1 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 2 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 3 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 4 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 5 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 6 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 7 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 8 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 9 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 10 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 11 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 12 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 13 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 14 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 15 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 16 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 17 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 18 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 19 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 20 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 21 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 22 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 23 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 24 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 25 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 26 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 27 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 28 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 29 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 30 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 31 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 32 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 33 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 34 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 35 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 36 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 37 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 38 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 39 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 40 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 41 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 42 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 43 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 44 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 45 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 46 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 47 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 48 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 49 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 50 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 51 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 52 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 53 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 54 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 55 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 56 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 57 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 58 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 59 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 60 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 61 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 62 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 63 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 64 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 65 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 66 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 67 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 68 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 69 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu bir eşkenar üçgen. Bu eşkenar üçgeni kullanarak başka bir şekil oluşturmak istiyorum. Bunu yapmak için, bu eşkenar üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayıracağım. 70 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Üç eşit parçaya ayırıyorum. 71 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Orta bölümlerde başka eşkenar üçgenler oluşturacağım. 72 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Buraya da bir tane eşkenar üçgen çizelim, tamamdır. 73 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Eşkenar üçgeni alarak kenarları üçe böldüm, ve kenarların ortalarına da eşkenar üçgenler çizdim. Yıldıza benzer bir şekil oluştu. 74 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Şimdi bunu tekrarlayacağım. Bu kenarların da her birisini üçe böleceğim ve ortadaki bölümlere eşkenar üçgenler çizeceğim. 75 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Kenarların her birisine çizeceğim. 76 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Buraya ve buraya da. Neredeyse tamam. 77 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Şimdi böyle gözüküyor. 78 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Devam edebilirim, her kenarı üç eşit parçaya bölebilir ve bunların orta bölümlerine de eşkenar üçgenler çizebilirim. Buraya, buraya,.. 79 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunu sonsuza kadar devam ettirebilirim. 80 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Her tekrarlamada, eşkenar üçgenin kenarını üçe bölüyor ve ortadaki kısma yeni bir eşkenar üçgen çiziyorum. 81 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Burada gördüğünüz şekil, Koch Kar Tanesi olarak adlandırılıyor. 82 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu şekil ilk defa burada resmini gördüğünüz İsveçli matematikçi Niels Fabian Helge von Koch tarafından tanımlanmış. 83 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 02:15. 84 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu, tanımlanan ilk fraktallerden birisi. 85 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu şeklin fraktal olarak kabul edilmesinin sebebi ise, baktığınız her ölçekte neredeyse aynı gözükmesi. 86 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu ölçekte de bakarsanız, üçgenler ve kenarlarında üçgenler görüyorsunuz. Ancak buraya yakınlaşıp baksaydınız, gene eşkenar üçgenler ve kenarlarında başka üçgenler görecektiniz. 87 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Tekrar yakınlaştırsaydınız, gene aynı şeyi görecektiniz. Fraktallarda her seviyede, her ölçekte aynı şeyi görüyoruz. Fraktal olarak adlandırılmasının sebebi de bu. 88 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu şekli geometri konularımızın arasına alma sebebimiz ise, bu şeklin çevresinin sonsuz olması. 89 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Eğer bunu yapmaya devam ederseniz, her kenarı üçe ayırır ve ortaya bir eşkenar üçgen çizerek bunu sürekli devam ettirirseniz, bu şeklin çevresi sonsuz uzunlukta olur. 90 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Buradaki kenarlardan birisini ele alarak bu durumu düşünelim. 91 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Diyelim ki bu, eşkenar üçgenimizin kenarlarından birisi olsun. Bunu S olarak adlandıralım. 92 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu kenarı eşit parçaya ayırıyoruz, yani bu parçaların her birisi S/3 uzunlukta olacak. 93 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 S/3, S/3 ve S/3. 94 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Ortadaki bölümde, yeni bir eşkenar üçgen yapıyoruz. 95 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu yeni üçgenin her kenarının uzunluğu S/3 olacak. 96 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Şimdi bu yeni kısmın uzunluğu, bu bölüm eklendikten sonra, S/3 çarpı 4 oldu. 97 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Eskiden S/3 çarpı 3'tü, şimdi 1,2,3,4 tane S/3 uzunluğunda parça var. 98 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bir kere üçgen ekledikten sonra, yeni kenarımızın uzunluğu 4 çarpı S/3 oldu, yani 4/3 S oldu. 99 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Eğer başlangıçtaki çevre P0 ise, 100 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 P1'deki çevre başlangıçtaki çevrenin 4/3 katı oldu, yani 4/3 P0 oldu. 101 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Eşkenar üçgende üç kenar var,bu kenarların her birisi 4/3 büyüdü, üçgenin toplam çevresi de 4/3 büyümüş oldu. 102 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 İkinci kez bu işlemi tekrarlarsak, kenar uzunluğu ilk tura göre gene 4/3 oranında artacak. 103 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 P2 eşittir 4/3 çarpı P1 yazabiliriz. 104 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 İşlemi her tekrarladığımızda, çevre bir öncekine göre 4/3 oranında yükseliyor. 105 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunu sonsuz sayıda tekrarlarsak, çevre de sonsuz uzaklığa ulaşır. 106 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Yani P sonsuz eşittir sonsuz olur. 107 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Sonsuz çevreye sahip olan bir şekil üzerinde düşünmek gerçekten ilginç. 108 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Ancak daha da ilginç olan, bu şeklin alanının sınırlı olması. Sınırsız alana sahip değil, belirli bir alana sahip. 109 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunun etrafına bir şekil çizebiliriz, ve bunun ötesine uzanamaz. 110 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu konuyu sadece düşünelim, burada ciddi bir ispat yapmaya girişmeyeceğim. 111 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu kenarlardan herhangi birisinde neler olduğunu düşünelim. 112 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 İlk turda bu üçgen oluştu, daha sonra bu iki üçgen oluştu, daha sonra buraya buraya ve diğer yerlere üçgenler çizdik. 113 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 06:00 114 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Dikkat edin, istediğiniz sayıda üçgen ekleyebilirsiniz ancak başlangıçtaki bu noktanın ötesine geçmiyorsunuz. 115 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Aynı şey bu kenar, bu kenar, bu kenar ve diğer tüm kenarlar için de geçerli. 116 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Üçgen yapmayı sonsuz sayıda tekrarlayabiliriz, ancak oluşacak şeklin alanı bu altıgenin şeklinden daha büyük olamaz. 117 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Veya bu şekilden daha büyük bir alana sahip olamaz, altıgenin dışına da rastgele bir şekil çizeyim. 118 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Koch kar tanesinin dışına çizdiğim altıgenin, veya bu daireye benzer şeklin sınırlı bir alanı var. Kar tanesi de bu alanla sınırlı. 119 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Burada ilginç bulduğum birkaç tane şey var. 120 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunlardan birisi, şeklin fraktal olması. Hangi seviyede bakarsak bakalım, neredeyse aynı gözüküyor. 121 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Yakınlaşsak da aynı gözüküyor. 122 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Diğer ilginç şeyler ise, çevresinin sınırsız , alanının ise sınırlı olması. 123 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunun çok soyut bir şey olduğunu ve bunun gibi şeylerin gerçek dünyada bulunmadığını söyleyebilirsiniz. 124 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Fraktaller üstünde çalışan kişilerin yaptığı eğlenceli bir düşünsel deney var: İngiltere'nin çevresini veya herhangi bir adanın çevresini hesaplamak. 125 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 İngiltere'nin şekli buna benziyor diyelim. 126 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Adanın çevresini yaklaşık olarak hesaplamak için bu uzaklığı, bu uzaklığı, bu uzaklığı ve bu uzaklığı ölçebilirsiniz. 127 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Adanın belirli bir alanı var, belirli bir çevresi var. 128 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Belirli çevre mi, bundan daha iyi bir hesaplama yapabilir miyiz? 129 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bu kadar büyük çizgiler çizmek yerine, kıyılarla uyumlu daha küçük çizgiler çizebiliriz, böylece adanın gerçek çevresine daha yakın bir sonuca ulaşmış oluruz. 130 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Diyelim ki sahilin buradaki bölgesine iyice yakınlaşarak bakalım. 131 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Baktığımızda gerçek görüntü bu olsun, pek çok küçük girinti ve çıkıntı var. 132 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Biz bunu yaptığımızda, sadece buradaki uzunluğu ölçmüş olduk, buradaki girinti ve çıkıntıları dikkate almamış olduk. 133 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Sahilin çevresinin uzunluğu bu değil. Gerçek uzunluğa daha da yakın bir değer bulmak için aslında böyle birşey yapmamız gerekiyor. 134 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunun iyi bir ölçüm olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak daha da yaklaşarak baktığınızda aslında burada da pek çok küçük girinti/çıkıntı olduğunu görebilirsiniz. 135 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Bunu atom seviyesine kadar devam ettirebilirsiniz. 136 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Kıtaların veya adaların çevresini düşünürseniz, aslında çevre uzunluğu açısından fraktallara benziyorlar: Çevreleri neredeyse sonsuz.