1
00:00:01,500 --> 00:00:03,430
Съжалявам, че започвам урока с кашлица.

2
00:00:03,430 --> 00:00:06,220
Мисля, че все още не съм много оздравял.

3
00:00:06,220 --> 00:00:10,980
Но сега, искам да продължа за правоъгълните триъгълници, имащи ъгъл 45 градуса.

4
00:00:10,980 --> 00:00:15,190
В миналата презентация научихме, че дължината на всеки от катетите (така наричаме страните

5
00:00:15,190 --> 00:00:19,830
на такъв триъгълник, различни от хипотенузата), е равна

6
00:00:19,830 --> 00:00:25,600
на корен квадратен от 2 върху 2 по дължината на хипотенузата.

7
00:00:25,600 --> 00:00:26,850
Да решим още няколко задачи.

8
00:00:26,850 --> 00:00:30,680
Да кажем, че хипотенузата на този

9
00:00:30,680 --> 00:00:33,010
триъгълник... още веднъж повтарям, че това важи

10
00:00:33,010 --> 00:00:35,760
само за правоъгълни триъгълници , имащи ъгъл 45 градуса

11
00:00:35,760 --> 00:00:37,870
и ако просто начертая един ъгъл, който е равен на 45 градуса, знаете,

12
00:00:37,870 --> 00:00:39,780
че и другият остър ъгъл в този правоъгълен триъгълник винаги е равен на 45 градуса...

13
00:00:39,780 --> 00:00:42,960
Да кажем, че дължината на хипотенузата е

14
00:00:42,960 --> 00:00:44,690
10, например.

15
00:00:44,690 --> 00:00:46,510
Знаем, че това е хипотенузата, защото е страната срещу

16
00:00:46,510 --> 00:00:48,340
правия ъгъл,

17
00:00:48,340 --> 00:00:50,680
и питам колко дълга е тази страна, означена с х.

18
00:00:50,680 --> 00:00:54,300
Знаем, че х е равно на квадратен корен от 2,

19
00:00:54,300 --> 00:00:55,490
върху 2 по хипотенузата.

20
00:00:55,490 --> 00:01:01,440
Следователно се получава втори корен от 2 върху 2 по 10,

21
00:01:01,440 --> 00:01:07,700
или х е равно на 5 по втори корен от 2.

22
00:01:07,700 --> 00:01:07,990
Нали така?

23
00:01:07,990 --> 00:01:08,910
10 делено на 2.

24
00:01:08,910 --> 00:01:12,160
И така стойността на х е 5 по втори корен от 2.

25
00:01:12,160 --> 00:01:15,630
Знаем, че дължините на тази и тази страни са равни,

26
00:01:15,630 --> 00:01:15,900
нали?

27
00:01:15,900 --> 00:01:18,490
Оказва се, че нашия триъгълник е и равнобедрен,

28
00:01:18,490 --> 00:01:20,280
защото тези два ъгъла са равни.

29
00:01:20,280 --> 00:01:23,770
Също така знаем и че тази страна е 5 върху 2

30
00:01:23,770 --> 00:01:25,830
Ако не сте сигурни, проверете.

31
00:01:25,830 --> 00:01:27,460
Да приложим Питагоровата теорема.

32
00:01:27,460 --> 00:01:32,050
От нея знаем, че 5 по корен от 2, цялото на квадрат,

33
00:01:32,050 --> 00:01:37,420
плюс 5 по корен от 2, цялото на квадрат, е равно на квадрата на хипотенузата,

34
00:01:37,420 --> 00:01:39,090
а тя е дълга 10,

35
00:01:39,090 --> 00:01:41,130
значи е равно на 100.

36
00:01:41,130 --> 00:01:43,170
Получава се 25 по 2,

37
00:01:43,170 --> 00:01:43,855
което е 50,

38
00:01:48,250 --> 00:01:49,590
Получава се, че 100

39
00:01:49,590 --> 00:01:51,380
е равно на 100,

40
00:01:51,380 --> 00:01:53,780
а ние разбира се знаем, че това е вярно.

41
00:01:53,780 --> 00:01:54,620
Значи е така.

42
00:01:54,620 --> 00:01:56,290
Доказахме го чрез Питагоровата теорема и

43
00:01:56,290 --> 00:01:57,740
всъщност така стигнахме до формулата

44
00:01:57,740 --> 00:01:59,260
още в началото.

45
00:01:59,260 --> 00:02:00,820
Може би трябва да се върнете към някои от предишните презентации,

46
00:02:00,820 --> 00:02:03,590
ако забравите или не разбирате как стигнахме до това.

47
00:02:03,590 --> 00:02:05,890
Всъщност, сега ще представя друг

48
00:02:05,890 --> 00:02:06,620
интересен правоъгълен триъгълник.

49
00:02:06,620 --> 00:02:11,160
Ще го направя по същия начин, чрез задаване на задача

50
00:02:11,160 --> 00:02:14,490
и използване на Питагоровата теорема,

51
00:02:14,490 --> 00:02:16,980
за да я реша.

52
00:02:16,980 --> 00:02:18,780
Това е удобен вид триъгълник, наречен

53
00:02:18,780 --> 00:02:20,140
правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.

54
00:02:25,550 --> 00:02:28,220
Ако нямам време за това, ще направя

55
00:02:28,220 --> 00:02:31,120
друга презентация.

56
00:02:31,120 --> 00:02:33,965
Да кажем, че имам правоъгълен триъгълник.

57
00:02:38,610 --> 00:02:42,710
Не е много хубав, но ще ползваме каквото можем.

58
00:02:42,710 --> 00:02:43,920
Това е прав ъгъл

59
00:02:43,920 --> 00:02:48,260
и казваме, че този ъгъл тук е 30 градуса.

60
00:02:48,260 --> 00:02:49,940
Знаем, че сборът на ъглите във всеки триъгълник

61
00:02:49,940 --> 00:02:51,730
е 180 градуса.

62
00:02:51,730 --> 00:02:56,570
Ако размерът на този ъгъл е 30, на този - 90, а този наречем х,

63
00:02:56,570 --> 00:03:02,400
то х плюс 30 плюс 90 е равно на 180, защото сборът на ъглите

64
00:03:02,400 --> 00:03:04,310
в триъгълника винаги е 180 градуса.

65
00:03:04,310 --> 00:03:07,770
Получаваме, че х е равно на 60.

66
00:03:07,770 --> 00:03:08,600
Нали?

67
00:03:08,600 --> 00:03:10,870
Така че стойността този ъгъл е 60.

68
00:03:10,870 --> 00:03:14,370
Ето защо понякога този триъгълник се нарича и триъгълник 30-60-90 -

69
00:03:14,370 --> 00:03:17,320
това са мерките на ъглите му.

70
00:03:17,320 --> 00:03:24,320
И ако кажем, че дължината на хипотенузата е

71
00:03:24,320 --> 00:03:27,130
означена не с, както винаги я кръщаваме, ами h,

72
00:03:27,130 --> 00:03:30,020
и искаме да намерим дължините на другите страни, как ще го направим?

73
00:03:30,020 --> 00:03:32,700
Ами можем да го направим главно, като ползваме

74
00:03:32,700 --> 00:03:34,210
Питагоровате теорема.

75
00:03:34,210 --> 00:03:36,410
Сега ще направя малък трик.

76
00:03:36,410 --> 00:03:42,780
Да начертаем същия триъгълник, но да го завъртим

77
00:03:42,780 --> 00:03:45,990
на другата страна.

78
00:03:45,990 --> 00:03:47,950
Това е същия триъгълник, обърнат

79
00:03:47,950 --> 00:03:48,690
в друга посока.

80
00:03:48,690 --> 00:03:48,910
Нали?

81
00:03:48,910 --> 00:03:51,040
Ако този ъгъл е 90 градуса, знаем, че тези двата

82
00:03:51,040 --> 00:03:53,140
ъгъла са съседни.

83
00:03:53,140 --> 00:03:55,890
Може би е добре да прегледате урока за съседни ъгли, ако сте ги забравили,

84
00:03:55,890 --> 00:03:58,980
че това са два ъгъла с по едно рамо, лежащо на обща права,

85
00:03:58,980 --> 00:04:00,000
и сборът на мерките им винаги е 180 градуса.

86
00:04:00,000 --> 00:04:01,680
Така че щом това е 90 и това ще е 90.

87
00:04:01,680 --> 00:04:02,390
Лесно е да се види.

88
00:04:02,390 --> 00:04:04,010
Има логика.

89
00:04:04,010 --> 00:04:06,040
Тъй като просто го обърнахме, този триъгълник е

90
00:04:06,040 --> 00:04:06,890
еднакъв на първия.

91
00:04:06,890 --> 00:04:09,130
Просто е завъртян симетрично.

92
00:04:09,130 --> 00:04:12,400
Знаем и че този мярката на този ъгъл е 30 градуса,

93
00:04:12,400 --> 00:04:16,510
а на този ъгъл пък е 60 градуса.

94
00:04:16,510 --> 00:04:18,190
Нали?

95
00:04:18,190 --> 00:04:20,450
Ами ако този ъгъл е 30 градуса и този тук е 30,

96
00:04:20,450 --> 00:04:26,490
знаем, че този голямия ъгъл, който стига

97
00:04:26,490 --> 00:04:30,230
от тук до тук, е 60 градуса,

98
00:04:30,230 --> 00:04:31,770
нали?

99
00:04:31,770 --> 00:04:34,760
Следователно, ако този ъгъл е 60, горният ъгъл е 60

100
00:04:34,760 --> 00:04:38,920
и този вдясно е 60 градуса, тогава

101
00:04:38,920 --> 00:04:43,910
знаем от теоремата, която научихме от правоъгълните триъгълници

102
00:04:43,910 --> 00:04:47,860
с ъгъл 45 градуса, че ако тези два ъгъла са равни,

103
00:04:47,860 --> 00:04:52,030
тогава страните, които не са общи, също са равни.

104
00:04:52,030 --> 00:04:53,440
Кои от страните не са общи?

105
00:04:53,440 --> 00:04:55,490
Ами тази и тази страна.

106
00:04:55,490 --> 00:04:58,720
Значи ако тази е h, тогава и тази е h,

107
00:04:58,720 --> 00:05:01,200
нали?

108
00:05:01,200 --> 00:05:03,680
Но този ъгъл също е 60 градуса.

109
00:05:03,680 --> 00:05:07,600
Тогава ако погледнем тези 60 и тези 60 градуса,

110
00:05:07,600 --> 00:05:10,760
виждаме, че страните, които не са общи, също са равни.

111
00:05:10,760 --> 00:05:13,800
Тази страна не е обща, така че общите страни

112
00:05:13,800 --> 00:05:15,370
са тази и тази.

113
00:05:15,370 --> 00:05:19,460
Тогава тази страна е h, също така знаем и че тази е h,

114
00:05:19,460 --> 00:05:21,270
нали?

115
00:05:21,270 --> 00:05:23,470
Тогава излиза, че ако имаме три ъгъла

116
00:05:23,470 --> 00:05:26,680
по 60 градуса, всички страни са равни,

117
00:05:26,680 --> 00:05:27,810
или имаме равностранен триъгълник.

118
00:05:27,810 --> 00:05:29,670
Това трябва да се запомни.

119
00:05:29,670 --> 00:05:32,080
Много е логично, защото равностранният триъгълник

120
00:05:32,080 --> 00:05:33,830
е симетричен без значение как го гледаме.

121
00:05:33,830 --> 00:05:36,030
Тъй че има логика всички ъгли да са равни

122
00:05:36,030 --> 00:05:39,370
и всички страни да са с равна дължина.

123
00:05:39,370 --> 00:05:40,420
Обаче...

124
00:05:40,420 --> 00:05:43,090
Когато първоначално решавахме задачата, използвахме половината на

125
00:05:43,090 --> 00:05:44,050
този равностранен триъгълник.

126
00:05:44,050 --> 00:05:48,970
Знаем, че тази цялата страна има дължина h,

127
00:05:48,970 --> 00:05:53,670
но ако цялата е h, тогава тази страна,

128
00:05:53,670 --> 00:05:56,530
само частта, която беше основата на първоначалния триъгълник...

129
00:05:56,530 --> 00:05:58,480
не съм много старателен нарочно...

130
00:05:58,480 --> 00:06:00,490
Да изпробваме нов цвят...

131
00:06:00,490 --> 00:06:02,180
Това ще е половината от тази страна,

132
00:06:02,180 --> 00:06:03,460
нали?

133
00:06:03,460 --> 00:06:07,890
Защото това е h върху 2 и това също е h върху 2,

134
00:06:07,890 --> 00:06:08,770
ето тук...

135
00:06:12,380 --> 00:06:14,990
Ако се върнем към първоначалния триъгълник и кажем, че

136
00:06:14,990 --> 00:06:17,730
това е 30 градуса и това е хипотенузата,

137
00:06:17,730 --> 00:06:21,540
защото е срещу правия ъгъл, знаем, че страната

138
00:06:21,540 --> 00:06:26,350
срещу 30-те градуса е половината от хипотенузата.

139
00:06:26,350 --> 00:06:28,140
Само да припомним, как доказахме това?

140
00:06:28,140 --> 00:06:29,840
Удвоихме триъгълника.

141
00:06:29,840 --> 00:06:31,570
Превърнахме го в равностранен триъгълник.

142
00:06:31,570 --> 00:06:33,490
Показахме, че тази страна е същата

143
00:06:33,490 --> 00:06:34,490
като хипотенузата

144
00:06:34,490 --> 00:06:36,760
и това е половината от цялата страна,

145
00:06:36,760 --> 00:06:38,420
т.е. 1/2 от хипотенузата.

146
00:06:38,420 --> 00:06:39,090
Да запомним това.

147
00:06:39,090 --> 00:06:43,060
Дължината на катета срещу ъгъл, равен на 30 градуса е 1/2 от дължината на хипотенузата.

148
00:06:43,060 --> 00:06:46,530
Нека го начертая отново на нова страница, защото смятам,

149
00:06:46,530 --> 00:06:48,120
че става малко объркано.

150
00:06:48,120 --> 00:06:49,880
Да се върнем към това, което качах в началото.

151
00:06:54,630 --> 00:06:56,570
Това е прав ъгъл.

152
00:06:56,570 --> 00:06:59,700
Това е хипотенуза - тази страна тук.

153
00:06:59,700 --> 00:07:05,080
Ако това е 30 градуса, току-що показахме, че страната

154
00:07:05,080 --> 00:07:09,830
срещу 30-те градуса, страната, до която се разширява ъгълът,

155
00:07:09,830 --> 00:07:12,180
е равна на 1/2 от хипотенузата.

156
00:07:15,190 --> 00:07:17,300
Ако това е половината на хипотенузата, тогава

157
00:07:17,300 --> 00:07:19,450
на колко е равна тази страна?

158
00:07:19,450 --> 00:07:22,660
Ами отново можем да използваме Питагоровата теорема.

159
00:07:22,660 --> 00:07:25,685
Знаем, че тази страна на квадрат плюс тази

160
00:07:25,685 --> 00:07:31,470
(да я кръстим А) на квадрат е равно на h на квадрат.

161
00:07:31,470 --> 00:07:43,330
Значи имам 1/2 h на квадрат плюс а на квадрат равно на h на квадрат.

162
00:07:43,330 --> 00:07:48,370
Това е равно на h на квадрат върху 4, плюс А на квадрат

163
00:07:48,370 --> 00:07:51,690
равно на h на квадрат.

164
00:07:51,690 --> 00:07:53,630
Вадим h на квадрат от двете страни

165
00:07:53,630 --> 00:08:01,270
и получаваме А на квадрат е равно на h на квадрат минус h на квадрат върху 4,

166
00:08:01,270 --> 00:08:07,930
което е h на втора по 1 минус 1/4.

167
00:08:07,930 --> 00:08:14,150
Това прави 3/4 h на втора

168
00:08:14,150 --> 00:08:17,110
равно на А на квадрат.

169
00:08:17,110 --> 00:08:19,710
Свършва ми мястото, затова ще продължа

170
00:08:19,710 --> 00:08:21,730
ето тук.

171
00:08:21,730 --> 00:08:27,170
Коренуваме двете страни и получаваме а равно на...

172
00:08:27,170 --> 00:08:30,920
корен квадратен от 3/4 е същото като

173
00:08:30,920 --> 00:08:36,270
корен от 3 върху 2,

174
00:08:36,270 --> 00:08:40,510
А пък корен от h на втора е просто h.

175
00:08:41,430 --> 00:08:42,350
Ето това е а и запомнете - това не е лице,

176
00:08:42,350 --> 00:08:43,990
това е дължината на страната.

177
00:08:43,990 --> 00:08:45,630
Може би не трябваше да използвам "А."

178
00:08:45,630 --> 00:08:53,070
Но това е равно на корен от 3 върху 2 по h.

179
00:08:53,070 --> 00:08:53,670
Ето.

180
00:08:53,670 --> 00:08:56,320
Намерихме всички страни спрямо

181
00:08:56,320 --> 00:08:59,320
хипотенузата в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса.

182
00:08:59,320 --> 00:09:01,360
Това е 60 градуса...

183
00:09:01,360 --> 00:09:04,750
Така че ако знаем хипотенузата и че това е триъгълник с ъгли 30,60 и 90 градуса,

184
00:09:04,750 --> 00:09:08,080
страната срещу 30-градусовия ъгъл

185
00:09:08,080 --> 00:09:10,500
е 1/2 от хипотенузата,

186
00:09:10,500 --> 00:09:14,010
а страната срещу 60-градусовия ъгъл е

187
00:09:14,010 --> 00:09:18,410
корен от 3 върху 2, по хипотенузата.

188
00:09:18,410 --> 00:09:22,250
В следващия урок ще ви покажа как да използвате тази информация

189
00:09:22,250 --> 00:09:24,120
(която можете да запомните или да забравите - може би

190
00:09:24,120 --> 00:09:26,950
е добра идея да я научите и упражнявате, защото ще ви помогне

191
00:09:26,950 --> 00:09:30,850
да се справяте бързо със стандартизирани тестове),

192
00:09:30,850 --> 00:09:34,740
как да използвате тази информация, за да намирате страните на триъгълник с ъгли 30,60,90

193
00:09:34,740 --> 00:09:35,900
много бързо.

194
00:09:35,900 --> 00:09:37,780
До следващата презентация!