1
00:00:00,000 --> 00:00:03,090
這是一個等邊三角形

2
00:00:03,090 --> 00:00:05,050
我將在這個等邊三角形外

3
00:00:05,050 --> 00:00:06,540
做出另一個形狀

4
00:00:06,540 --> 00:00:08,980
對這個三角形的每一邊

5
00:00:09,000 --> 00:00:14,540
將它們分割爲三等分

6
00:00:14,540 --> 00:00:18,790
我的等邊三角形並沒有畫得非常標準

7
00:00:18,790 --> 00:00:20,110
但我想你能理解

8
00:00:20,110 --> 00:00:21,430
在中間這一段

9
00:00:21,450 --> 00:00:23,290
我想構建另一個等邊三角形

10
00:00:23,290 --> 00:00:25,510
就在這個中間部分

11
00:00:25,540 --> 00:00:28,640
我馬上會構建另一個等邊三角形

12
00:00:28,640 --> 00:00:31,550
它們看起來是這個樣子的

13
00:00:31,550 --> 00:00:33,860
就在這裡

14
00:00:33,860 --> 00:00:37,130
我會構建另一個等邊三角形

15
00:00:37,130 --> 00:00:40,320
從等邊三角形著手

16
00:00:40,340 --> 00:00:43,320
現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星

17
00:00:43,370 --> 00:00:45,420
再次重覆剛才的步驟

18
00:00:45,420 --> 00:00:48,390
現在對每一邊 我將之分割爲三等分

19
00:00:48,390 --> 00:00:51,490
在中間這一段 我將構建一個等邊三角形

20
00:00:51,490 --> 00:00:54,150
在這兒構建一個等邊三角形

21
00:00:54,150 --> 00:00:59,280
在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形

22
00:00:59,280 --> 00:01:01,660
在每一邊都重覆這樣的步驟

23
00:01:01,660 --> 00:01:04,560
這裡做一個等邊三角形 這裡也是

24
00:01:04,560 --> 00:01:10,860
你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去

25
00:01:10,860 --> 00:01:16,270
就像這樣

26
00:01:16,270 --> 00:01:20,850
這一輪可以完成了

27
00:01:20,850 --> 00:01:22,950
圖像會像這個樣子

28
00:01:22,990 --> 00:01:24,210
我可以再做一次

29
00:01:24,210 --> 00:01:27,020
每一條線段我都分割成三等分

30
00:01:27,020 --> 00:01:28,340
在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形

31
00:01:28,340 --> 00:01:32,210
就像這樣

32
00:01:32,210 --> 00:01:33,270
我想你知道接下來是怎樣的

33
00:01:33,270 --> 00:01:37,020
我可以這樣持續地畫下去直到永遠

34
00:01:37,020 --> 00:01:39,710
在這段影片中 我想探究

35
00:01:39,710 --> 00:01:40,860
這裡的情況是怎樣的

36
00:01:40,860 --> 00:01:42,490
我實際上在畫的是

37
00:01:42,490 --> 00:01:45,090
如果我們持續畫下去直到永遠

38
00:01:45,090 --> 00:01:48,100
對於每個循環 我們著眼每條邊

39
00:01:48,130 --> 00:01:49,520
將之三等分

40
00:01:49,520 --> 00:01:52,460
在下一個循環又三等分

41
00:01:52,460 --> 00:01:53,320
下一個循環

42
00:01:53,320 --> 00:01:55,480
在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形

43
00:01:55,480 --> 00:01:58,240
這裡我們構建的新圖形

44
00:01:58,240 --> 00:02:00,200
稱之爲科赫曲線

45
00:02:00,200 --> 00:02:02,890
我想我把科赫這個音念錯了

46
00:02:02,890 --> 00:02:05,180
應該是科赫曲線

47
00:02:05,230 --> 00:02:07,810
這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫

48
00:02:07,810 --> 00:02:12,490
這位紳士所提出來的

49
00:02:12,490 --> 00:02:14,640
我想我又念錯了

50
00:02:14,670 --> 00:02:17,250
這也是最早被描述成的分形之一

51
00:02:17,270 --> 00:02:19,850
這是一個分形

52
00:02:19,850 --> 00:02:22,000
它被定義爲分形的原因是

53
00:02:22,000 --> 00:02:23,790
它看起來極其相似

54
00:02:23,810 --> 00:02:26,340
或是說以任何的尺度去看它都是很相似的

55
00:02:26,340 --> 00:02:29,890
當你在這個尺度下觀察圖形

56
00:02:29,910 --> 00:02:32,410
你將看到一群上面有突起的三角形

57
00:02:32,410 --> 00:02:34,890
如果你將這裡放大

58
00:02:34,910 --> 00:02:37,860
你會看到跟之前一樣的圖案

59
00:02:37,860 --> 00:02:39,840
再放大

60
00:02:39,860 --> 00:02:41,520
你會又一次看到相同的圖案

61
00:02:41,580 --> 00:02:43,470
因此 一個分形指的是 無論以任何尺度

62
00:02:43,470 --> 00:02:46,810
任何縮放比例 看起來都大致相同

63
00:02:46,810 --> 00:02:48,700
這是它稱之爲分形的原因

64
00:02:48,720 --> 00:02:50,150
最有趣的是什麽

65
00:02:50,200 --> 00:02:53,530
我又爲何在這時候把它放在播放列表上

66
00:02:53,530 --> 00:02:56,790
這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的

67
00:02:56,790 --> 00:02:58,330
如果你持續的畫下去

68
00:02:58,370 --> 00:02:59,900
假使你構建的真的是科赫曲線

69
00:02:59,900 --> 00:03:03,260
那麽在每個更小的三角形上

70
00:03:03,280 --> 00:03:05,240
你持續無限次地構建

71
00:03:05,280 --> 00:03:09,910
在每一邊構建一個等邊三角形

72
00:03:09,930 --> 00:03:11,680
去證明它的周長是無窮大的

73
00:03:11,680 --> 00:03:13,440
我們考慮它的一條邊

74
00:03:13,440 --> 00:03:16,000
就比如說這一條邊

75
00:03:16,000 --> 00:03:18,550
我們從最開始的

76
00:03:18,550 --> 00:03:20,050
原始三角形入手

77
00:03:20,080 --> 00:03:21,480
假設它每一邊的長度是S

78
00:03:21,520 --> 00:03:23,930
我們將之分割爲三等分

79
00:03:23,960 --> 00:03:26,290
我們分割它爲三等分

80
00:03:26,310 --> 00:03:30,810
每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它

81
00:03:30,810 --> 00:03:35,940
S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一

82
00:03:35,940 --> 00:03:38,820
在中間這一段 構建一個等邊三角形

83
00:03:38,820 --> 00:03:41,910
在中間這一段 構建一個等邊三角形

84
00:03:41,910 --> 00:03:44,090
每一邊都是S的三分之一

85
00:03:44,090 --> 00:03:47,000
S的三分之一 S的三分之一

86
00:03:47,000 --> 00:03:50,700
這個新圖形的長度

87
00:03:50,700 --> 00:03:53,270
對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了

88
00:03:53,290 --> 00:03:56,880
這一部分的長度

89
00:03:56,880 --> 00:03:59,110
不再僅僅是S了

90
00:03:59,150 --> 00:04:01,620
而是S的三分之一乘以4

91
00:04:01,620 --> 00:04:03,360
之前是S的三分之一乘以3

92
00:04:03,360 --> 00:04:07,550
而現在有4個長度爲S的三分之一的線段

93
00:04:07,550 --> 00:04:10,500
所以像這樣重覆一次的構建三角形

94
00:04:10,500 --> 00:04:14,930
再把三角形的長度加起來

95
00:04:14,930 --> 00:04:16,300
我們新的一邊

96
00:04:16,340 --> 00:04:23,560
突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四

97
00:04:23,560 --> 00:04:30,950
假設我們原始的周長是P0

98
00:04:30,950 --> 00:04:34,230
一輪之後 我們得到了好幾個突起

99
00:04:34,230 --> 00:04:35,670
周長變爲了

100
00:04:35,710 --> 00:04:39,880
原始周長的三分之四

101
00:04:39,880 --> 00:04:42,660
由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍

102
00:04:42,660 --> 00:04:44,270
假設起始是由三條邊構成的圖案

103
00:04:44,290 --> 00:04:46,690
而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍

104
00:04:46,690 --> 00:04:48,950
於是新周長也變成了原周長的三分之四倍

105
00:04:48,950 --> 00:04:51,980
再此基礎上進行第二輪

106
00:04:51,980 --> 00:04:54,470
這將得到第一輪長度的三分之四倍

107
00:04:54,470 --> 00:04:57,740
每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍

108
00:04:57,790 --> 00:05:00,190
這是第三輪在擴大了

109
00:05:00,190 --> 00:05:03,550
這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍

110
00:05:03,610 --> 00:05:05,590
如果你繼續無限次地重覆這些步驟

111
00:05:05,590 --> 00:05:10,740
任何一個數無限次乘以三分之四

112
00:05:10,740 --> 00:05:13,760
你都將得到一個無窮大的長度

113
00:05:13,760 --> 00:05:16,340
也就是第無限個P

114
00:05:16,360 --> 00:05:19,910
在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大

115
00:05:19,940 --> 00:05:22,140
這極其有趣

116
00:05:22,190 --> 00:05:24,300
想想一個東西竟然周長是無窮大

117
00:05:24,300 --> 00:05:28,260
更神奇的是它的面積卻是有限大的

118
00:05:28,260 --> 00:05:30,120
我所說的有限大的面積

119
00:05:30,120 --> 00:05:32,480
實際上指的是它包含了一個有界的空間

120
00:05:32,480 --> 00:05:34,490
我可以環繞它畫出這樣一個圖形

121
00:05:34,490 --> 00:05:36,340
而科赫曲線永遠不會超出這個圖形

122
00:05:36,340 --> 00:05:38,960
我不準備做出一個嚴謹的證明

123
00:05:38,960 --> 00:05:41,600
請想想每一邊將會發生什麽

124
00:05:41,600 --> 00:05:45,550
在第一輪 我們得到這個突起的三角形

125
00:05:45,550 --> 00:05:49,540
接下來繼續構建三角形

126
00:05:49,540 --> 00:05:52,280
下一輪你在這裡構建兩個三角形

127
00:05:52,310 --> 00:05:53,940
那裏也構建兩個三角形

128
00:05:53,940 --> 00:05:56,230
然後你又四處構建一些三角形

129
00:05:56,260 --> 00:05:59,600
如此等等地構建三角形

130
00:05:59,630 --> 00:06:02,520
請注意 你可以像這樣持續地增加三角形

131
00:06:02,520 --> 00:06:04,980
構成無限個的突起

132
00:06:05,020 --> 00:06:07,070
但你永遠不會超過最初的這個頂點

133
00:06:07,070 --> 00:06:11,220
對於這一邊是一樣的道理

134
00:06:11,220 --> 00:06:13,840
另一邊也一樣適用這個道理

135
00:06:13,870 --> 00:06:17,540
這一邊同樣如此

136
00:06:17,540 --> 00:06:19,550
那一邊也是一樣

137
00:06:19,550 --> 00:06:22,330
而對那一邊也是同樣正確

138
00:06:22,350 --> 00:06:24,590
即使你無限次地重覆這些步驟

139
00:06:24,590 --> 00:06:27,120
這個科赫曲線

140
00:06:27,160 --> 00:06:30,130
其面積也不可能超越這個有界的六邊形

141
00:06:30,130 --> 00:06:32,070
或者說它的面積不會大於

142
00:06:32,070 --> 00:06:34,530
這樣一個圖形的面積

143
00:06:34,530 --> 00:06:36,450
我只是隨意大致地勾畫

144
00:06:36,450 --> 00:06:38,200
在這個六邊形之外

145
00:06:38,200 --> 00:06:39,780
勾畫一個圓圈

146
00:06:39,780 --> 00:06:44,630
這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫

147
00:06:44,630 --> 00:06:46,820
很明顯它們有固定的面積

148
00:06:46,820 --> 00:06:49,480
因此科赫曲線將永遠是有界的

149
00:06:49,480 --> 00:06:52,450
即使你加上無限個突起

150
00:06:52,450 --> 00:06:55,380
這一堆圖案真是太神奇了

151
00:06:55,420 --> 00:06:56,330
首先 這是個分形

152
00:06:56,330 --> 00:06:58,760
你可以隨意放大 它看起來還是一樣

153
00:06:58,780 --> 00:07:04,950
然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積

154
00:07:04,950 --> 00:07:07,830
或許你會說 等等 這個太抽象了

155
00:07:07,830 --> 00:07:10,120
這樣的東西並不出現在真實生活中

156
00:07:10,120 --> 00:07:13,240
有一個著名實驗

157
00:07:13,240 --> 00:07:14,820
人們會在分形世界裏提到

158
00:07:14,870 --> 00:07:17,770
這就是測量英國國土的周長

159
00:07:17,820 --> 00:07:19,200
當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長

160
00:07:19,200 --> 00:07:21,170
英國國土的外形就像這樣

161
00:07:21,170 --> 00:07:22,730
我並不是這方面的專家

162
00:07:22,730 --> 00:07:24,230
就假設它像這個樣子

163
00:07:24,230 --> 00:07:26,230
首先 你可以粗略估計它的周長

164
00:07:26,230 --> 00:07:27,480
測量這一段距離

165
00:07:27,550 --> 00:07:32,350
再測量那一段的距離加上這段的距離

166
00:07:32,350 --> 00:07:36,070
和這段 這段 這段 以及這段的距離

167
00:07:36,070 --> 00:07:37,660
看

168
00:07:37,660 --> 00:07:38,590
這個周長是有限的

169
00:07:38,620 --> 00:07:40,300
很明顯 它的面積是有限的

170
00:07:40,300 --> 00:07:42,300
但這看起來也有一個有限的周長

171
00:07:42,340 --> 00:07:43,720
你會覺得 不 這並不夠精確

172
00:07:43,750 --> 00:07:45,380
你需要再稍微精確一點去估計

173
00:07:45,400 --> 00:07:46,960
而不是那麽粗糙地去估計

174
00:07:46,980 --> 00:07:48,680
你需要一堆更小的線

175
00:07:48,680 --> 00:07:50,740
你需要去構建更小的線

176
00:07:50,770 --> 00:07:52,570
才能更貼近海岸

177
00:07:52,620 --> 00:07:55,010
你會覺得 好的 這樣已經很精確了

178
00:07:55,010 --> 00:07:58,730
但如果我們截取海岸的一部分 將之放大

179
00:07:58,760 --> 00:08:01,780
如果是足夠的放大

180
00:08:01,780 --> 00:08:03,980
那麽實際的海岸線看起來就會像這樣

181
00:08:04,020 --> 00:08:08,190
實際的海岸線都會有這樣的小花邊

182
00:08:08,260 --> 00:08:11,150
基本上 當你最初做這樣的路線時

183
00:08:11,150 --> 00:08:13,580
你只是在估量它的長度

184
00:08:13,580 --> 00:08:15,740
可這並不是海岸線的周長

185
00:08:15,740 --> 00:08:17,620
你必須去構建更多的線

186
00:08:17,650 --> 00:08:18,850
你要像這樣做

187
00:08:18,900 --> 00:08:25,660
才能真正得到海岸線的周長

188
00:08:25,660 --> 00:08:29,150
你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法

189
00:08:29,150 --> 00:08:32,190
可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線

190
00:08:32,190 --> 00:08:35,050
你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子

191
00:08:35,050 --> 00:08:37,330
它實際上是像這樣凸凹不平的

192
00:08:37,360 --> 00:08:39,450
也或許像那個樣子

193
00:08:39,450 --> 00:08:42,810
取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度

194
00:08:42,890 --> 00:08:43,850
你會說 等等

195
00:08:43,900 --> 00:08:46,170
現在我需要更加貼近它

196
00:08:46,220 --> 00:08:48,270
你可以持續這樣做

197
00:08:48,310 --> 00:08:50,150
一直到原子水平

198
00:08:50,150 --> 00:08:54,730
因此真實的島嶼海岸線

199
00:08:54,770 --> 00:08:58,790
大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的

200
00:08:58,840 --> 00:09:01,210
你可以想象一下

201
00:09:01,210 --> 00:09:03,130
它有幾乎無窮大的周長

202
00:09:03,180 --> 00:09:04,150
很明顯 在一定程度上

203
00:09:04,220 --> 00:09:05,480
你將進入到原子水平去研究它

204
00:09:05,520 --> 00:09:06,610
因此這也不是完全相同

205
00:09:06,660 --> 00:09:08,510
但卻是同樣的現象

206
00:09:08,540 --> 00:09:10,390
這樣想想確實是一件有趣的事