Съжалявам, че започвам урока с кашлица. Мисля, че все още не съм много оздравял. Но сега, искам да продължа за правоъгълните триъгълници, имащи ъгъл 45 градуса. В миналата презентация научихме, че дължината на всеки от катетите (така наричаме страните на такъв триъгълник, различни от хипотенузата), е равна на корен квадратен от 2 върху 2 по дължината на хипотенузата. Да решим още няколко задачи. Да кажем, че хипотенузата на този триъгълник... още веднъж повтарям, че това важи само за правоъгълни триъгълници , имащи ъгъл 45 градуса и ако просто начертая един ъгъл, който е равен на 45 градуса, знаете, че и другият остър ъгъл в този правоъгълен триъгълник винаги е равен на 45 градуса... Да кажем, че дължината на хипотенузата е 10, например. Знаем, че това е хипотенузата, защото е страната срещу правия ъгъл, и питам колко дълга е тази страна, означена с х. Знаем, че х е равно на квадратен корен от 2, върху 2 по хипотенузата. Следователно се получава втори корен от 2 върху 2 по 10, или х е равно на 5 по втори корен от 2. Нали така? 10 делено на 2. И така стойността на х е 5 по втори корен от 2. Знаем, че дължините на тази и тази страни са равни, нали? Оказва се, че нашия триъгълник е и равнобедрен, защото тези два ъгъла са равни. Също така знаем и че тази страна е 5 върху 2 Ако не сте сигурни, проверете. Да приложим Питагоровата теорема. От нея знаем, че 5 по корен от 2, цялото на квадрат, плюс 5 по корен от 2, цялото на квадрат, е равно на квадрата на хипотенузата, а тя е дълга 10, значи е равно на 100. Получава се 25 по 2, което е 50, Получава се, че 100 е равно на 100, а ние разбира се знаем, че това е вярно. Значи е така. Доказахме го чрез Питагоровата теорема и всъщност така стигнахме до формулата още в началото. Може би трябва да се върнете към някои от предишните презентации, ако забравите или не разбирате как стигнахме до това. Всъщност, сега ще представя друг интересен правоъгълен триъгълник. Ще го направя по същия начин, чрез задаване на задача и използване на Питагоровата теорема, за да я реша. Това е удобен вид триъгълник, наречен правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса. Ако нямам време за това, ще направя друга презентация. Да кажем, че имам правоъгълен триъгълник. Не е много хубав, но ще ползваме каквото можем. Това е прав ъгъл и казваме, че този ъгъл тук е 30 градуса. Знаем, че сборът на ъглите във всеки триъгълник е 180 градуса. Ако размерът на този ъгъл е 30, на този - 90, а този наречем х, то х плюс 30 плюс 90 е равно на 180, защото сборът на ъглите в триъгълника винаги е 180 градуса. Получаваме, че х е равно на 60. Нали? Така че стойността този ъгъл е 60. Ето защо понякога този триъгълник се нарича и триъгълник 30-60-90 - това са мерките на ъглите му. И ако кажем, че дължината на хипотенузата е означена не с, както винаги я кръщаваме, ами h, и искаме да намерим дължините на другите страни, как ще го направим? Ами можем да го направим главно, като ползваме Питагоровате теорема. Сега ще направя малък трик. Да начертаем същия триъгълник, но да го завъртим на другата страна. Това е същия триъгълник, обърнат в друга посока. Нали? Ако този ъгъл е 90 градуса, знаем, че тези двата ъгъла са съседни. Може би е добре да прегледате урока за съседни ъгли, ако сте ги забравили, че това са два ъгъла с по едно рамо, лежащо на обща права, и сборът на мерките им винаги е 180 градуса. Така че щом това е 90 и това ще е 90. Лесно е да се види. Има логика. Тъй като просто го обърнахме, този триъгълник е еднакъв на първия. Просто е завъртян симетрично. Знаем и че този мярката на този ъгъл е 30 градуса, а на този ъгъл пък е 60 градуса. Нали? Ами ако този ъгъл е 30 градуса и този тук е 30, знаем, че този голямия ъгъл, който стига от тук до тук, е 60 градуса, нали? Следователно, ако този ъгъл е 60, горният ъгъл е 60 и този вдясно е 60 градуса, тогава знаем от теоремата, която научихме от правоъгълните триъгълници с ъгъл 45 градуса, че ако тези два ъгъла са равни, тогава страните, които не са общи, също са равни. Кои от страните не са общи? Ами тази и тази страна. Значи ако тази е h, тогава и тази е h, нали? Но този ъгъл също е 60 градуса. Тогава ако погледнем тези 60 и тези 60 градуса, виждаме, че страните, които не са общи, също са равни. Тази страна не е обща, така че общите страни са тази и тази. Тогава тази страна е h, също така знаем и че тази е h, нали? Тогава излиза, че ако имаме три ъгъла по 60 градуса, всички страни са равни, или имаме равностранен триъгълник. Това трябва да се запомни. Много е логично, защото равностранният триъгълник е симетричен без значение как го гледаме. Тъй че има логика всички ъгли да са равни и всички страни да са с равна дължина. Обаче... Когато първоначално решавахме задачата, използвахме половината на този равностранен триъгълник. Знаем, че тази цялата страна има дължина h, но ако цялата е h, тогава тази страна, само частта, която беше основата на първоначалния триъгълник... не съм много старателен нарочно... Да изпробваме нов цвят... Това ще е половината от тази страна, нали? Защото това е h върху 2 и това също е h върху 2, ето тук... Ако се върнем към първоначалния триъгълник и кажем, че това е 30 градуса и това е хипотенузата, защото е срещу правия ъгъл, знаем, че страната срещу 30-те градуса е половината от хипотенузата. Само да припомним, как доказахме това? Удвоихме триъгълника. Превърнахме го в равностранен триъгълник. Показахме, че тази страна е същата като хипотенузата и това е половината от цялата страна, т.е. 1/2 от хипотенузата. Да запомним това. Дължината на катета срещу ъгъл, равен на 30 градуса е 1/2 от дължината на хипотенузата. Нека го начертая отново на нова страница, защото смятам, че става малко объркано. Да се върнем към това, което качах в началото. Това е прав ъгъл. Това е хипотенуза - тази страна тук. Ако това е 30 градуса, току-що показахме, че страната срещу 30-те градуса, страната, до която се разширява ъгълът, е равна на 1/2 от хипотенузата. Ако това е половината на хипотенузата, тогава на колко е равна тази страна? Ами отново можем да използваме Питагоровата теорема. Знаем, че тази страна на квадрат плюс тази (да я кръстим А) на квадрат е равно на h на квадрат. Значи имам 1/2 h на квадрат плюс а на квадрат равно на h на квадрат. Това е равно на h на квадрат върху 4, плюс А на квадрат равно на h на квадрат. Вадим h на квадрат от двете страни и получаваме А на квадрат е равно на h на квадрат минус h на квадрат върху 4, което е h на втора по 1 минус 1/4. Това прави 3/4 h на втора равно на А на квадрат. Свършва ми мястото, затова ще продължа ето тук. Коренуваме двете страни и получаваме а равно на... корен квадратен от 3/4 е същото като корен от 3 върху 2, А пък корен от h на втора е просто h. Ето това е а и запомнете - това не е лице, това е дължината на страната. Може би не трябваше да използвам "А." Но това е равно на корен от 3 върху 2 по h. Ето. Намерихме всички страни спрямо хипотенузата в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса. Това е 60 градуса... Така че ако знаем хипотенузата и че това е триъгълник с ъгли 30,60 и 90 градуса, страната срещу 30-градусовия ъгъл е 1/2 от хипотенузата, а страната срещу 60-градусовия ъгъл е корен от 3 върху 2, по хипотенузата. В следващия урок ще ви покажа как да използвате тази информация (която можете да запомните или да забравите - може би е добра идея да я научите и упражнявате, защото ще ви помогне да се справяте бързо със стандартизирани тестове), как да използвате тази информация, за да намирате страните на триъгълник с ъгли 30,60,90 много бързо. До следващата презентация!