Bu bir eşkenar üçgen. Bu eşkenar üçgeni kullanarak başka bir şekil oluşturmak istiyorum. Bunu yapmak için, bu eşkenar üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayıracağım.
Üç eşit parçaya ayırıyorum.
Orta bölümlerde başka eşkenar üçgenler oluşturacağım.
Buraya da bir tane eşkenar üçgen çizelim, tamamdır.
Eşkenar üçgeni alarak kenarları üçe böldüm, ve kenarların ortalarına da eşkenar üçgenler çizdim. Yıldıza benzer bir şekil oluştu.
Şimdi bunu tekrarlayacağım. Bu kenarların da her birisini üçe böleceğim ve ortadaki bölümlere eşkenar üçgenler çizeceğim.
Kenarların her birisine çizeceğim.
Buraya ve buraya da. Neredeyse tamam.
Şimdi böyle gözüküyor.
Devam edebilirim, her kenarı üç eşit parçaya bölebilir ve bunların orta bölümlerine de eşkenar üçgenler çizebilirim. Buraya, buraya,..
Bunu sonsuza kadar devam ettirebilirim.
Her tekrarlamada, eşkenar üçgenin kenarını üçe bölüyor ve ortadaki kısma yeni bir eşkenar üçgen çiziyorum.
Burada gördüğünüz şekil, Koch Kar Tanesi olarak adlandırılıyor.
Bu şekil ilk defa burada resmini gördüğünüz İsveçli matematikçi Niels Fabian Helge von Koch tarafından tanımlanmış.
02:15.
Bu, tanımlanan ilk fraktallerden birisi.
Bu şeklin fraktal olarak kabul edilmesinin sebebi ise, baktığınız her ölçekte neredeyse aynı gözükmesi.
Bu ölçekte de bakarsanız, üçgenler ve kenarlarında üçgenler görüyorsunuz. Ancak buraya yakınlaşıp baksaydınız, gene eşkenar üçgenler ve kenarlarında başka üçgenler görecektiniz.
Tekrar yakınlaştırsaydınız, gene aynı şeyi görecektiniz. Fraktallarda her seviyede, her ölçekte aynı şeyi görüyoruz. Fraktal olarak adlandırılmasının sebebi de bu.
Bu şekli geometri konularımızın arasına alma sebebimiz ise, bu şeklin çevresinin sonsuz olması.
Eğer bunu yapmaya devam ederseniz, her kenarı üçe ayırır ve ortaya bir eşkenar üçgen çizerek bunu sürekli devam ettirirseniz, bu şeklin çevresi sonsuz uzunlukta olur.
Buradaki kenarlardan birisini ele alarak bu durumu düşünelim.
Diyelim ki bu, eşkenar üçgenimizin kenarlarından birisi olsun. Bunu S olarak adlandıralım.
Bu kenarı eşit parçaya ayırıyoruz, yani bu parçaların her birisi S/3 uzunlukta olacak.
S/3, S/3 ve S/3.
Ortadaki bölümde, yeni bir eşkenar üçgen yapıyoruz.
Bu yeni üçgenin her kenarının uzunluğu S/3 olacak.
Şimdi bu yeni kısmın uzunluğu, bu bölüm eklendikten sonra, S/3 çarpı 4 oldu.
Eskiden S/3 çarpı 3'tü, şimdi 1,2,3,4 tane S/3 uzunluğunda parça var.
Bir kere üçgen ekledikten sonra, yeni kenarımızın uzunluğu 4 çarpı S/3 oldu, yani 4/3 S oldu.
Eğer başlangıçtaki çevre P0 ise,
P1'deki çevre başlangıçtaki çevrenin 4/3 katı oldu, yani 4/3 P0 oldu.
Eşkenar üçgende üç kenar var,bu kenarların her birisi 4/3 büyüdü, üçgenin toplam çevresi de 4/3 büyümüş oldu.
İkinci kez bu işlemi tekrarlarsak, kenar uzunluğu ilk tura göre gene 4/3 oranında artacak.
P2 eşittir 4/3 çarpı P1 yazabiliriz.
İşlemi her tekrarladığımızda, çevre bir öncekine göre 4/3 oranında yükseliyor.
Bunu sonsuz sayıda tekrarlarsak, çevre de sonsuz uzaklığa ulaşır.
Yani P sonsuz eşittir sonsuz olur.
Sonsuz çevreye sahip olan bir şekil üzerinde düşünmek gerçekten ilginç.
Ancak daha da ilginç olan, bu şeklin alanının sınırlı olması. Sınırsız alana sahip değil, belirli bir alana sahip.
Bunun etrafına bir şekil çizebiliriz, ve bunun ötesine uzanamaz.
Bu konuyu sadece düşünelim, burada ciddi bir ispat yapmaya girişmeyeceğim.
Bu kenarlardan herhangi birisinde neler olduğunu düşünelim.
İlk turda bu üçgen oluştu, daha sonra bu iki üçgen oluştu, daha sonra buraya buraya ve diğer yerlere üçgenler çizdik.
06:00
Dikkat edin, istediğiniz sayıda üçgen ekleyebilirsiniz ancak başlangıçtaki bu noktanın ötesine geçmiyorsunuz.
Aynı şey bu kenar, bu kenar, bu kenar ve diğer tüm kenarlar için de geçerli.
Üçgen yapmayı sonsuz sayıda tekrarlayabiliriz, ancak oluşacak şeklin alanı bu altıgenin şeklinden daha büyük olamaz.
Veya bu şekilden daha büyük bir alana sahip olamaz, altıgenin dışına da rastgele bir şekil çizeyim.
Koch kar tanesinin dışına çizdiğim altıgenin, veya bu daireye benzer şeklin sınırlı bir alanı var. Kar tanesi de bu alanla sınırlı.
Burada ilginç bulduğum birkaç tane şey var.
Bunlardan birisi, şeklin fraktal olması. Hangi seviyede bakarsak bakalım, neredeyse aynı gözüküyor.
Yakınlaşsak da aynı gözüküyor.
Diğer ilginç şeyler ise, çevresinin sınırsız , alanının ise sınırlı olması.
Bunun çok soyut bir şey olduğunu ve bunun gibi şeylerin gerçek dünyada bulunmadığını söyleyebilirsiniz.
Fraktaller üstünde çalışan kişilerin yaptığı eğlenceli bir düşünsel deney var: İngiltere'nin çevresini veya herhangi bir adanın çevresini hesaplamak.
İngiltere'nin şekli buna benziyor diyelim.
Adanın çevresini yaklaşık olarak hesaplamak için bu uzaklığı, bu uzaklığı, bu uzaklığı ve bu uzaklığı ölçebilirsiniz.
Adanın belirli bir alanı var, belirli bir çevresi var.
Belirli çevre mi, bundan daha iyi bir hesaplama yapabilir miyiz?
Bu kadar büyük çizgiler çizmek yerine, kıyılarla uyumlu daha küçük çizgiler çizebiliriz, böylece adanın gerçek çevresine daha yakın bir sonuca ulaşmış oluruz.
Diyelim ki sahilin buradaki bölgesine iyice yakınlaşarak bakalım.
Baktığımızda gerçek görüntü bu olsun, pek çok küçük girinti ve çıkıntı var.
Biz bunu yaptığımızda, sadece buradaki uzunluğu ölçmüş olduk, buradaki girinti ve çıkıntıları dikkate almamış olduk.
Sahilin çevresinin uzunluğu bu değil. Gerçek uzunluğa daha da yakın bir değer bulmak için aslında böyle birşey yapmamız gerekiyor.
Bunun iyi bir ölçüm olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak daha da yaklaşarak baktığınızda aslında burada da pek çok küçük girinti/çıkıntı olduğunu görebilirsiniz.
Bunu atom seviyesine kadar devam ettirebilirsiniz.
Kıtaların veya adaların çevresini düşünürseniz, aslında çevre uzunluğu açısından fraktallara benziyorlar: Çevreleri neredeyse sonsuz.