим главно, като ползваме
-
Питагоровате теорема.
-
Сега ще направя малък трик.
-
Да начертаем същия триъгълник, но да го завъртим
-
на другата страна.
-
Това е същия триъгълник, обърнат
-
в друга посока.
-
Нали?
-
Ако този ъгъл е 90 градуса, знаем, че тези двата
-
ъгъла са съседни.
-
Може би е добре да прегледате урока за съседни ъгли, ако сте ги забравили,
-
че това са два ъгъла с по едно рамо, лежащо на обща права,
-
и сборът на мерките им винаги е 180 градуса.
-
Така че щом това е 90 и това ще е 90.
-
Лесно е да се види.
-
Има логика.
-
Тъй като просто го обърнахме, този триъгълник е
-
еднакъв на първия.
-
Просто е завъртян симетрично.
-
Знаем и че този мярката на този ъгъл е 30 градуса,
-
а на този ъгъл пък е 60 градуса.
-
Нали?
-
Ами ако този ъгъл е 30 градуса и този тук е 30,
-
знаем, че този голямия ъгъл, който стига
-
от тук до тук, е 60 градуса,
-
нали?
-
Следователно, ако този ъгъл е 60, горният ъгъл е 60
-
и този вдясно е 60 градуса, тогава
-
знаем от теоремата, която научихме от правоъгълните триъгълници
-
с ъгъл 45 градуса, че ако тези два ъгъла са равни,
-
тогава страните, които не са общи, също са равни.
-
Кои от страните не са общи?
-
Ами тази и тази страна.
-
Значи ако тази е h, тогава и тази е h,
-
нали?
-
Но този ъгъл също е 60 градуса.
-
Тогава ако погледнем тези 60 и тези 60 градуса,
-
виждаме, че страните, които не са общи, също са равни.
-
Тази страна не е обща, така че общите страни
-
са тази и тази.
-
Тогава тази страна е h, също така знаем и че тази е h,
-
нали?
-
Тогава излиза, че ако имаме три ъгъла
-
по 60 градуса, всички страни са равни,
-
или имаме равностранен триъгълник.
-
Това трябва да се запомни.
-
Много е логично, защото равностранният триъгълник
-
е симетричен без значение как го гледаме.
-
Тъй че има логика всички ъгли да са равни
-
и всички страни да са с равна дължина.
-
Обаче...
-
Когато първоначално решавахме задачата, използвахме половината на
-
този равностранен триъгълник.
-
Знаем, че тази цялата страна има дължина h,
-
но ако цялата е h, тогава тази страна,
-
само частта, която беше основата на първоначалния триъгълник...
-
не съм много старателен нарочно...
-
Да изпробваме нов цвят...
-
Това ще е половината от тази страна,
-
нали?
-
Защото това е h върху 2 и това също е h върху 2,
-
ето тук...
-
Ако се върнем към първоначалния триъгълник и кажем, че
-
това е 30 градуса и това е хипотенузата,
-
защото е срещу правия ъгъл, знаем, че страната
-
срещу 30-те градуса е половината от хипотенузата.
-
Само да припомним, как доказахме това?
-
Удвоихме триъгълника.
-
Превърнахме го в равностранен триъгълник.
-
Показахме, че тази страна е същата
-
като хипотенузата
-
и това е половината от цялата страна,
-
т.е. 1/2 от хипотенузата.
-
Да запомним това.
-
Дължината на катета срещу ъгъл, равен на 30 градуса е 1/2 от дължината на хипотенузата.
-
Нека го начертая отново на нова страница, защото смятам,
-
че става малко объркано.
-
Да се върнем към това, което качах в началото.
-
Това е прав ъгъл.
-
Това е хипотенуза - тази страна тук.
-
Ако това е 30 градуса, току-що показахме, че страната
-
срещу 30-те градуса, страната, до която се разширява ъгълът,
-
е равна на 1/2 от хипотенузата.
-
Ако това е половината на хипотенузата, тогава
-
на колко е равна тази страна?
-
Ами отново можем да използваме Питагоровата теорема.
-
Знаем, че тази страна на квадрат плюс тази
-
(да я кръстим А) на квадрат е равно на h на квадрат.
-
Значи имам 1/2 h на квадрат плюс а на квадрат равно на h на квадрат.
-
Това е равно на h на квадрат върху 4, плюс А на квадрат
-
равно на h на квадрат.
-
Вадим h на квадрат от двете страни
-
и получаваме А на квадрат е равно на h на квадрат минус h на квадрат върху 4,
-
което е h на втора по 1 минус 1/4.
-
Това прави 3/4 h на втора
-
равно на А на квадрат.
-
Свършва ми мястото, затова ще продължа
-
ето тук.
-
Коренуваме двете страни и получаваме а равно на...
-
корен квадратен от 3/4 е същото като
-
корен от 3 върху 2,
-
А пък корен от h на втора е просто h.
-
Ето това е а и запомнете - това не е лице,
-
това е дължината на страната.
-
Може би не трябваше да използвам "А."
-
Но това е равно на корен от 3 върху 2 по h.
-
Ето.
-
Намерихме всички страни спрямо
-
хипотенузата в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.
-
Това е 60 градуса...
-
Така че ако знаем хипотенузата и че това е триъгълник с ъгли 30,60 и 90 градуса,
-
страната срещу 30-градусовия ъгъл
-
е 1/2 от хипотенузата,
-
а страната срещу 60-градусовия ъгъл е
-
корен от 3 върху 2, по хипотенузата.
-
В следващия урок ще ви покажа как да използвате тази информация
-
(която можете да запомните или да забравите - може би
-
е добра идея да я научите и упражнявате, защото ще ви помогне
-
да се справяте бързо със стандартизирани тестове),
-
как да използвате тази информация, за да намирате страните на триъгълник с ъгли 30,60,90
-
много бързо.
-
До следващата презентация!
