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코흐 곡선 프랙털

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    이 도형이 정삼각형이라 해 봅시다
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    이 정삼각형을 바탕으로
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    새로운 도형을 만들어 보려고 합니다
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    어떻게 할 것이냐면, 정삼각형의 각각의 변을
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    똑같은 길이의 세 부분으로 나누어 볼 거에요
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    제가 그린 도형이 완전히 똑바른 정삼각형은 아니지만
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    제 말의 요점을 아셨으리라 생각해요
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    삼등분한 선분 중 가운데 선분에는
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    다른 정삼각형을 그리겠습니다
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    여기 있는 중간 부분에
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    다른 정삼각형을 그릴 거에요
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    그러면 이런 모양이 될 거에요
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    그리고 이 선분 위에도
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    다른 정삼각형을 그려 볼게요
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    원래의 정삼각형이
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    다윗의 별처럼 생긴 도형으로 변했어요
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    이 과정을 반복할 거에요
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    각각의 변을 모두 삼등분하고
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    중간의 선분에는 정삼각형을 그립니다
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    정삼각형을 그릴게요
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    삼각형의 모든 변에 이 과정을 반복할 거에요
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    이쪽도, 저쪽도 해 볼게요
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    여러분이 이미 알아차렸으리라
    생각하지만 명확히 하기 위해서
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    이렇게 그려 보겠습니다
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    이 단계가 거의 끝나가고 있어요
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    그럼 도형이 이렇게 보일 거에요
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    더 그려 볼 수도 있어요
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    각각의 선분을 삼등분해서
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    다른 정삼각형들을 그리는 겁니다
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    이렇게요
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    무엇을 하고 있는지 아시겠죠?
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    이렇게 무한 반복할 수도 있겠네요
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    이 동영상을 통해 해 보려는 것은
    이 도형에서 과연
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    무슨 일이 일어나고 있는지
    생각해 보는 것입니다
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    사실 제가 그린 도형은
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    삼각형을 그리는 과정을 무한 반복한다면
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    반복할 때마다 각각의 변을
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    삼등분하는 것이죠
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    다음번에도 삼등분을 할 것이고
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    그리고 그 다음에는
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    중간의 선분을 정삼각형으로 바꾸는 거에요
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    이렇게 그리는 도형을 우리는
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    코흐의 눈송이라고 부릅니다
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    제가 말한 것이 정확한 발음인지는 모르겠네요
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    코흐의 눈송이는
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    스웨덴의 수학자였던
    니엘 파비앙 헬리에 본 코흐에 의해
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    처음으로 알려지게 되었습니다
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    확실히 제가 잘못 발음한 것 같군요
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    가장 먼저 나온 프랙털 중 하나이죠
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    이 눈송이는 프랙털인데
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    프랙털이라고 말하는 이유는
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    얼마나 확대 또는 축소해서 보느냐와는 상관없이
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    항상 똑같아 보이기 때문입니다
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    이 상태로 보게 되면
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    돌기가 난 삼각형 여러 개로 보입니다
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    그러나 이렇게 확대를 해 보면
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    처음과 같은 모양임을 볼 수 있죠
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    다시 한번 확대했을때
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    똑같은 모양이 또 보이게 될 거에요
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    프랙털은 이렇게 어떻게 보는지
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    얼마나 확대해서 보는지 같아 보이는
    무늬를 말합니다
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    프랙털이라고 불리는 이유이기도 하죠
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    여기서 재미있는 것은,
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    왜 기하학을 공부하다가
    갑자기 이런 걸 배우냐는 거에요
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    사실 이 도형은 무한인 둘레를 가지고 있죠
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    계속 삼각형을 그려나가다 보면,
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    코흐의 눈송이를 만들려고
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    계속해서 작은 삼각형들에
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    삼각형을 그리다 보면
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    또 다른 정삼각형들을 그리게 되는 것이죠
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    이 도형이 무한인 둘레를 가지고 있다는
    것은 보여 드리기 위해서
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    이 변을 보도록 할게요
  • 3:13 - 3:16
    이 변에서
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    처음의 삼각형에서
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    이 변이라고 생각해 볼게요
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    길이가 5라고 해 봅시다
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    변을 삼등분하게 되면
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    선분의 길이는 각각
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    S/3, S/3, S/3이 될 것입니다
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    가운데 선분에는 또 다른 정삼각형을 그릴 것이고요
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    각각의 변의 길이는 모두 S/3이 될 거에요
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    S/3, S/3, S/3 이렇게요
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    돌기가 하나 생겼기 때문에
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    이제 선분이라고는 부를 수 없는
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    새로 생긴 이 부분의 길이는
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    전처럼 S가 아닐 거에요
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    이제 S/3 X 4이죠
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    전에는 S/3 X 3이었지만
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    이제는 같은 길이의 S/3인 선분이 4개이니까요
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    다음 단계는
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    삼각형들을 추가한 뒤에는
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    삼각형이 추가된 새로운 부분의 길이는
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    S/3 X 4이므로 4/3S가 될 거에요
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    원래의 둘레가 P0이었다면
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    한 세트의 삼각형 돌기들이 생긴 뒤
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    바뀐 둘레는
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    4/3 곱하기 원래의 둘레일 거에요
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    왜냐하면 각각의 변의 길이가
    4/3만큼 커지기 때문이죠
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    3개 의 변에 모두 적용시켰을 때
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    각각의 변들은 4/3씩 커졌으니까
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    새로운 둘레는 4/3만큼 커지게 될 거에요
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    2번째로 반복해 볼게요
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    첫 번째 그린 것의 4/3만큼일 거에요
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    한번씩 반복할 때마다 4/3씩 커지게 되겠죠
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    전에 한 P의 4/3이 될 거에요
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    이 과정을 무한 반복할때
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    어떠한 수에 4/3을 무수히 많이 곱한다면,
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    무한인 수를 얻을 수 있지요
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    무한인 P는
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    무한 반복한 둘레의 길이는 무한인 수일 것입니다
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    무한인 둘레를 가진 무언가라니
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    매우 흥미롭지요
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    그러나 더 신기한 것은 사실 이 도형은
    유한인 넓이를 가지고 있다는 거에요
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    유한인 넓이를 갖는다는 것은
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    일정한 면적만큼을 차지한다는 것이죠
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    이걸 둘러싼 도형을 그린다면
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    그 도형 이상으로 커지지는 않을 것이니까요
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    증명을 할 것이지만 항상 하는 방법대로 하지 않고
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    한 변에서 어떤 일이 일어나는지 볼 거에요
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    P1에서는 이 삼각형이 생기게 되죠
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    그려 보면......
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    다음 번에는 두 개의 삼각형을 그릴 것이고요
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    여기에도 삼각형 두 개를 더 그릴 거에요
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    이렇게 삼각형을 그리고
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    계속해서 그리게 된다면
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    삼각형을 계속 추가하게 되면
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    무수히 많은 삼각형을 그리게 될 것입니다
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    그러나 이 이상을 넘어가진 않을 거에요
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    이 변에서도 똑같을 거에요
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    이 변에서도요
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    이 변에서도
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    이 변에서도
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    이 변에서도 똑같을 거에요
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    아무리 무수히 많은 삼각형을 그린다고 해도
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    코흐의 눈송이는
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    삼각형을 둘러싸는 육각형보다 큰
    넓이를 갖지는 못할 거에요
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    또는 그렇게 생긴 도형이 넓이보다
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    더 큰 넓이를 갖지 못하거나요
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    임의의 도형을 그리고 있어요
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    육각형의 바깥에 그리고 싶다면
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    원을 그릴 수도 있고요
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    파란색으로 그린 도형과 분홍색으로 그린 육각형은
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    정해진 넓이가 있지요
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    그러므로 코흐의 눈송이는 언제나
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    아무리 삼각형을 추가한다 하더라도
    그 이상으로 커지지는 않게 되는 것이죠
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    몇 가지 사항들을 정리해 볼게요
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    첫쨰, 이 도형은 프랙털이고
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    어떻게 확대하든지 똑같아 보일 거에요
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    둘째, 둘레는 무한이고 넓이는 유한이에요
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    이제 여러분께서는
    "음, 그거 참 추상적인 도형이네
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    이딴 건 세상에 존재하지 않을 텐데"
    라고 하실 지도 모르겠네요
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    프랙털의 세계에서 흔히 거론되는
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    한 실험이 있었는데
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    영국의 둘레를 구하거나
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    섬의 둘레를 구할 수 있느냐에 대한 것이었어요
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    이 분야에서 전문가는 아니지만
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    영국은 이렇게 생겼죠
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    영국 땅이 이렇게 생겼다고 생각해 보세요
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    처음에는 그냥 대략적으로
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    이 길이를 구할 수 있겠지요
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    이 길이 더하기 이 길이를 구할 수 있겠고
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    이 길이들을 모두 합쳤을 거에요
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    보세요
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    유한인 둘레를 갖고
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    유한인 넓이를 갖는 것처럼 보이지만
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    여러분은 말할 거에요
    "그렇게 하는 것은 좋은 방법이 아니지,
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    그것보다 더 정확하게 구해야지" 라고요
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    이렇게 대략적으로 하는 대신에
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    더 짧은 선들을 그어서
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    해안선과 더 가까워질 수 있도록 해야 합니다
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    여러분은 "좋아, 조금 더 정확한 측정이야."
    라고 말할 거에요
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    그러나 더 확대시켜 본다면
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    더욱더 가까이 확대시켜 본다면
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    해안선은 이렇게 생겼을 거에요
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    이렇게 작은 돌기들이 있겠죠
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    처음으로 했을 때는
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    그저 이런 선의 길이를 재는 것이었으나
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    여러분은 "그건 해안선의 정확한 둘레가 아니잖아"
    라고 할 것이고요
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    더 많은 선들로 둘러싸야 할 거에요
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    이렇게 해서
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    정확한 해안선의 둘레를 알아야 할 거에요
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    그럼 여러분께서 "좀 더 정확한 둘레가 되겠구나"
    라고 하시겠죠
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    그러나 해안선을 좀 더 확대시켜 본다면
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    또 우리가 했던 것이 정확한 측정은
    아니었음이 드러나겠죠
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    이렇게 들쭉날쭉할 거에요
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    혹은 이렇게요
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    이런 대략적인 선분을 그려 측정하는 것보다는
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    여러분께서는
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    조금 더 확대시켜 더 가까이
    둘러싸야겠다고 생각하실 거에요
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    그리고 이렇게 계속 확대시키고 선분을 그리다 보면
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    원자 단위의 단계까지 도달하게 될 거에요
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    그러므로 사실 어떤 섬 또는
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    대륙의 해안선은, 프랙털 같은 개념입니다
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    그리고 그것을 다르게 생각해 보면
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    거의 무한한 둘레를 가졌다고 할 수 있습니다
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    어떤 정도에 다다르게 되면
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    원자 단위가 될 것인데
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    그것을 '프랙털이다'라고는 말할 수 없지만
  • 9:07 - 9:09
    프랙털 같은 현상입니다
  • 9:09 - 9:10
    생각해 보면 매우 흥미로운 문제이지요
Title:
코흐 곡선 프랙털
Description:
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Video Language:
English
Duration:
09:11

Korean subtitles

Incomplete

Revisions

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