這是一個等邊三角形
我將在這個等邊三角形外
做出另一個形狀
對這個三角形的每一邊
將它們分割爲三等分
我的等邊三角形並沒有畫得非常標準
但我想你能理解
在中間這一段
我想構建另一個等邊三角形
就在這個中間部分
我馬上會構建另一個等邊三角形
它們看起來是這個樣子的
就在這裡
我會構建另一個等邊三角形
從等邊三角形著手
現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星
再次重覆剛才的步驟
現在對每一邊 我將之分割爲三等分
在中間這一段 我將構建一個等邊三角形
在這兒構建一個等邊三角形
在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形
在每一邊都重覆這樣的步驟
這裡做一個等邊三角形 這裡也是
你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去
就像這樣
這一輪可以完成了
圖像會像這個樣子
我可以再做一次
每一條線段我都分割成三等分
在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形
就像這樣
我想你知道接下來是怎樣的
我可以這樣持續地畫下去直到永遠
在這段影片中 我想探究
這裡的情況是怎樣的
我實際上在畫的是
如果我們持續畫下去直到永遠
對於每個循環 我們著眼每條邊
將之三等分
在下一個循環又三等分
下一個循環
在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形
這裡我們構建的新圖形
稱之爲科赫曲線
我想我把科赫這個音念錯了
應該是科赫曲線
這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫
這位紳士所提出來的
我想我又念錯了
這也是最早被描述成的分形之一
這是一個分形
它被定義爲分形的原因是
它看起來極其相似
或是說以任何的尺度去看它都是很相似的
當你在這個尺度下觀察圖形
你將看到一群上面有突起的三角形
如果你將這裡放大
你會看到跟之前一樣的圖案
再放大
你會又一次看到相同的圖案
因此 一個分形指的是 無論以任何尺度
任何縮放比例 看起來都大致相同
這是它稱之爲分形的原因
最有趣的是什麽
我又爲何在這時候把它放在播放列表上
這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的
如果你持續的畫下去
假使你構建的真的是科赫曲線
那麽在每個更小的三角形上
你持續無限次地構建
在每一邊構建一個等邊三角形
去證明它的周長是無窮大的
我們考慮它的一條邊
就比如說這一條邊
我們從最開始的
原始三角形入手
假設它每一邊的長度是S
我們將之分割爲三等分
我們分割它爲三等分
每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
在中間這一段 構建一個等邊三角形
每一邊都是S的三分之一
S的三分之一 S的三分之一
這個新圖形的長度
對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了
這一部分的長度
不再僅僅是S了
而是S的三分之一乘以4
之前是S的三分之一乘以3
而現在有4個長度爲S的三分之一的線段
所以像這樣重覆一次的構建三角形
再把三角形的長度加起來
我們新的一邊
突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四
假設我們原始的周長是P0
一輪之後 我們得到了好幾個突起
周長變爲了
原始周長的三分之四
由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍
假設起始是由三條邊構成的圖案
而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍
於是新周長也變成了原周長的三分之四倍
再此基礎上進行第二輪
這將得到第一輪長度的三分之四倍
每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍
這是第三輪在擴大了
這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍
如果你繼續無限次地重覆這些步驟
任何一個數無限次乘以三分之四
你都將得到一個無窮大的長度
也就是第無限個P
在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大
這極其有趣
想想一個東西竟然周長是無窮大
更神奇的是它的面積卻是有限大的
我所說的有限大的面積
實際上指的是它包含了一個有界的空間
我可以環繞它畫出這樣一個圖形
而科赫曲線永遠不會超出這個圖形
我不準備做出一個嚴謹的證明
請想想每一邊將會發生什麽
在第一輪 我們得到這個突起的三角形
接下來繼續構建三角形
下一輪你在這裡構建兩個三角形
那裏也構建兩個三角形
然後你又四處構建一些三角形
如此等等地構建三角形
請注意 你可以像這樣持續地增加三角形
構成無限個的突起
但你永遠不會超過最初的這個頂點
對於這一邊是一樣的道理
另一邊也一樣適用這個道理
這一邊同樣如此
那一邊也是一樣
而對那一邊也是同樣正確
即使你無限次地重覆這些步驟
這個科赫曲線
其面積也不可能超越這個有界的六邊形
或者說它的面積不會大於
這樣一個圖形的面積
我只是隨意大致地勾畫
在這個六邊形之外
勾畫一個圓圈
這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫
很明顯它們有固定的面積
因此科赫曲線將永遠是有界的
即使你加上無限個突起
這一堆圖案真是太神奇了
首先 這是個分形
你可以隨意放大 它看起來還是一樣
然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積
或許你會說 等等 這個太抽象了
這樣的東西並不出現在真實生活中
有一個著名實驗
人們會在分形世界裏提到
這就是測量英國國土的周長
當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長
英國國土的外形就像這樣
我並不是這方面的專家
就假設它像這個樣子
首先 你可以粗略估計它的周長
測量這一段距離
再測量那一段的距離加上這段的距離
和這段 這段 這段 以及這段的距離
看
這個周長是有限的
很明顯 它的面積是有限的
但這看起來也有一個有限的周長
你會覺得 不 這並不夠精確
你需要再稍微精確一點去估計
而不是那麽粗糙地去估計
你需要一堆更小的線
你需要去構建更小的線
才能更貼近海岸
你會覺得 好的 這樣已經很精確了
但如果我們截取海岸的一部分 將之放大
如果是足夠的放大
那麽實際的海岸線看起來就會像這樣
實際的海岸線都會有這樣的小花邊
基本上 當你最初做這樣的路線時
你只是在估量它的長度
可這並不是海岸線的周長
你必須去構建更多的線
你要像這樣做
才能真正得到海岸線的周長
你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法
可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線
你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子
它實際上是像這樣凸凹不平的
也或許像那個樣子
取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度
你會說 等等
現在我需要更加貼近它
你可以持續這樣做
一直到原子水平
因此真實的島嶼海岸線
大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的
你可以想象一下
它有幾乎無窮大的周長
很明顯 在一定程度上
你將進入到原子水平去研究它
因此這也不是完全相同
但卻是同樣的現象
這樣想想確實是一件有趣的事