9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu bir eşkenar üçgen.[br]Bu eşkenar üçgeni kullanarak başka bir şekil oluşturmak istiyorum.[br]Bunu yapmak için, bu eşkenar üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayıracağım.[br] 9:59:59.000,9:59:59.000 Üç eşit parçaya ayırıyorum. 9:59:59.000,9:59:59.000 Orta bölümlerde başka eşkenar üçgenler oluşturacağım. 9:59:59.000,9:59:59.000 Buraya da bir tane eşkenar üçgen çizelim, tamamdır. 9:59:59.000,9:59:59.000 Eşkenar üçgeni alarak kenarları üçe böldüm, ve kenarların ortalarına da eşkenar üçgenler çizdim. Yıldıza benzer bir şekil oluştu. 9:59:59.000,9:59:59.000 Şimdi bunu tekrarlayacağım. Bu kenarların da her birisini üçe böleceğim ve ortadaki bölümlere eşkenar üçgenler çizeceğim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Kenarların her birisine çizeceğim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Buraya ve buraya da. Neredeyse tamam. 9:59:59.000,9:59:59.000 Şimdi böyle gözüküyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Devam edebilirim, her kenarı üç eşit parçaya bölebilir ve bunların orta bölümlerine de eşkenar üçgenler çizebilirim. Buraya, buraya,.. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunu sonsuza kadar devam ettirebilirim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Her tekrarlamada, eşkenar üçgenin kenarını üçe bölüyor ve ortadaki kısma yeni bir eşkenar üçgen çiziyorum. 9:59:59.000,9:59:59.000 Burada gördüğünüz şekil, Koch Kar Tanesi olarak adlandırılıyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu şekil ilk defa burada resmini gördüğünüz İsveçli matematikçi Niels Fabian Helge von Koch tarafından tanımlanmış. 9:59:59.000,9:59:59.000 02:15. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu, tanımlanan ilk fraktallerden birisi. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu şeklin fraktal olarak kabul edilmesinin sebebi ise, baktığınız her ölçekte neredeyse aynı gözükmesi. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu ölçekte de bakarsanız, üçgenler ve kenarlarında üçgenler görüyorsunuz. Ancak buraya yakınlaşıp baksaydınız, gene eşkenar üçgenler ve kenarlarında başka üçgenler görecektiniz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Tekrar yakınlaştırsaydınız, gene aynı şeyi görecektiniz. Fraktallarda her seviyede, her ölçekte aynı şeyi görüyoruz. Fraktal olarak adlandırılmasının sebebi de bu. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu şekli geometri konularımızın arasına alma sebebimiz ise, bu şeklin çevresinin sonsuz olması. 9:59:59.000,9:59:59.000 Eğer bunu yapmaya devam ederseniz, her kenarı üçe ayırır ve ortaya bir eşkenar üçgen çizerek bunu sürekli devam ettirirseniz, bu şeklin çevresi sonsuz uzunlukta olur. 9:59:59.000,9:59:59.000 Buradaki kenarlardan birisini ele alarak bu durumu düşünelim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Diyelim ki bu, eşkenar üçgenimizin kenarlarından birisi olsun. Bunu S olarak adlandıralım. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu kenarı eşit parçaya ayırıyoruz, yani bu parçaların her birisi S/3 uzunlukta olacak. 9:59:59.000,9:59:59.000 S/3, S/3 ve S/3. 9:59:59.000,9:59:59.000 Ortadaki bölümde, yeni bir eşkenar üçgen yapıyoruz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu yeni üçgenin her kenarının uzunluğu S/3 olacak. 9:59:59.000,9:59:59.000 Şimdi bu yeni kısmın uzunluğu, bu bölüm eklendikten sonra, S/3 çarpı 4 oldu. 9:59:59.000,9:59:59.000 Eskiden S/3 çarpı 3'tü, şimdi 1,2,3,4 tane S/3 uzunluğunda parça var. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bir kere üçgen ekledikten sonra, yeni kenarımızın uzunluğu 4 çarpı S/3 oldu, yani 4/3 S oldu. 9:59:59.000,9:59:59.000 Eğer başlangıçtaki çevre P0 ise, 9:59:59.000,9:59:59.000 P1'deki çevre başlangıçtaki çevrenin 4/3 katı oldu, yani 4/3 P0 oldu. 9:59:59.000,9:59:59.000 Eşkenar üçgende üç kenar var,bu kenarların her birisi 4/3 büyüdü, üçgenin toplam çevresi de 4/3 büyümüş oldu. 9:59:59.000,9:59:59.000 İkinci kez bu işlemi tekrarlarsak, kenar uzunluğu ilk tura göre gene 4/3 oranında artacak. 9:59:59.000,9:59:59.000 P2 eşittir 4/3 çarpı P1 yazabiliriz. 9:59:59.000,9:59:59.000 İşlemi her tekrarladığımızda, çevre bir öncekine göre 4/3 oranında yükseliyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunu sonsuz sayıda tekrarlarsak, çevre de sonsuz uzaklığa ulaşır. 9:59:59.000,9:59:59.000 Yani P sonsuz eşittir sonsuz olur. 9:59:59.000,9:59:59.000 Sonsuz çevreye sahip olan bir şekil üzerinde düşünmek gerçekten ilginç. 9:59:59.000,9:59:59.000 Ancak daha da ilginç olan, bu şeklin alanının sınırlı olması. Sınırsız alana sahip değil, belirli bir alana sahip. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunun etrafına bir şekil çizebiliriz, ve bunun ötesine uzanamaz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu konuyu sadece düşünelim, burada ciddi bir ispat yapmaya girişmeyeceğim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu kenarlardan herhangi birisinde neler olduğunu düşünelim. 9:59:59.000,9:59:59.000 İlk turda bu üçgen oluştu, daha sonra bu iki üçgen oluştu, daha sonra buraya buraya ve diğer yerlere üçgenler çizdik. 9:59:59.000,9:59:59.000 06:00 9:59:59.000,9:59:59.000 Dikkat edin, istediğiniz sayıda üçgen ekleyebilirsiniz ancak başlangıçtaki bu noktanın ötesine geçmiyorsunuz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Aynı şey bu kenar, bu kenar, bu kenar ve diğer tüm kenarlar için de geçerli. 9:59:59.000,9:59:59.000 Üçgen yapmayı sonsuz sayıda tekrarlayabiliriz, ancak oluşacak şeklin alanı bu altıgenin şeklinden daha büyük olamaz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Veya bu şekilden daha büyük bir alana sahip olamaz, altıgenin dışına da rastgele bir şekil çizeyim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Koch kar tanesinin dışına çizdiğim altıgenin, veya bu daireye benzer şeklin sınırlı bir alanı var. Kar tanesi de bu alanla sınırlı. 9:59:59.000,9:59:59.000 Burada ilginç bulduğum birkaç tane şey var. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunlardan birisi, şeklin fraktal olması. Hangi seviyede bakarsak bakalım, neredeyse aynı gözüküyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Yakınlaşsak da aynı gözüküyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Diğer ilginç şeyler ise, çevresinin sınırsız , alanının ise sınırlı olması. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunun çok soyut bir şey olduğunu ve bunun gibi şeylerin gerçek dünyada bulunmadığını söyleyebilirsiniz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Fraktaller üstünde çalışan kişilerin yaptığı eğlenceli bir düşünsel deney var: İngiltere'nin çevresini veya herhangi bir adanın çevresini hesaplamak. 9:59:59.000,9:59:59.000 İngiltere'nin şekli buna benziyor diyelim. 9:59:59.000,9:59:59.000 Adanın çevresini yaklaşık olarak hesaplamak için bu uzaklığı, bu uzaklığı, bu uzaklığı ve bu uzaklığı ölçebilirsiniz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Adanın belirli bir alanı var, belirli bir çevresi var. 9:59:59.000,9:59:59.000 Belirli çevre mi, bundan daha iyi bir hesaplama yapabilir miyiz? 9:59:59.000,9:59:59.000 Bu kadar büyük çizgiler çizmek yerine, kıyılarla uyumlu daha küçük çizgiler çizebiliriz, böylece adanın gerçek çevresine daha yakın bir sonuca ulaşmış oluruz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Diyelim ki sahilin buradaki bölgesine iyice yakınlaşarak bakalım. 9:59:59.000,9:59:59.000 Baktığımızda gerçek görüntü bu olsun, pek çok küçük girinti ve çıkıntı var. 9:59:59.000,9:59:59.000 Biz bunu yaptığımızda, sadece buradaki uzunluğu ölçmüş olduk, buradaki girinti ve çıkıntıları dikkate almamış olduk. 9:59:59.000,9:59:59.000 Sahilin çevresinin uzunluğu bu değil. Gerçek uzunluğa daha da yakın bir değer bulmak için aslında böyle birşey yapmamız gerekiyor. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunun iyi bir ölçüm olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak daha da yaklaşarak baktığınızda aslında burada da pek çok küçük girinti/çıkıntı olduğunu görebilirsiniz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Bunu atom seviyesine kadar devam ettirebilirsiniz. 9:59:59.000,9:59:59.000 Kıtaların veya adaların çevresini düşünürseniz, aslında çevre uzunluğu açısından fraktallara benziyorlar: Çevreleri neredeyse sonsuz.