WEBVTT

00:00:01.500 --> 00:00:03.430
Съжалявам, че започвам урока с кашлица.

00:00:03.430 --> 00:00:06.220
Мисля, че все още не съм много оздравял.

00:00:06.220 --> 00:00:10.980
Но сега, искам да продължа за правоъгълните триъгълници, имащи ъгъл 45 градуса.

00:00:10.980 --> 00:00:15.190
В миналата презентация научихме, че дължината на всеки от катетите (така наричаме страните

00:00:15.190 --> 00:00:19.830
на такъв триъгълник, различни от хипотенузата), е равна

00:00:19.830 --> 00:00:25.600
на корен квадратен от 2 върху 2 по дължината на хипотенузата.

00:00:25.600 --> 00:00:26.850
Да решим още няколко задачи.

00:00:26.850 --> 00:00:30.680
Да кажем, че хипотенузата на този

00:00:30.680 --> 00:00:33.010
триъгълник... още веднъж повтарям, че това важи

00:00:33.010 --> 00:00:35.760
само за правоъгълни триъгълници , имащи ъгъл 45 градуса

00:00:35.760 --> 00:00:37.870
и ако просто начертая един ъгъл, който е равен на 45 градуса, знаете,

00:00:37.870 --> 00:00:39.780
че и другият остър ъгъл в този правоъгълен триъгълник винаги е равен на 45 градуса...

00:00:39.780 --> 00:00:42.960
Да кажем, че дължината на хипотенузата е

00:00:42.960 --> 00:00:44.690
10, например.

00:00:44.690 --> 00:00:46.510
Знаем, че това е хипотенузата, защото е страната срещу

00:00:46.510 --> 00:00:48.340
правия ъгъл,

00:00:48.340 --> 00:00:50.680
и питам колко дълга е тази страна, означена с х.

00:00:50.680 --> 00:00:54.300
Знаем, че х е равно на квадратен корен от 2,

00:00:54.300 --> 00:00:55.490
върху 2 по хипотенузата.

00:00:55.490 --> 00:01:01.440
Следователно се получава втори корен от 2 върху 2 по 10,

00:01:01.440 --> 00:01:07.700
или х е равно на 5 по втори корен от 2.

00:01:07.700 --> 00:01:07.990
Нали така?

00:01:07.990 --> 00:01:08.910
10 делено на 2.

00:01:08.910 --> 00:01:12.160
И така стойността на х е 5 по втори корен от 2.

00:01:12.160 --> 00:01:15.630
Знаем, че дължините на тази и тази страни са равни,

00:01:15.630 --> 00:01:15.900
нали?

00:01:15.900 --> 00:01:18.490
Оказва се, че нашия триъгълник е и равнобедрен,

00:01:18.490 --> 00:01:20.280
защото тези два ъгъла са равни.

00:01:20.280 --> 00:01:23.770
Също така знаем и че тази страна е 5 върху 2

00:01:23.770 --> 00:01:25.830
Ако не сте сигурни, проверете.

00:01:25.830 --> 00:01:27.460
Да приложим Питагоровата теорема.

00:01:27.460 --> 00:01:32.050
От нея знаем, че 5 по корен от 2, цялото на квадрат,

00:01:32.050 --> 00:01:37.420
плюс 5 по корен от 2, цялото на квадрат, е равно на квадрата на хипотенузата,

00:01:37.420 --> 00:01:39.090
а тя е дълга 10,

00:01:39.090 --> 00:01:41.130
значи е равно на 100.

00:01:41.130 --> 00:01:43.170
Получава се 25 по 2,

00:01:43.170 --> 00:01:43.855
което е 50,

00:01:48.250 --> 00:01:49.590
Получава се, че 100

00:01:49.590 --> 00:01:51.380
е равно на 100,

00:01:51.380 --> 00:01:53.780
а ние разбира се знаем, че това е вярно.

00:01:53.780 --> 00:01:54.620
Значи е така.

00:01:54.620 --> 00:01:56.290
Доказахме го чрез Питагоровата теорема и

00:01:56.290 --> 00:01:57.740
всъщност така стигнахме до формулата

00:01:57.740 --> 00:01:59.260
още в началото.

00:01:59.260 --> 00:02:00.820
Може би трябва да се върнете към някои от предишните презентации,

00:02:00.820 --> 00:02:03.590
ако забравите или не разбирате как стигнахме до това.

00:02:03.590 --> 00:02:05.890
Всъщност, сега ще представя друг

00:02:05.890 --> 00:02:06.620
интересен правоъгълен триъгълник.

00:02:06.620 --> 00:02:11.160
Ще го направя по същия начин, чрез задаване на задача

00:02:11.160 --> 00:02:14.490
и използване на Питагоровата теорема,

00:02:14.490 --> 00:02:16.980
за да я реша.

00:02:16.980 --> 00:02:18.780
Това е удобен вид триъгълник, наречен

00:02:18.780 --> 00:02:20.140
правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.

00:02:25.550 --> 00:02:28.220
Ако нямам време за това, ще направя

00:02:28.220 --> 00:02:31.120
друга презентация.

00:02:31.120 --> 00:02:33.965
Да кажем, че имам правоъгълен триъгълник.

00:02:38.610 --> 00:02:42.710
Не е много хубав, но ще ползваме каквото можем.

00:02:42.710 --> 00:02:43.920
Това е прав ъгъл

00:02:43.920 --> 00:02:48.260
и казваме, че този ъгъл тук е 30 градуса.

00:02:48.260 --> 00:02:49.940
Знаем, че сборът на ъглите във всеки триъгълник

00:02:49.940 --> 00:02:51.730
е 180 градуса.

00:02:51.730 --> 00:02:56.570
Ако размерът на този ъгъл е 30, на този - 90, а този наречем х,

00:02:56.570 --> 00:03:02.400
то х плюс 30 плюс 90 е равно на 180, защото сборът на ъглите

00:03:02.400 --> 00:03:04.310
в триъгълника винаги е 180 градуса.

00:03:04.310 --> 00:03:07.770
Получаваме, че х е равно на 60.

00:03:07.770 --> 00:03:08.600
Нали?

00:03:08.600 --> 00:03:10.870
Така че стойността този ъгъл е 60.

00:03:10.870 --> 00:03:14.370
Ето защо понякога този триъгълник се нарича и триъгълник 30-60-90 -

00:03:14.370 --> 00:03:17.320
това са мерките на ъглите му.

00:03:17.320 --> 00:03:24.320
И ако кажем, че дължината на хипотенузата е

00:03:24.320 --> 00:03:27.130
означена не с, както винаги я кръщаваме, ами h,

00:03:27.130 --> 00:03:30.020
и искаме да намерим дължините на другите страни, как ще го направим?

00:03:30.020 --> 00:03:32.700
Ами можем да го направим главно, като ползваме

00:03:32.700 --> 00:03:34.210
Питагоровате теорема.

00:03:34.210 --> 00:03:36.410
Сега ще направя малък трик.

00:03:36.410 --> 00:03:42.780
Да начертаем същия триъгълник, но да го завъртим

00:03:42.780 --> 00:03:45.990
на другата страна.

00:03:45.990 --> 00:03:47.950
Това е същия триъгълник, обърнат

00:03:47.950 --> 00:03:48.690
в друга посока.

00:03:48.690 --> 00:03:48.910
Нали?

00:03:48.910 --> 00:03:51.040
Ако този ъгъл е 90 градуса, знаем, че тези двата

00:03:51.040 --> 00:03:53.140
ъгъла са съседни.

00:03:53.140 --> 00:03:55.890
Може би е добре да прегледате урока за съседни ъгли, ако сте ги забравили,

00:03:55.890 --> 00:03:58.980
че това са два ъгъла с по едно рамо, лежащо на обща права,

00:03:58.980 --> 00:04:00.000
и сборът на мерките им винаги е 180 градуса.

00:04:00.000 --> 00:04:01.680
Така че щом това е 90 и това ще е 90.

00:04:01.680 --> 00:04:02.390
Лесно е да се види.

00:04:02.390 --> 00:04:04.010
Има логика.

00:04:04.010 --> 00:04:06.040
Тъй като просто го обърнахме, този триъгълник е

00:04:06.040 --> 00:04:06.890
еднакъв на първия.

00:04:06.890 --> 00:04:09.130
Просто е завъртян симетрично.

00:04:09.130 --> 00:04:12.400
Знаем и че този мярката на този ъгъл е 30 градуса,

00:04:12.400 --> 00:04:16.510
а на този ъгъл пък е 60 градуса.

00:04:16.510 --> 00:04:18.190
Нали?

00:04:18.190 --> 00:04:20.450
Ами ако този ъгъл е 30 градуса и този тук е 30,

00:04:20.450 --> 00:04:26.490
знаем, че този голямия ъгъл, който стига

00:04:26.490 --> 00:04:30.230
от тук до тук, е 60 градуса,

00:04:30.230 --> 00:04:31.770
нали?

00:04:31.770 --> 00:04:34.760
Следователно, ако този ъгъл е 60, горният ъгъл е 60

00:04:34.760 --> 00:04:38.920
и този вдясно е 60 градуса, тогава

00:04:38.920 --> 00:04:43.910
знаем от теоремата, която научихме от правоъгълните триъгълници

00:04:43.910 --> 00:04:47.860
с ъгъл 45 градуса, че ако тези два ъгъла са равни,

00:04:47.860 --> 00:04:52.030
тогава страните, които не са общи, също са равни.

00:04:52.030 --> 00:04:53.440
Кои от страните не са общи?

00:04:53.440 --> 00:04:55.490
Ами тази и тази страна.

00:04:55.490 --> 00:04:58.720
Значи ако тази е h, тогава и тази е h,

00:04:58.720 --> 00:05:01.200
нали?

00:05:01.200 --> 00:05:03.680
Но този ъгъл също е 60 градуса.

00:05:03.680 --> 00:05:07.600
Тогава ако погледнем тези 60 и тези 60 градуса,

00:05:07.600 --> 00:05:10.760
виждаме, че страните, които не са общи, също са равни.

00:05:10.760 --> 00:05:13.800
Тази страна не е обща, така че общите страни

00:05:13.800 --> 00:05:15.370
са тази и тази.

00:05:15.370 --> 00:05:19.460
Тогава тази страна е h, също така знаем и че тази е h,

00:05:19.460 --> 00:05:21.270
нали?

00:05:21.270 --> 00:05:23.470
Тогава излиза, че ако имаме три ъгъла

00:05:23.470 --> 00:05:26.680
по 60 градуса, всички страни са равни,

00:05:26.680 --> 00:05:27.810
или имаме равностранен триъгълник.

00:05:27.810 --> 00:05:29.670
Това трябва да се запомни.

00:05:29.670 --> 00:05:32.080
Много е логично, защото равностранният триъгълник

00:05:32.080 --> 00:05:33.830
е симетричен без значение как го гледаме.

00:05:33.830 --> 00:05:36.030
Тъй че има логика всички ъгли да са равни

00:05:36.030 --> 00:05:39.370
и всички страни да са с равна дължина.

00:05:39.370 --> 00:05:40.420
Обаче...

00:05:40.420 --> 00:05:43.090
Когато първоначално решавахме задачата, използвахме половината на

00:05:43.090 --> 00:05:44.050
този равностранен триъгълник.

00:05:44.050 --> 00:05:48.970
Знаем, че тази цялата страна има дължина h,

00:05:48.970 --> 00:05:53.670
но ако цялата е h, тогава тази страна,

00:05:53.670 --> 00:05:56.530
само частта, която беше основата на първоначалния триъгълник...

00:05:56.530 --> 00:05:58.480
не съм много старателен нарочно...

00:05:58.480 --> 00:06:00.490
Да изпробваме нов цвят...

00:06:00.490 --> 00:06:02.180
Това ще е половината от тази страна,

00:06:02.180 --> 00:06:03.460
нали?

00:06:03.460 --> 00:06:07.890
Защото това е h върху 2 и това също е h върху 2,

00:06:07.890 --> 00:06:08.770
ето тук...

00:06:12.380 --> 00:06:14.990
Ако се върнем към първоначалния триъгълник и кажем, че

00:06:14.990 --> 00:06:17.730
това е 30 градуса и това е хипотенузата,

00:06:17.730 --> 00:06:21.540
защото е срещу правия ъгъл, знаем, че страната

00:06:21.540 --> 00:06:26.350
срещу 30-те градуса е половината от хипотенузата.

00:06:26.350 --> 00:06:28.140
Само да припомним, как доказахме това?

00:06:28.140 --> 00:06:29.840
Удвоихме триъгълника.

00:06:29.840 --> 00:06:31.570
Превърнахме го в равностранен триъгълник.

00:06:31.570 --> 00:06:33.490
Показахме, че тази страна е същата

00:06:33.490 --> 00:06:34.490
като хипотенузата

00:06:34.490 --> 00:06:36.760
и това е половината от цялата страна,

00:06:36.760 --> 00:06:38.420
т.е. 1/2 от хипотенузата.

00:06:38.420 --> 00:06:39.090
Да запомним това.

00:06:39.090 --> 00:06:43.060
Дължината на катета срещу ъгъл, равен на 30 градуса е 1/2 от дължината на хипотенузата.

00:06:43.060 --> 00:06:46.530
Нека го начертая отново на нова страница, защото смятам,

00:06:46.530 --> 00:06:48.120
че става малко объркано.

00:06:48.120 --> 00:06:49.880
Да се върнем към това, което качах в началото.

00:06:54.630 --> 00:06:56.570
Това е прав ъгъл.

00:06:56.570 --> 00:06:59.700
Това е хипотенуза - тази страна тук.

00:06:59.700 --> 00:07:05.080
Ако това е 30 градуса, току-що показахме, че страната

00:07:05.080 --> 00:07:09.830
срещу 30-те градуса, страната, до която се разширява ъгълът,

00:07:09.830 --> 00:07:12.180
е равна на 1/2 от хипотенузата.

00:07:15.190 --> 00:07:17.300
Ако това е половината на хипотенузата, тогава

00:07:17.300 --> 00:07:19.450
на колко е равна тази страна?

00:07:19.450 --> 00:07:22.660
Ами отново можем да използваме Питагоровата теорема.

00:07:22.660 --> 00:07:25.685
Знаем, че тази страна на квадрат плюс тази

00:07:25.685 --> 00:07:31.470
(да я кръстим А) на квадрат е равно на h на квадрат.

00:07:31.470 --> 00:07:43.330
Значи имам 1/2 h на квадрат плюс а на квадрат равно на h на квадрат.

00:07:43.330 --> 00:07:48.370
Това е равно на h на квадрат върху 4, плюс А на квадрат

00:07:48.370 --> 00:07:51.690
равно на h на квадрат.

00:07:51.690 --> 00:07:53.630
Вадим h на квадрат от двете страни

00:07:53.630 --> 00:08:01.270
и получаваме А на квадрат е равно на h на квадрат минус h на квадрат върху 4,

00:08:01.270 --> 00:08:07.930
което е h на втора по 1 минус 1/4.

00:08:07.930 --> 00:08:14.150
Това прави 3/4 h на втора

00:08:14.150 --> 00:08:17.110
равно на А на квадрат.

00:08:17.110 --> 00:08:19.710
Свършва ми мястото, затова ще продължа

00:08:19.710 --> 00:08:21.730
ето тук.

00:08:21.730 --> 00:08:27.170
Коренуваме двете страни и получаваме а равно на...

00:08:27.170 --> 00:08:30.920
корен квадратен от 3/4 е същото като

00:08:30.920 --> 00:08:36.270
корен от 3 върху 2,

00:08:36.270 --> 00:08:40.510
А пък корен от h на втора е просто h.

00:08:41.430 --> 00:08:42.350
Ето това е а и запомнете - това не е лице,

00:08:42.350 --> 00:08:43.990
това е дължината на страната.

00:08:43.990 --> 00:08:45.630
Може би не трябваше да използвам "А."

00:08:45.630 --> 00:08:53.070
Но това е равно на корен от 3 върху 2 по h.

00:08:53.070 --> 00:08:53.670
Ето.

00:08:53.670 --> 00:08:56.320
Намерихме всички страни спрямо

00:08:56.320 --> 00:08:59.320
хипотенузата в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.

00:08:59.320 --> 00:09:01.360
Това е 60 градуса...

00:09:01.360 --> 00:09:04.750
Така че ако знаем хипотенузата и че това е триъгълник с ъгли 30,60 и 90 градуса,

00:09:04.750 --> 00:09:08.080
страната срещу 30-градусовия ъгъл

00:09:08.080 --> 00:09:10.500
е 1/2 от хипотенузата,

00:09:10.500 --> 00:09:14.010
а страната срещу 60-градусовия ъгъл е

00:09:14.010 --> 00:09:18.410
корен от 3 върху 2, по хипотенузата.

00:09:18.410 --> 00:09:22.250
В следващия урок ще ви покажа как да използвате тази информация

00:09:22.250 --> 00:09:24.120
(която можете да запомните или да забравите - може би

00:09:24.120 --> 00:09:26.950
е добра идея да я научите и упражнявате, защото ще ви помогне

00:09:26.950 --> 00:09:30.850
да се справяте бързо със стандартизирани тестове),

00:09:30.850 --> 00:09:34.740
как да използвате тази информация, за да намирате страните на триъгълник с ъгли 30,60,90

00:09:34.740 --> 00:09:35.900
много бързо.

00:09:35.900 --> 00:09:37.780
До следващата презентация!