WEBVTT 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu bir eşkenar üçgen. Bu eşkenar üçgeni kullanarak başka bir şekil oluşturmak istiyorum. Bunu yapmak için, bu eşkenar üçgenin her kenarını üç eşit parçaya ayıracağım. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Üç eşit parçaya ayırıyorum. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Orta bölümlerde başka eşkenar üçgenler oluşturacağım. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Buraya da bir tane eşkenar üçgen çizelim, tamamdır. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eşkenar üçgeni alarak kenarları üçe böldüm, ve kenarların ortalarına da eşkenar üçgenler çizdim. Yıldıza benzer bir şekil oluştu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Şimdi bunu tekrarlayacağım. Bu kenarların da her birisini üçe böleceğim ve ortadaki bölümlere eşkenar üçgenler çizeceğim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Kenarların her birisine çizeceğim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Buraya ve buraya da. Neredeyse tamam. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Şimdi böyle gözüküyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Devam edebilirim, her kenarı üç eşit parçaya bölebilir ve bunların orta bölümlerine de eşkenar üçgenler çizebilirim. Buraya, buraya,.. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunu sonsuza kadar devam ettirebilirim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Her tekrarlamada, eşkenar üçgenin kenarını üçe bölüyor ve ortadaki kısma yeni bir eşkenar üçgen çiziyorum. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Burada gördüğünüz şekil, Koch Kar Tanesi olarak adlandırılıyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu şekil ilk defa burada resmini gördüğünüz İsveçli matematikçi Niels Fabian Helge von Koch tarafından tanımlanmış. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 02:15. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu, tanımlanan ilk fraktallerden birisi. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu şeklin fraktal olarak kabul edilmesinin sebebi ise, baktığınız her ölçekte neredeyse aynı gözükmesi. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu ölçekte de bakarsanız, üçgenler ve kenarlarında üçgenler görüyorsunuz. Ancak buraya yakınlaşıp baksaydınız, gene eşkenar üçgenler ve kenarlarında başka üçgenler görecektiniz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Tekrar yakınlaştırsaydınız, gene aynı şeyi görecektiniz. Fraktallarda her seviyede, her ölçekte aynı şeyi görüyoruz. Fraktal olarak adlandırılmasının sebebi de bu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu şekli geometri konularımızın arasına alma sebebimiz ise, bu şeklin çevresinin sonsuz olması. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eğer bunu yapmaya devam ederseniz, her kenarı üçe ayırır ve ortaya bir eşkenar üçgen çizerek bunu sürekli devam ettirirseniz, bu şeklin çevresi sonsuz uzunlukta olur. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Buradaki kenarlardan birisini ele alarak bu durumu düşünelim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Diyelim ki bu, eşkenar üçgenimizin kenarlarından birisi olsun. Bunu S olarak adlandıralım. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu kenarı eşit parçaya ayırıyoruz, yani bu parçaların her birisi S/3 uzunlukta olacak. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 S/3, S/3 ve S/3. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Ortadaki bölümde, yeni bir eşkenar üçgen yapıyoruz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu yeni üçgenin her kenarının uzunluğu S/3 olacak. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Şimdi bu yeni kısmın uzunluğu, bu bölüm eklendikten sonra, S/3 çarpı 4 oldu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eskiden S/3 çarpı 3'tü, şimdi 1,2,3,4 tane S/3 uzunluğunda parça var. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bir kere üçgen ekledikten sonra, yeni kenarımızın uzunluğu 4 çarpı S/3 oldu, yani 4/3 S oldu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eğer başlangıçtaki çevre P0 ise, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 P1'deki çevre başlangıçtaki çevrenin 4/3 katı oldu, yani 4/3 P0 oldu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Eşkenar üçgende üç kenar var,bu kenarların her birisi 4/3 büyüdü, üçgenin toplam çevresi de 4/3 büyümüş oldu. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 İkinci kez bu işlemi tekrarlarsak, kenar uzunluğu ilk tura göre gene 4/3 oranında artacak. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 P2 eşittir 4/3 çarpı P1 yazabiliriz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 İşlemi her tekrarladığımızda, çevre bir öncekine göre 4/3 oranında yükseliyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunu sonsuz sayıda tekrarlarsak, çevre de sonsuz uzaklığa ulaşır. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Yani P sonsuz eşittir sonsuz olur. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Sonsuz çevreye sahip olan bir şekil üzerinde düşünmek gerçekten ilginç. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Ancak daha da ilginç olan, bu şeklin alanının sınırlı olması. Sınırsız alana sahip değil, belirli bir alana sahip. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunun etrafına bir şekil çizebiliriz, ve bunun ötesine uzanamaz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu konuyu sadece düşünelim, burada ciddi bir ispat yapmaya girişmeyeceğim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu kenarlardan herhangi birisinde neler olduğunu düşünelim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 İlk turda bu üçgen oluştu, daha sonra bu iki üçgen oluştu, daha sonra buraya buraya ve diğer yerlere üçgenler çizdik. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 06:00 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Dikkat edin, istediğiniz sayıda üçgen ekleyebilirsiniz ancak başlangıçtaki bu noktanın ötesine geçmiyorsunuz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Aynı şey bu kenar, bu kenar, bu kenar ve diğer tüm kenarlar için de geçerli. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Üçgen yapmayı sonsuz sayıda tekrarlayabiliriz, ancak oluşacak şeklin alanı bu altıgenin şeklinden daha büyük olamaz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Veya bu şekilden daha büyük bir alana sahip olamaz, altıgenin dışına da rastgele bir şekil çizeyim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Koch kar tanesinin dışına çizdiğim altıgenin, veya bu daireye benzer şeklin sınırlı bir alanı var. Kar tanesi de bu alanla sınırlı. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Burada ilginç bulduğum birkaç tane şey var. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunlardan birisi, şeklin fraktal olması. Hangi seviyede bakarsak bakalım, neredeyse aynı gözüküyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Yakınlaşsak da aynı gözüküyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Diğer ilginç şeyler ise, çevresinin sınırsız , alanının ise sınırlı olması. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunun çok soyut bir şey olduğunu ve bunun gibi şeylerin gerçek dünyada bulunmadığını söyleyebilirsiniz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Fraktaller üstünde çalışan kişilerin yaptığı eğlenceli bir düşünsel deney var: İngiltere'nin çevresini veya herhangi bir adanın çevresini hesaplamak. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 İngiltere'nin şekli buna benziyor diyelim. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Adanın çevresini yaklaşık olarak hesaplamak için bu uzaklığı, bu uzaklığı, bu uzaklığı ve bu uzaklığı ölçebilirsiniz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Adanın belirli bir alanı var, belirli bir çevresi var. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Belirli çevre mi, bundan daha iyi bir hesaplama yapabilir miyiz? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bu kadar büyük çizgiler çizmek yerine, kıyılarla uyumlu daha küçük çizgiler çizebiliriz, böylece adanın gerçek çevresine daha yakın bir sonuca ulaşmış oluruz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Diyelim ki sahilin buradaki bölgesine iyice yakınlaşarak bakalım. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Baktığımızda gerçek görüntü bu olsun, pek çok küçük girinti ve çıkıntı var. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Biz bunu yaptığımızda, sadece buradaki uzunluğu ölçmüş olduk, buradaki girinti ve çıkıntıları dikkate almamış olduk. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Sahilin çevresinin uzunluğu bu değil. Gerçek uzunluğa daha da yakın bir değer bulmak için aslında böyle birşey yapmamız gerekiyor. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunun iyi bir ölçüm olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak daha da yaklaşarak baktığınızda aslında burada da pek çok küçük girinti/çıkıntı olduğunu görebilirsiniz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Bunu atom seviyesine kadar devam ettirebilirsiniz. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Kıtaların veya adaların çevresini düşünürseniz, aslında çevre uzunluğu açısından fraktallara benziyorlar: Çevreleri neredeyse sonsuz.