這是一個等邊三角形 我將在這個等邊三角形外 做出另一個形狀 對這個三角形的每一邊 將它們分割爲三等分 我的等邊三角形並沒有畫得非常標準 但我想你能理解 在中間這一段 我想構建另一個等邊三角形 就在這個中間部分 我馬上會構建另一個等邊三角形 它們看起來是這個樣子的 就在這裡 我會構建另一個等邊三角形 從等邊三角形著手 現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星 再次重覆剛才的步驟 現在對每一邊 我將之分割爲三等分 在中間這一段 我將構建一個等邊三角形 在這兒構建一個等邊三角形 在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形 在每一邊都重覆這樣的步驟 這裡做一個等邊三角形 這裡也是 你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去 就像這樣 這一輪可以完成了 圖像會像這個樣子 我可以再做一次 每一條線段我都分割成三等分 在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形 就像這樣 我想你知道接下來是怎樣的 我可以這樣持續地畫下去直到永遠 在這段影片中 我想探究 這裡的情況是怎樣的 我實際上在畫的是 如果我們持續畫下去直到永遠 對於每個循環 我們著眼每條邊 將之三等分 在下一個循環又三等分 下一個循環 在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形 這裡我們構建的新圖形 稱之爲科赫曲線 我想我把科赫這個音念錯了 應該是科赫曲線 這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫 這位紳士所提出來的 我想我又念錯了 這也是最早被描述成的分形之一 這是一個分形 它被定義爲分形的原因是 它看起來極其相似 或是說以任何的尺度去看它都是很相似的 當你在這個尺度下觀察圖形 你將看到一群上面有突起的三角形 如果你將這裡放大 你會看到跟之前一樣的圖案 再放大 你會又一次看到相同的圖案 因此 一個分形指的是 無論以任何尺度 任何縮放比例 看起來都大致相同 這是它稱之爲分形的原因 最有趣的是什麽 我又爲何在這時候把它放在播放列表上 這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的 如果你持續的畫下去 假使你構建的真的是科赫曲線 那麽在每個更小的三角形上 你持續無限次地構建 在每一邊構建一個等邊三角形 去證明它的周長是無窮大的 我們考慮它的一條邊 就比如說這一條邊 我們從最開始的 原始三角形入手 假設它每一邊的長度是S 我們將之分割爲三等分 我們分割它爲三等分 每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它 S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一 在中間這一段 構建一個等邊三角形 在中間這一段 構建一個等邊三角形 每一邊都是S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一 這個新圖形的長度 對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了 這一部分的長度 不再僅僅是S了 而是S的三分之一乘以4 之前是S的三分之一乘以3 而現在有4個長度爲S的三分之一的線段 所以像這樣重覆一次的構建三角形 再把三角形的長度加起來 我們新的一邊 突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四 假設我們原始的周長是P0 一輪之後 我們得到了好幾個突起 周長變爲了 原始周長的三分之四 由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍 假設起始是由三條邊構成的圖案 而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍 於是新周長也變成了原周長的三分之四倍 再此基礎上進行第二輪 這將得到第一輪長度的三分之四倍 每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍 這是第三輪在擴大了 這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍 如果你繼續無限次地重覆這些步驟 任何一個數無限次乘以三分之四 你都將得到一個無窮大的長度 也就是第無限個P 在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大 這極其有趣 想想一個東西竟然周長是無窮大 更神奇的是它的面積卻是有限大的 我所說的有限大的面積 實際上指的是它包含了一個有界的空間 我可以環繞它畫出這樣一個圖形 而科赫曲線永遠不會超出這個圖形 我不準備做出一個嚴謹的證明 請想想每一邊將會發生什麽 在第一輪 我們得到這個突起的三角形 接下來繼續構建三角形 下一輪你在這裡構建兩個三角形 那裏也構建兩個三角形 然後你又四處構建一些三角形 如此等等地構建三角形 請注意 你可以像這樣持續地增加三角形 構成無限個的突起 但你永遠不會超過最初的這個頂點 對於這一邊是一樣的道理 另一邊也一樣適用這個道理 這一邊同樣如此 那一邊也是一樣 而對那一邊也是同樣正確 即使你無限次地重覆這些步驟 這個科赫曲線 其面積也不可能超越這個有界的六邊形 或者說它的面積不會大於 這樣一個圖形的面積 我只是隨意大致地勾畫 在這個六邊形之外 勾畫一個圓圈 這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫 很明顯它們有固定的面積 因此科赫曲線將永遠是有界的 即使你加上無限個突起 這一堆圖案真是太神奇了 首先 這是個分形 你可以隨意放大 它看起來還是一樣 然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積 或許你會說 等等 這個太抽象了 這樣的東西並不出現在真實生活中 有一個著名實驗 人們會在分形世界裏提到 這就是測量英國國土的周長 當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長 英國國土的外形就像這樣 我並不是這方面的專家 就假設它像這個樣子 首先 你可以粗略估計它的周長 測量這一段距離 再測量那一段的距離加上這段的距離 和這段 這段 這段 以及這段的距離 看 這個周長是有限的 很明顯 它的面積是有限的 但這看起來也有一個有限的周長 你會覺得 不 這並不夠精確 你需要再稍微精確一點去估計 而不是那麽粗糙地去估計 你需要一堆更小的線 你需要去構建更小的線 才能更貼近海岸 你會覺得 好的 這樣已經很精確了 但如果我們截取海岸的一部分 將之放大 如果是足夠的放大 那麽實際的海岸線看起來就會像這樣 實際的海岸線都會有這樣的小花邊 基本上 當你最初做這樣的路線時 你只是在估量它的長度 可這並不是海岸線的周長 你必須去構建更多的線 你要像這樣做 才能真正得到海岸線的周長 你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法 可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線 你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子 它實際上是像這樣凸凹不平的 也或許像那個樣子 取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度 你會說 等等 現在我需要更加貼近它 你可以持續這樣做 一直到原子水平 因此真實的島嶼海岸線 大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的 你可以想象一下 它有幾乎無窮大的周長 很明顯 在一定程度上 你將進入到原子水平去研究它 因此這也不是完全相同 但卻是同樣的現象 這樣想想確實是一件有趣的事