Koch Snowflake Fractal
-
0:00 - 0:03這是一個等邊三角形
-
0:03 - 0:05我將在這個等邊三角形外
-
0:05 - 0:07做出另一個形狀
-
0:07 - 0:09對這個三角形的每一邊
-
0:09 - 0:15將它們分割爲三等分
-
0:15 - 0:19我的等邊三角形並沒有畫得非常標準
-
0:19 - 0:20但我想你能理解
-
0:20 - 0:21在中間這一段
-
0:21 - 0:23我想構建另一個等邊三角形
-
0:23 - 0:26就在這個中間部分
-
0:26 - 0:29我馬上會構建另一個等邊三角形
-
0:29 - 0:32它們看起來是這個樣子的
-
0:32 - 0:34就在這裡
-
0:34 - 0:37我會構建另一個等邊三角形
-
0:37 - 0:40從等邊三角形著手
-
0:40 - 0:43現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星
-
0:43 - 0:45再次重覆剛才的步驟
-
0:45 - 0:48現在對每一邊 我將之分割爲三等分
-
0:48 - 0:51在中間這一段 我將構建一個等邊三角形
-
0:51 - 0:54在這兒構建一個等邊三角形
-
0:54 - 0:59在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形
-
0:59 - 1:02在每一邊都重覆這樣的步驟
-
1:02 - 1:05這裡做一個等邊三角形 這裡也是
-
1:05 - 1:11你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去
-
1:11 - 1:16就像這樣
-
1:16 - 1:21這一輪可以完成了
-
1:21 - 1:23圖像會像這個樣子
-
1:23 - 1:24我可以再做一次
-
1:24 - 1:27每一條線段我都分割成三等分
-
1:27 - 1:28在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形
-
1:28 - 1:32就像這樣
-
1:32 - 1:33我想你知道接下來是怎樣的
-
1:33 - 1:37我可以這樣持續地畫下去直到永遠
-
1:37 - 1:40在這段影片中 我想探究
-
1:40 - 1:41這裡的情況是怎樣的
-
1:41 - 1:42我實際上在畫的是
-
1:42 - 1:45如果我們持續畫下去直到永遠
-
1:45 - 1:48對於每個循環 我們著眼每條邊
-
1:48 - 1:50將之三等分
-
1:50 - 1:52在下一個循環又三等分
-
1:52 - 1:53下一個循環
-
1:53 - 1:55在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形
-
1:55 - 1:58這裡我們構建的新圖形
-
1:58 - 2:00稱之爲科赫曲線
-
2:00 - 2:03我想我把科赫這個音念錯了
-
2:03 - 2:05應該是科赫曲線
-
2:05 - 2:08這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫
-
2:08 - 2:12這位紳士所提出來的
-
2:12 - 2:15我想我又念錯了
-
2:15 - 2:17這也是最早被描述成的分形之一
-
2:17 - 2:20這是一個分形
-
2:20 - 2:22它被定義爲分形的原因是
-
2:22 - 2:24它看起來極其相似
-
2:24 - 2:26或是說以任何的尺度去看它都是很相似的
-
2:26 - 2:30當你在這個尺度下觀察圖形
-
2:30 - 2:32你將看到一群上面有突起的三角形
-
2:32 - 2:35如果你將這裡放大
-
2:35 - 2:38你會看到跟之前一樣的圖案
-
2:38 - 2:40再放大
-
2:40 - 2:42你會又一次看到相同的圖案
-
2:42 - 2:43因此 一個分形指的是 無論以任何尺度
-
2:43 - 2:47任何縮放比例 看起來都大致相同
-
2:47 - 2:49這是它稱之爲分形的原因
-
2:49 - 2:50最有趣的是什麽
-
2:50 - 2:54我又爲何在這時候把它放在播放列表上
-
2:54 - 2:57這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的
-
2:57 - 2:58如果你持續的畫下去
-
2:58 - 3:00假使你構建的真的是科赫曲線
-
3:00 - 3:03那麽在每個更小的三角形上
-
3:03 - 3:05你持續無限次地構建
-
3:05 - 3:10在每一邊構建一個等邊三角形
-
3:10 - 3:12去證明它的周長是無窮大的
-
3:12 - 3:13我們考慮它的一條邊
-
3:13 - 3:16就比如說這一條邊
-
3:16 - 3:19我們從最開始的
-
3:19 - 3:20原始三角形入手
-
3:20 - 3:21假設它每一邊的長度是S
-
3:22 - 3:24我們將之分割爲三等分
-
3:24 - 3:26我們分割它爲三等分
-
3:26 - 3:31每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它
-
3:31 - 3:36S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
-
3:36 - 3:39在中間這一段 構建一個等邊三角形
-
3:39 - 3:42在中間這一段 構建一個等邊三角形
-
3:42 - 3:44每一邊都是S的三分之一
-
3:44 - 3:47S的三分之一 S的三分之一
-
3:47 - 3:51這個新圖形的長度
-
3:51 - 3:53對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了
-
3:53 - 3:57這一部分的長度
-
3:57 - 3:59不再僅僅是S了
-
3:59 - 4:02而是S的三分之一乘以4
-
4:02 - 4:03之前是S的三分之一乘以3
-
4:03 - 4:08而現在有4個長度爲S的三分之一的線段
-
4:08 - 4:10所以像這樣重覆一次的構建三角形
-
4:10 - 4:15再把三角形的長度加起來
-
4:15 - 4:16我們新的一邊
-
4:16 - 4:24突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四
-
4:24 - 4:31假設我們原始的周長是P0
-
4:31 - 4:34一輪之後 我們得到了好幾個突起
-
4:34 - 4:36周長變爲了
-
4:36 - 4:40原始周長的三分之四
-
4:40 - 4:43由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍
-
4:43 - 4:44假設起始是由三條邊構成的圖案
-
4:44 - 4:47而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍
-
4:47 - 4:49於是新周長也變成了原周長的三分之四倍
-
4:49 - 4:52再此基礎上進行第二輪
-
4:52 - 4:54這將得到第一輪長度的三分之四倍
-
4:54 - 4:58每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍
-
4:58 - 5:00這是第三輪在擴大了
-
5:00 - 5:04這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍
-
5:04 - 5:06如果你繼續無限次地重覆這些步驟
-
5:06 - 5:11任何一個數無限次乘以三分之四
-
5:11 - 5:14你都將得到一個無窮大的長度
-
5:14 - 5:16也就是第無限個P
-
5:16 - 5:20在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大
-
5:20 - 5:22這極其有趣
-
5:22 - 5:24想想一個東西竟然周長是無窮大
-
5:24 - 5:28更神奇的是它的面積卻是有限大的
-
5:28 - 5:30我所說的有限大的面積
-
5:30 - 5:32實際上指的是它包含了一個有界的空間
-
5:32 - 5:34我可以環繞它畫出這樣一個圖形
-
5:34 - 5:36而科赫曲線永遠不會超出這個圖形
-
5:36 - 5:39我不準備做出一個嚴謹的證明
-
5:39 - 5:42請想想每一邊將會發生什麽
-
5:42 - 5:46在第一輪 我們得到這個突起的三角形
-
5:46 - 5:50接下來繼續構建三角形
-
5:50 - 5:52下一輪你在這裡構建兩個三角形
-
5:52 - 5:54那裏也構建兩個三角形
-
5:54 - 5:56然後你又四處構建一些三角形
-
5:56 - 6:00如此等等地構建三角形
-
6:00 - 6:03請注意 你可以像這樣持續地增加三角形
-
6:03 - 6:05構成無限個的突起
-
6:05 - 6:07但你永遠不會超過最初的這個頂點
-
6:07 - 6:11對於這一邊是一樣的道理
-
6:11 - 6:14另一邊也一樣適用這個道理
-
6:14 - 6:18這一邊同樣如此
-
6:18 - 6:20那一邊也是一樣
-
6:20 - 6:22而對那一邊也是同樣正確
-
6:22 - 6:25即使你無限次地重覆這些步驟
-
6:25 - 6:27這個科赫曲線
-
6:27 - 6:30其面積也不可能超越這個有界的六邊形
-
6:30 - 6:32或者說它的面積不會大於
-
6:32 - 6:35這樣一個圖形的面積
-
6:35 - 6:36我只是隨意大致地勾畫
-
6:36 - 6:38在這個六邊形之外
-
6:38 - 6:40勾畫一個圓圈
-
6:40 - 6:45這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫
-
6:45 - 6:47很明顯它們有固定的面積
-
6:47 - 6:49因此科赫曲線將永遠是有界的
-
6:49 - 6:52即使你加上無限個突起
-
6:52 - 6:55這一堆圖案真是太神奇了
-
6:55 - 6:56首先 這是個分形
-
6:56 - 6:59你可以隨意放大 它看起來還是一樣
-
6:59 - 7:05然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積
-
7:05 - 7:08或許你會說 等等 這個太抽象了
-
7:08 - 7:10這樣的東西並不出現在真實生活中
-
7:10 - 7:13有一個著名實驗
-
7:13 - 7:15人們會在分形世界裏提到
-
7:15 - 7:18這就是測量英國國土的周長
-
7:18 - 7:19當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長
-
7:19 - 7:21英國國土的外形就像這樣
-
7:21 - 7:23我並不是這方面的專家
-
7:23 - 7:24就假設它像這個樣子
-
7:24 - 7:26首先 你可以粗略估計它的周長
-
7:26 - 7:27測量這一段距離
-
7:28 - 7:32再測量那一段的距離加上這段的距離
-
7:32 - 7:36和這段 這段 這段 以及這段的距離
-
7:36 - 7:38看
-
7:38 - 7:39這個周長是有限的
-
7:39 - 7:40很明顯 它的面積是有限的
-
7:40 - 7:42但這看起來也有一個有限的周長
-
7:42 - 7:44你會覺得 不 這並不夠精確
-
7:44 - 7:45你需要再稍微精確一點去估計
-
7:45 - 7:47而不是那麽粗糙地去估計
-
7:47 - 7:49你需要一堆更小的線
-
7:49 - 7:51你需要去構建更小的線
-
7:51 - 7:53才能更貼近海岸
-
7:53 - 7:55你會覺得 好的 這樣已經很精確了
-
7:55 - 7:59但如果我們截取海岸的一部分 將之放大
-
7:59 - 8:02如果是足夠的放大
-
8:02 - 8:04那麽實際的海岸線看起來就會像這樣
-
8:04 - 8:08實際的海岸線都會有這樣的小花邊
-
8:08 - 8:11基本上 當你最初做這樣的路線時
-
8:11 - 8:14你只是在估量它的長度
-
8:14 - 8:16可這並不是海岸線的周長
-
8:16 - 8:18你必須去構建更多的線
-
8:18 - 8:19你要像這樣做
-
8:19 - 8:26才能真正得到海岸線的周長
-
8:26 - 8:29你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法
-
8:29 - 8:32可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線
-
8:32 - 8:35你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子
-
8:35 - 8:37它實際上是像這樣凸凹不平的
-
8:37 - 8:39也或許像那個樣子
-
8:39 - 8:43取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度
-
8:43 - 8:44你會說 等等
-
8:44 - 8:46現在我需要更加貼近它
-
8:46 - 8:48你可以持續這樣做
-
8:48 - 8:50一直到原子水平
-
8:50 - 8:55因此真實的島嶼海岸線
-
8:55 - 8:59大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的
-
8:59 - 9:01你可以想象一下
-
9:01 - 9:03它有幾乎無窮大的周長
-
9:03 - 9:04很明顯 在一定程度上
-
9:04 - 9:05你將進入到原子水平去研究它
-
9:06 - 9:07因此這也不是完全相同
-
9:07 - 9:09但卻是同樣的現象
-
9:09 - 9:10這樣想想確實是一件有趣的事