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Koch Snowflake Fractal

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    這是一個等邊三角形
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    我將在這個等邊三角形外
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    做出另一個形狀
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    對這個三角形的每一邊
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    將它們分割爲三等分
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    我的等邊三角形並沒有畫得非常標準
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    但我想你能理解
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    在中間這一段
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    我想構建另一個等邊三角形
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    就在這個中間部分
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    我馬上會構建另一個等邊三角形
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    它們看起來是這個樣子的
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    就在這裡
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    我會構建另一個等邊三角形
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    從等邊三角形著手
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    現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星
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    再次重覆剛才的步驟
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    現在對每一邊 我將之分割爲三等分
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    在中間這一段 我將構建一個等邊三角形
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    在這兒構建一個等邊三角形
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    在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形
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    在每一邊都重覆這樣的步驟
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    這裡做一個等邊三角形 這裡也是
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    你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去
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    就像這樣
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    這一輪可以完成了
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    圖像會像這個樣子
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    我可以再做一次
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    每一條線段我都分割成三等分
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    在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形
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    就像這樣
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    我想你知道接下來是怎樣的
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    我可以這樣持續地畫下去直到永遠
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    在這段影片中 我想探究
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    這裡的情況是怎樣的
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    我實際上在畫的是
  • 1:42 - 1:45
    如果我們持續畫下去直到永遠
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    對於每個循環 我們著眼每條邊
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    將之三等分
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    在下一個循環又三等分
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    下一個循環
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    在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形
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    這裡我們構建的新圖形
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    稱之爲科赫曲線
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    我想我把科赫這個音念錯了
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    應該是科赫曲線
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    這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫
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    這位紳士所提出來的
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    我想我又念錯了
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    這也是最早被描述成的分形之一
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    這是一個分形
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    它被定義爲分形的原因是
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    它看起來極其相似
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    或是說以任何的尺度去看它都是很相似的
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    當你在這個尺度下觀察圖形
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    你將看到一群上面有突起的三角形
  • 2:32 - 2:35
    如果你將這裡放大
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    你會看到跟之前一樣的圖案
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    再放大
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    你會又一次看到相同的圖案
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    因此 一個分形指的是 無論以任何尺度
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    任何縮放比例 看起來都大致相同
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    這是它稱之爲分形的原因
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    最有趣的是什麽
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    我又爲何在這時候把它放在播放列表上
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    這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的
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    如果你持續的畫下去
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    假使你構建的真的是科赫曲線
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    那麽在每個更小的三角形上
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    你持續無限次地構建
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    在每一邊構建一個等邊三角形
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    去證明它的周長是無窮大的
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    我們考慮它的一條邊
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    就比如說這一條邊
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    我們從最開始的
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    原始三角形入手
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    假設它每一邊的長度是S
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    我們將之分割爲三等分
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    我們分割它爲三等分
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    每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它
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    S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
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    在中間這一段 構建一個等邊三角形
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    在中間這一段 構建一個等邊三角形
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    每一邊都是S的三分之一
  • 3:44 - 3:47
    S的三分之一 S的三分之一
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    這個新圖形的長度
  • 3:51 - 3:53
    對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了
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    這一部分的長度
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    不再僅僅是S了
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    而是S的三分之一乘以4
  • 4:02 - 4:03
    之前是S的三分之一乘以3
  • 4:03 - 4:08
    而現在有4個長度爲S的三分之一的線段
  • 4:08 - 4:10
    所以像這樣重覆一次的構建三角形
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    再把三角形的長度加起來
  • 4:15 - 4:16
    我們新的一邊
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    突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四
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    假設我們原始的周長是P0
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    一輪之後 我們得到了好幾個突起
  • 4:34 - 4:36
    周長變爲了
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    原始周長的三分之四
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    由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍
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    假設起始是由三條邊構成的圖案
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    而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍
  • 4:47 - 4:49
    於是新周長也變成了原周長的三分之四倍
  • 4:49 - 4:52
    再此基礎上進行第二輪
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    這將得到第一輪長度的三分之四倍
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    每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍
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    這是第三輪在擴大了
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    這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍
  • 5:04 - 5:06
    如果你繼續無限次地重覆這些步驟
  • 5:06 - 5:11
    任何一個數無限次乘以三分之四
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    你都將得到一個無窮大的長度
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    也就是第無限個P
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    在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大
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    這極其有趣
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    想想一個東西竟然周長是無窮大
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    更神奇的是它的面積卻是有限大的
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    我所說的有限大的面積
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    實際上指的是它包含了一個有界的空間
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    我可以環繞它畫出這樣一個圖形
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    而科赫曲線永遠不會超出這個圖形
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    我不準備做出一個嚴謹的證明
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    請想想每一邊將會發生什麽
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    在第一輪 我們得到這個突起的三角形
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    接下來繼續構建三角形
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    下一輪你在這裡構建兩個三角形
  • 5:52 - 5:54
    那裏也構建兩個三角形
  • 5:54 - 5:56
    然後你又四處構建一些三角形
  • 5:56 - 6:00
    如此等等地構建三角形
  • 6:00 - 6:03
    請注意 你可以像這樣持續地增加三角形
  • 6:03 - 6:05
    構成無限個的突起
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    但你永遠不會超過最初的這個頂點
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    對於這一邊是一樣的道理
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    另一邊也一樣適用這個道理
  • 6:14 - 6:18
    這一邊同樣如此
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    那一邊也是一樣
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    而對那一邊也是同樣正確
  • 6:22 - 6:25
    即使你無限次地重覆這些步驟
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    這個科赫曲線
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    其面積也不可能超越這個有界的六邊形
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    或者說它的面積不會大於
  • 6:32 - 6:35
    這樣一個圖形的面積
  • 6:35 - 6:36
    我只是隨意大致地勾畫
  • 6:36 - 6:38
    在這個六邊形之外
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    勾畫一個圓圈
  • 6:40 - 6:45
    這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫
  • 6:45 - 6:47
    很明顯它們有固定的面積
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    因此科赫曲線將永遠是有界的
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    即使你加上無限個突起
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    這一堆圖案真是太神奇了
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    首先 這是個分形
  • 6:56 - 6:59
    你可以隨意放大 它看起來還是一樣
  • 6:59 - 7:05
    然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積
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    或許你會說 等等 這個太抽象了
  • 7:08 - 7:10
    這樣的東西並不出現在真實生活中
  • 7:10 - 7:13
    有一個著名實驗
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    人們會在分形世界裏提到
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    這就是測量英國國土的周長
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    當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長
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    英國國土的外形就像這樣
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    我並不是這方面的專家
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    就假設它像這個樣子
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    首先 你可以粗略估計它的周長
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    測量這一段距離
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    再測量那一段的距離加上這段的距離
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    和這段 這段 這段 以及這段的距離
  • 7:36 - 7:38
    看
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    這個周長是有限的
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    很明顯 它的面積是有限的
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    但這看起來也有一個有限的周長
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    你會覺得 不 這並不夠精確
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    你需要再稍微精確一點去估計
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    而不是那麽粗糙地去估計
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    你需要一堆更小的線
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    你需要去構建更小的線
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    才能更貼近海岸
  • 7:53 - 7:55
    你會覺得 好的 這樣已經很精確了
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    但如果我們截取海岸的一部分 將之放大
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    如果是足夠的放大
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    那麽實際的海岸線看起來就會像這樣
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    實際的海岸線都會有這樣的小花邊
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    基本上 當你最初做這樣的路線時
  • 8:11 - 8:14
    你只是在估量它的長度
  • 8:14 - 8:16
    可這並不是海岸線的周長
  • 8:16 - 8:18
    你必須去構建更多的線
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    你要像這樣做
  • 8:19 - 8:26
    才能真正得到海岸線的周長
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    你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法
  • 8:29 - 8:32
    可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線
  • 8:32 - 8:35
    你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子
  • 8:35 - 8:37
    它實際上是像這樣凸凹不平的
  • 8:37 - 8:39
    也或許像那個樣子
  • 8:39 - 8:43
    取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度
  • 8:43 - 8:44
    你會說 等等
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    現在我需要更加貼近它
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    你可以持續這樣做
  • 8:48 - 8:50
    一直到原子水平
  • 8:50 - 8:55
    因此真實的島嶼海岸線
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    大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的
  • 8:59 - 9:01
    你可以想象一下
  • 9:01 - 9:03
    它有幾乎無窮大的周長
  • 9:03 - 9:04
    很明顯 在一定程度上
  • 9:04 - 9:05
    你將進入到原子水平去研究它
  • 9:06 - 9:07
    因此這也不是完全相同
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    但卻是同樣的現象
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    這樣想想確實是一件有趣的事
Title:
Koch Snowflake Fractal
Description:

A shape that has an infinite perimeter but finite area
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Video Language:
English
Duration:
09:11
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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