-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
Bu bir eşkenar üçgen.
Bu eşkenar üçgeni kullanarak başka bir şekil oluşturmak istiyorum.
Bunu yapmak için, bu eşkenar üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayıracağım.
-
Not Synced
Üç eşit parçaya ayırıyorum.
-
Not Synced
Orta bölümlerde başka eşkenar üçgenler oluşturacağım.
-
Not Synced
Buraya da bir tane eşkenar üçgen çizelim, tamamdır.
-
Not Synced
Eşkenar üçgeni alarak kenarları üçe böldüm, ve kenarların ortalarına da eşkenar üçgenler çizdim. Yıldıza benzer bir şekil oluştu.
-
Not Synced
Şimdi bunu tekrarlayacağım. Bu kenarların da her birisini üçe böleceğim ve ortadaki bölümlere eşkenar üçgenler çizeceğim.
-
Not Synced
Kenarların her birisine çizeceğim.
-
Not Synced
Buraya ve buraya da. Neredeyse tamam.
-
Not Synced
Şimdi böyle gözüküyor.
-
Not Synced
Devam edebilirim, her kenarı üç eşit parçaya bölebilir ve bunların orta bölümlerine de eşkenar üçgenler çizebilirim. Buraya, buraya,..
-
Not Synced
Bunu sonsuza kadar devam ettirebilirim.
-
Not Synced
Her tekrarlamada, eşkenar üçgenin kenarını üçe bölüyor ve ortadaki kısma yeni bir eşkenar üçgen çiziyorum.
-
Not Synced
Burada gördüğünüz şekil, Koch Kar Tanesi olarak adlandırılıyor.
-
Not Synced
Bu şekil ilk defa burada resmini gördüğünüz İsveçli matematikçi Niels Fabian Helge von Koch tarafından tanımlanmış.
-
Not Synced
02:15.
-
Not Synced
Bu, tanımlanan ilk fraktallerden birisi.
-
Not Synced
Bu şeklin fraktal olarak kabul edilmesinin sebebi ise, baktığınız her ölçekte neredeyse aynı gözükmesi.
-
Not Synced
Bu ölçekte de bakarsanız, üçgenler ve kenarlarında üçgenler görüyorsunuz. Ancak buraya yakınlaşıp baksaydınız, gene eşkenar üçgenler ve kenarlarında başka üçgenler görecektiniz.
-
Not Synced
Tekrar yakınlaştırsaydınız, gene aynı şeyi görecektiniz. Fraktallarda her seviyede, her ölçekte aynı şeyi görüyoruz. Fraktal olarak adlandırılmasının sebebi de bu.
-
Not Synced
Bu şekli geometri konularımızın arasına alma sebebimiz ise, bu şeklin çevresinin sonsuz olması.
-
Not Synced
Eğer bunu yapmaya devam ederseniz, her kenarı üçe ayırır ve ortaya bir eşkenar üçgen çizerek bunu sürekli devam ettirirseniz, bu şeklin çevresi sonsuz uzunlukta olur.
-
Not Synced
Buradaki kenarlardan birisini ele alarak bu durumu düşünelim.
-
Not Synced
Diyelim ki bu, eşkenar üçgenimizin kenarlarından birisi olsun. Bunu S olarak adlandıralım.
-
Not Synced
Bu kenarı eşit parçaya ayırıyoruz, yani bu parçaların her birisi S/3 uzunlukta olacak.
-
Not Synced
S/3, S/3 ve S/3.
-
Not Synced
Ortadaki bölümde, yeni bir eşkenar üçgen yapıyoruz.
-
Not Synced
Bu yeni üçgenin her kenarının uzunluğu S/3 olacak.
-
Not Synced
Şimdi bu yeni kısmın uzunluğu, bu bölüm eklendikten sonra, S/3 çarpı 4 oldu.
-
Not Synced
Eskiden S/3 çarpı 3'tü, şimdi 1,2,3,4 tane S/3 uzunluğunda parça var.
-
Not Synced
Bir kere üçgen ekledikten sonra, yeni kenarımızın uzunluğu 4 çarpı S/3 oldu, yani 4/3 S oldu.
-
Not Synced
Eğer başlangıçtaki çevre P0 ise,
-
Not Synced
P1'deki çevre başlangıçtaki çevrenin 4/3 katı oldu, yani 4/3 P0 oldu.
-
Not Synced
Eşkenar üçgende üç kenar var,bu kenarların her birisi 4/3 büyüdü, üçgenin toplam çevresi de 4/3 büyümüş oldu.
-
Not Synced
İkinci kez bu işlemi tekrarlarsak, kenar uzunluğu ilk tura göre gene 4/3 oranında artacak.
-
Not Synced
P2 eşittir 4/3 çarpı P1 yazabiliriz.
-
Not Synced
İşlemi her tekrarladığımızda, çevre bir öncekine göre 4/3 oranında yükseliyor.
-
Not Synced
Bunu sonsuz sayıda tekrarlarsak, çevre de sonsuz uzaklığa ulaşır.
-
Not Synced
Yani P sonsuz eşittir sonsuz olur.
-
Not Synced
Sonsuz çevreye sahip olan bir şekil üzerinde düşünmek gerçekten ilginç.
-
Not Synced
Ancak daha da ilginç olan, bu şeklin alanının sınırlı olması. Sınırsız alana sahip değil, belirli bir alana sahip.
-
Not Synced
Bunun etrafına bir şekil çizebiliriz, ve bunun ötesine uzanamaz.
-
Not Synced
Bu konuyu sadece düşünelim, burada ciddi bir ispat yapmaya girişmeyeceğim.
-
Not Synced
Bu kenarlardan herhangi birisinde neler olduğunu düşünelim.
-
Not Synced
İlk turda bu üçgen oluştu, daha sonra bu iki üçgen oluştu, daha sonra buraya buraya ve diğer yerlere üçgenler çizdik.
-
Not Synced
06:00
-
Not Synced
Dikkat edin, istediğiniz sayıda üçgen ekleyebilirsiniz ancak başlangıçtaki bu noktanın ötesine geçmiyorsunuz.
-
Not Synced
Aynı şey bu kenar, bu kenar, bu kenar ve diğer tüm kenarlar için de geçerli.
-
Not Synced
Üçgen yapmayı sonsuz sayıda tekrarlayabiliriz, ancak oluşacak şeklin alanı bu altıgenin şeklinden daha büyük olamaz.
-
Not Synced
Veya bu şekilden daha büyük bir alana sahip olamaz, altıgenin dışına da rastgele bir şekil çizeyim.
-
Not Synced
Koch kar tanesinin dışına çizdiğim altıgenin, veya bu daireye benzer şeklin sınırlı bir alanı var. Kar tanesi de bu alanla sınırlı.
-
Not Synced
Burada ilginç bulduğum birkaç tane şey var.
-
Not Synced
Bunlardan birisi, şeklin fraktal olması. Hangi seviyede bakarsak bakalım, neredeyse aynı gözüküyor.
-
Not Synced
Yakınlaşsak da aynı gözüküyor.
-
Not Synced
Diğer ilginç şeyler ise, çevresinin sınırsız , alanının ise sınırlı olması.
-
Not Synced
Bunun çok soyut bir şey olduğunu ve bunun gibi şeylerin gerçek dünyada bulunmadığını söyleyebilirsiniz.
-
Not Synced
Fraktaller üstünde çalışan kişilerin yaptığı eğlenceli bir düşünsel deney var: İngiltere'nin çevresini veya herhangi bir adanın çevresini hesaplamak.
-
Not Synced
İngiltere'nin şekli buna benziyor diyelim.
-
Not Synced
Adanın çevresini yaklaşık olarak hesaplamak için bu uzaklığı, bu uzaklığı, bu uzaklığı ve bu uzaklığı ölçebilirsiniz.
-
Not Synced
Adanın belirli bir alanı var, belirli bir çevresi var.
-
Not Synced
Belirli çevre mi, bundan daha iyi bir hesaplama yapabilir miyiz?
-
Not Synced
Bu kadar büyük çizgiler çizmek yerine, kıyılarla uyumlu daha küçük çizgiler çizebiliriz, böylece adanın gerçek çevresine daha yakın bir sonuca ulaşmış oluruz.
-
Not Synced
Diyelim ki sahilin buradaki bölgesine iyice yakınlaşarak bakalım.
-
Not Synced
Baktığımızda gerçek görüntü bu olsun, pek çok küçük girinti ve çıkıntı var.
-
Not Synced
Biz bunu yaptığımızda, sadece buradaki uzunluğu ölçmüş olduk, buradaki girinti ve çıkıntıları dikkate almamış olduk.
-
Not Synced
Sahilin çevresinin uzunluğu bu değil. Gerçek uzunluğa daha da yakın bir değer bulmak için aslında böyle birşey yapmamız gerekiyor.
-
Not Synced
Bunun iyi bir ölçüm olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak daha da yaklaşarak baktığınızda aslında burada da pek çok küçük girinti/çıkıntı olduğunu görebilirsiniz.
-
Not Synced
Bunu atom seviyesine kadar devam ettirebilirsiniz.
-
Not Synced
Kıtaların veya adaların çevresini düşünürseniz, aslında çevre uzunluğu açısından fraktallara benziyorlar: Çevreleri neredeyse sonsuz.
