WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.090
這是一個等邊三角形

00:00:03.090 --> 00:00:05.050
我將在這個等邊三角形外

00:00:05.050 --> 00:00:06.540
做出另一個形狀

00:00:06.540 --> 00:00:08.980
對這個三角形的每一邊

00:00:09.000 --> 00:00:14.540
將它們分割爲三等分

00:00:14.540 --> 00:00:18.790
我的等邊三角形並沒有畫得非常標準

00:00:18.790 --> 00:00:20.110
但我想你能理解

00:00:20.110 --> 00:00:21.430
在中間這一段

00:00:21.450 --> 00:00:23.290
我想構建另一個等邊三角形

00:00:23.290 --> 00:00:25.510
就在這個中間部分

00:00:25.540 --> 00:00:28.640
我馬上會構建另一個等邊三角形

00:00:28.640 --> 00:00:31.550
它們看起來是這個樣子的

00:00:31.550 --> 00:00:33.860
就在這裡

00:00:33.860 --> 00:00:37.130
我會構建另一個等邊三角形

00:00:37.130 --> 00:00:40.320
從等邊三角形著手

00:00:40.340 --> 00:00:43.320
現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星

00:00:43.370 --> 00:00:45.420
再次重覆剛才的步驟

00:00:45.420 --> 00:00:48.390
現在對每一邊 我將之分割爲三等分

00:00:48.390 --> 00:00:51.490
在中間這一段 我將構建一個等邊三角形

00:00:51.490 --> 00:00:54.150
在這兒構建一個等邊三角形

00:00:54.150 --> 00:00:59.280
在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形

00:00:59.280 --> 00:01:01.660
在每一邊都重覆這樣的步驟

00:01:01.660 --> 00:01:04.560
這裡做一個等邊三角形 這裡也是

00:01:04.560 --> 00:01:10.860
你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去

00:01:10.860 --> 00:01:16.270
就像這樣

00:01:16.270 --> 00:01:20.850
這一輪可以完成了

00:01:20.850 --> 00:01:22.950
圖像會像這個樣子

00:01:22.990 --> 00:01:24.210
我可以再做一次

00:01:24.210 --> 00:01:27.020
每一條線段我都分割成三等分

00:01:27.020 --> 00:01:28.340
在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形

00:01:28.340 --> 00:01:32.210
就像這樣

00:01:32.210 --> 00:01:33.270
我想你知道接下來是怎樣的

00:01:33.270 --> 00:01:37.020
我可以這樣持續地畫下去直到永遠

00:01:37.020 --> 00:01:39.710
在這段影片中 我想探究

00:01:39.710 --> 00:01:40.860
這裡的情況是怎樣的

00:01:40.860 --> 00:01:42.490
我實際上在畫的是

00:01:42.490 --> 00:01:45.090
如果我們持續畫下去直到永遠

00:01:45.090 --> 00:01:48.100
對於每個循環 我們著眼每條邊

00:01:48.130 --> 00:01:49.520
將之三等分

00:01:49.520 --> 00:01:52.460
在下一個循環又三等分

00:01:52.460 --> 00:01:53.320
下一個循環

00:01:53.320 --> 00:01:55.480
在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形

00:01:55.480 --> 00:01:58.240
這裡我們構建的新圖形

00:01:58.240 --> 00:02:00.200
稱之爲科赫曲線

00:02:00.200 --> 00:02:02.890
我想我把科赫這個音念錯了

00:02:02.890 --> 00:02:05.180
應該是科赫曲線

00:02:05.230 --> 00:02:07.810
這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫

00:02:07.810 --> 00:02:12.490
這位紳士所提出來的

00:02:12.490 --> 00:02:14.640
我想我又念錯了

00:02:14.670 --> 00:02:17.250
這也是最早被描述成的分形之一

00:02:17.270 --> 00:02:19.850
這是一個分形

00:02:19.850 --> 00:02:22.000
它被定義爲分形的原因是

00:02:22.000 --> 00:02:23.790
它看起來極其相似

00:02:23.810 --> 00:02:26.340
或是說以任何的尺度去看它都是很相似的

00:02:26.340 --> 00:02:29.890
當你在這個尺度下觀察圖形

00:02:29.910 --> 00:02:32.410
你將看到一群上面有突起的三角形

00:02:32.410 --> 00:02:34.890
如果你將這裡放大

00:02:34.910 --> 00:02:37.860
你會看到跟之前一樣的圖案

00:02:37.860 --> 00:02:39.840
再放大

00:02:39.860 --> 00:02:41.520
你會又一次看到相同的圖案

00:02:41.580 --> 00:02:43.470
因此 一個分形指的是 無論以任何尺度

00:02:43.470 --> 00:02:46.810
任何縮放比例 看起來都大致相同

00:02:46.810 --> 00:02:48.700
這是它稱之爲分形的原因

00:02:48.720 --> 00:02:50.150
最有趣的是什麽

00:02:50.200 --> 00:02:53.530
我又爲何在這時候把它放在播放列表上

00:02:53.530 --> 00:02:56.790
這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的

00:02:56.790 --> 00:02:58.330
如果你持續的畫下去

00:02:58.370 --> 00:02:59.900
假使你構建的真的是科赫曲線

00:02:59.900 --> 00:03:03.260
那麽在每個更小的三角形上

00:03:03.280 --> 00:03:05.240
你持續無限次地構建

00:03:05.280 --> 00:03:09.910
在每一邊構建一個等邊三角形

00:03:09.930 --> 00:03:11.680
去證明它的周長是無窮大的

00:03:11.680 --> 00:03:13.440
我們考慮它的一條邊

00:03:13.440 --> 00:03:16.000
就比如說這一條邊

00:03:16.000 --> 00:03:18.550
我們從最開始的

00:03:18.550 --> 00:03:20.050
原始三角形入手

00:03:20.080 --> 00:03:21.480
假設它每一邊的長度是S

00:03:21.520 --> 00:03:23.930
我們將之分割爲三等分

00:03:23.960 --> 00:03:26.290
我們分割它爲三等分

00:03:26.310 --> 00:03:30.810
每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它

00:03:30.810 --> 00:03:35.940
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一

00:03:35.940 --> 00:03:38.820
在中間這一段 構建一個等邊三角形

00:03:38.820 --> 00:03:41.910
在中間這一段 構建一個等邊三角形

00:03:41.910 --> 00:03:44.090
每一邊都是S的三分之一

00:03:44.090 --> 00:03:47.000
S的三分之一 S的三分之一

00:03:47.000 --> 00:03:50.700
這個新圖形的長度

00:03:50.700 --> 00:03:53.270
對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了

00:03:53.290 --> 00:03:56.880
這一部分的長度

00:03:56.880 --> 00:03:59.110
不再僅僅是S了

00:03:59.150 --> 00:04:01.620
而是S的三分之一乘以4

00:04:01.620 --> 00:04:03.360
之前是S的三分之一乘以3

00:04:03.360 --> 00:04:07.550
而現在有4個長度爲S的三分之一的線段

00:04:07.550 --> 00:04:10.500
所以像這樣重覆一次的構建三角形

00:04:10.500 --> 00:04:14.930
再把三角形的長度加起來

00:04:14.930 --> 00:04:16.300
我們新的一邊

00:04:16.340 --> 00:04:23.560
突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四

00:04:23.560 --> 00:04:30.950
假設我們原始的周長是P0

00:04:30.950 --> 00:04:34.230
一輪之後 我們得到了好幾個突起

00:04:34.230 --> 00:04:35.670
周長變爲了

00:04:35.710 --> 00:04:39.880
原始周長的三分之四

00:04:39.880 --> 00:04:42.660
由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍

00:04:42.660 --> 00:04:44.270
假設起始是由三條邊構成的圖案

00:04:44.290 --> 00:04:46.690
而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍

00:04:46.690 --> 00:04:48.950
於是新周長也變成了原周長的三分之四倍

00:04:48.950 --> 00:04:51.980
再此基礎上進行第二輪

00:04:51.980 --> 00:04:54.470
這將得到第一輪長度的三分之四倍

00:04:54.470 --> 00:04:57.740
每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍

00:04:57.790 --> 00:05:00.190
這是第三輪在擴大了

00:05:00.190 --> 00:05:03.550
這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍

00:05:03.610 --> 00:05:05.590
如果你繼續無限次地重覆這些步驟

00:05:05.590 --> 00:05:10.740
任何一個數無限次乘以三分之四

00:05:10.740 --> 00:05:13.760
你都將得到一個無窮大的長度

00:05:13.760 --> 00:05:16.340
也就是第無限個P

00:05:16.360 --> 00:05:19.910
在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大

00:05:19.940 --> 00:05:22.140
這極其有趣

00:05:22.190 --> 00:05:24.300
想想一個東西竟然周長是無窮大

00:05:24.300 --> 00:05:28.260
更神奇的是它的面積卻是有限大的

00:05:28.260 --> 00:05:30.120
我所說的有限大的面積

00:05:30.120 --> 00:05:32.480
實際上指的是它包含了一個有界的空間

00:05:32.480 --> 00:05:34.490
我可以環繞它畫出這樣一個圖形

00:05:34.490 --> 00:05:36.340
而科赫曲線永遠不會超出這個圖形

00:05:36.340 --> 00:05:38.960
我不準備做出一個嚴謹的證明

00:05:38.960 --> 00:05:41.600
請想想每一邊將會發生什麽

00:05:41.600 --> 00:05:45.550
在第一輪 我們得到這個突起的三角形

00:05:45.550 --> 00:05:49.540
接下來繼續構建三角形

00:05:49.540 --> 00:05:52.280
下一輪你在這裡構建兩個三角形

00:05:52.310 --> 00:05:53.940
那裏也構建兩個三角形

00:05:53.940 --> 00:05:56.230
然後你又四處構建一些三角形

00:05:56.260 --> 00:05:59.600
如此等等地構建三角形

00:05:59.630 --> 00:06:02.520
請注意 你可以像這樣持續地增加三角形

00:06:02.520 --> 00:06:04.980
構成無限個的突起

00:06:05.020 --> 00:06:07.070
但你永遠不會超過最初的這個頂點

00:06:07.070 --> 00:06:11.220
對於這一邊是一樣的道理

00:06:11.220 --> 00:06:13.840
另一邊也一樣適用這個道理

00:06:13.870 --> 00:06:17.540
這一邊同樣如此

00:06:17.540 --> 00:06:19.550
那一邊也是一樣

00:06:19.550 --> 00:06:22.330
而對那一邊也是同樣正確

00:06:22.350 --> 00:06:24.590
即使你無限次地重覆這些步驟

00:06:24.590 --> 00:06:27.120
這個科赫曲線

00:06:27.160 --> 00:06:30.130
其面積也不可能超越這個有界的六邊形

00:06:30.130 --> 00:06:32.070
或者說它的面積不會大於

00:06:32.070 --> 00:06:34.530
這樣一個圖形的面積

00:06:34.530 --> 00:06:36.450
我只是隨意大致地勾畫

00:06:36.450 --> 00:06:38.200
在這個六邊形之外

00:06:38.200 --> 00:06:39.780
勾畫一個圓圈

00:06:39.780 --> 00:06:44.630
這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫

00:06:44.630 --> 00:06:46.820
很明顯它們有固定的面積

00:06:46.820 --> 00:06:49.480
因此科赫曲線將永遠是有界的

00:06:49.480 --> 00:06:52.450
即使你加上無限個突起

00:06:52.450 --> 00:06:55.380
這一堆圖案真是太神奇了

00:06:55.420 --> 00:06:56.330
首先 這是個分形

00:06:56.330 --> 00:06:58.760
你可以隨意放大 它看起來還是一樣

00:06:58.780 --> 00:07:04.950
然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積

00:07:04.950 --> 00:07:07.830
或許你會說 等等 這個太抽象了

00:07:07.830 --> 00:07:10.120
這樣的東西並不出現在真實生活中

00:07:10.120 --> 00:07:13.240
有一個著名實驗

00:07:13.240 --> 00:07:14.820
人們會在分形世界裏提到

00:07:14.870 --> 00:07:17.770
這就是測量英國國土的周長

00:07:17.820 --> 00:07:19.200
當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長

00:07:19.200 --> 00:07:21.170
英國國土的外形就像這樣

00:07:21.170 --> 00:07:22.730
我並不是這方面的專家

00:07:22.730 --> 00:07:24.230
就假設它像這個樣子

00:07:24.230 --> 00:07:26.230
首先 你可以粗略估計它的周長

00:07:26.230 --> 00:07:27.480
測量這一段距離

00:07:27.550 --> 00:07:32.350
再測量那一段的距離加上這段的距離

00:07:32.350 --> 00:07:36.070
和這段 這段 這段 以及這段的距離

00:07:36.070 --> 00:07:37.660
看

00:07:37.660 --> 00:07:38.590
這個周長是有限的

00:07:38.620 --> 00:07:40.300
很明顯 它的面積是有限的

00:07:40.300 --> 00:07:42.300
但這看起來也有一個有限的周長

00:07:42.340 --> 00:07:43.720
你會覺得 不 這並不夠精確

00:07:43.750 --> 00:07:45.380
你需要再稍微精確一點去估計

00:07:45.400 --> 00:07:46.960
而不是那麽粗糙地去估計

00:07:46.980 --> 00:07:48.680
你需要一堆更小的線

00:07:48.680 --> 00:07:50.740
你需要去構建更小的線

00:07:50.770 --> 00:07:52.570
才能更貼近海岸

00:07:52.620 --> 00:07:55.010
你會覺得 好的 這樣已經很精確了

00:07:55.010 --> 00:07:58.730
但如果我們截取海岸的一部分 將之放大

00:07:58.760 --> 00:08:01.780
如果是足夠的放大

00:08:01.780 --> 00:08:03.980
那麽實際的海岸線看起來就會像這樣

00:08:04.020 --> 00:08:08.190
實際的海岸線都會有這樣的小花邊

00:08:08.260 --> 00:08:11.150
基本上 當你最初做這樣的路線時

00:08:11.150 --> 00:08:13.580
你只是在估量它的長度

00:08:13.580 --> 00:08:15.740
可這並不是海岸線的周長

00:08:15.740 --> 00:08:17.620
你必須去構建更多的線

00:08:17.650 --> 00:08:18.850
你要像這樣做

00:08:18.900 --> 00:08:25.660
才能真正得到海岸線的周長

00:08:25.660 --> 00:08:29.150
你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法

00:08:29.150 --> 00:08:32.190
可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線

00:08:32.190 --> 00:08:35.050
你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子

00:08:35.050 --> 00:08:37.330
它實際上是像這樣凸凹不平的

00:08:37.360 --> 00:08:39.450
也或許像那個樣子

00:08:39.450 --> 00:08:42.810
取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度

00:08:42.890 --> 00:08:43.850
你會說 等等

00:08:43.900 --> 00:08:46.170
現在我需要更加貼近它

00:08:46.220 --> 00:08:48.270
你可以持續這樣做

00:08:48.310 --> 00:08:50.150
一直到原子水平

00:08:50.150 --> 00:08:54.730
因此真實的島嶼海岸線

00:08:54.770 --> 00:08:58.790
大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的

00:08:58.840 --> 00:09:01.210
你可以想象一下

00:09:01.210 --> 00:09:03.130
它有幾乎無窮大的周長

00:09:03.180 --> 00:09:04.150
很明顯 在一定程度上

00:09:04.220 --> 00:09:05.480
你將進入到原子水平去研究它

00:09:05.520 --> 00:09:06.610
因此這也不是完全相同

00:09:06.660 --> 00:09:08.510
但卻是同樣的現象

00:09:08.540 --> 00:09:10.390
這樣想想確實是一件有趣的事