WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.090
이 도형이 정삼각형이라 해 봅시다

00:00:03.090 --> 00:00:05.050
이 정삼각형을 바탕으로

00:00:05.050 --> 00:00:06.540
새로운 도형을 만들어 보려고 합니다

00:00:06.540 --> 00:00:08.980
어떻게 할 것이냐면, 정삼각형의 각각의 변을

00:00:09.000 --> 00:00:14.540
똑같은 길이의 세 부분으로 나누어 볼 거에요

00:00:14.540 --> 00:00:18.790
제가 그린 도형이 완전히 똑바른 정삼각형은 아니지만

00:00:18.790 --> 00:00:20.110
제 말의 요점을 아셨으리라 생각해요

00:00:20.110 --> 00:00:21.430
삼등분한 선분 중 가운데 선분에는

00:00:21.450 --> 00:00:23.290
다른 정삼각형을 그리겠습니다

00:00:23.290 --> 00:00:25.510
여기 있는 중간 부분에

00:00:25.540 --> 00:00:28.640
다른 정삼각형을 그릴 거에요

00:00:28.640 --> 00:00:31.550
그러면 이런 모양이 될 거에요

00:00:31.550 --> 00:00:33.860
그리고 이 선분 위에도

00:00:33.860 --> 00:00:37.130
다른 정삼각형을 그려 볼게요

00:00:37.130 --> 00:00:40.320
원래의 정삼각형이

00:00:40.340 --> 00:00:43.320
다윗의 별처럼 생긴 도형으로 변했어요

00:00:43.370 --> 00:00:45.420
이 과정을 반복할 거에요

00:00:45.420 --> 00:00:48.390
각각의 변을 모두 삼등분하고

00:00:48.390 --> 00:00:51.490
중간의 선분에는 정삼각형을 그립니다

00:00:51.490 --> 00:00:54.150
정삼각형을 그릴게요

00:00:54.150 --> 00:00:59.280


00:00:59.280 --> 00:01:01.660
삼각형의 모든 변에 이 과정을 반복할 거에요

00:01:01.660 --> 00:01:04.560
이쪽도, 저쪽도 해 볼게요

00:01:04.560 --> 00:01:10.860
여러분이 이미 알아차렸으리라 
생각하지만 명확히 하기 위해서

00:01:10.860 --> 00:01:16.270
이렇게 그려 보겠습니다

00:01:16.270 --> 00:01:20.850
이 단계가 거의 끝나가고 있어요

00:01:20.850 --> 00:01:22.950
그럼 도형이 이렇게 보일 거에요

00:01:22.990 --> 00:01:24.210
더 그려 볼 수도 있어요

00:01:24.210 --> 00:01:27.020
각각의 선분을 삼등분해서

00:01:27.020 --> 00:01:28.340
다른 정삼각형들을 그리는 겁니다

00:01:28.340 --> 00:01:32.210
이렇게요

00:01:32.210 --> 00:01:33.270
무엇을 하고 있는지 아시겠죠?

00:01:33.270 --> 00:01:37.020
이렇게 무한 반복할 수도 있겠네요

00:01:37.020 --> 00:01:39.710
이 동영상을 통해 해 보려는 것은
이 도형에서 과연

00:01:39.710 --> 00:01:40.860
무슨 일이 일어나고 있는지
생각해 보는 것입니다

00:01:40.860 --> 00:01:42.490
사실 제가 그린 도형은

00:01:42.490 --> 00:01:45.090
삼각형을 그리는 과정을 무한 반복한다면

00:01:45.090 --> 00:01:48.100
반복할 때마다 각각의 변을

00:01:48.130 --> 00:01:49.520
삼등분하는 것이죠

00:01:49.520 --> 00:01:52.460
다음번에도 삼등분을 할 것이고

00:01:52.460 --> 00:01:53.320
그리고 그 다음에는

00:01:53.320 --> 00:01:55.480
중간의 선분을 정삼각형으로 바꾸는 거에요

00:01:55.480 --> 00:01:58.240
이렇게 그리는 도형을 우리는

00:01:58.240 --> 00:02:00.200
코흐의 눈송이라고 부릅니다

00:02:00.200 --> 00:02:02.890
제가 말한 것이 정확한 발음인지는 모르겠네요

00:02:02.890 --> 00:02:05.180
코흐의 눈송이는

00:02:05.230 --> 00:02:07.810
스웨덴의 수학자였던
니엘 파비앙 헬리에 본 코흐에 의해

00:02:07.810 --> 00:02:12.490
처음으로 알려지게 되었습니다

00:02:12.490 --> 00:02:14.640
확실히 제가 잘못 발음한 것 같군요

00:02:14.670 --> 00:02:17.250
가장 먼저 나온 프랙털 중 하나이죠

00:02:17.270 --> 00:02:19.850
이 눈송이는 프랙털인데

00:02:19.850 --> 00:02:22.000
프랙털이라고 말하는 이유는

00:02:22.000 --> 00:02:23.790
얼마나 확대 또는 축소해서 보느냐와는 상관없이

00:02:23.810 --> 00:02:26.340
항상 똑같아 보이기 때문입니다

00:02:26.340 --> 00:02:29.890
이 상태로 보게 되면

00:02:29.910 --> 00:02:32.410
돌기가 난 삼각형 여러 개로 보입니다

00:02:32.410 --> 00:02:34.890
그러나 이렇게 확대를 해 보면

00:02:34.910 --> 00:02:37.860
처음과 같은 모양임을 볼 수 있죠

00:02:37.860 --> 00:02:39.840
다시 한번 확대했을때

00:02:39.860 --> 00:02:41.520
똑같은 모양이 또 보이게 될 거에요

00:02:41.580 --> 00:02:43.470
프랙털은 이렇게 어떻게 보는지

00:02:43.470 --> 00:02:46.810
얼마나 확대해서 보는지 같아 보이는
무늬를 말합니다

00:02:46.810 --> 00:02:48.700
프랙털이라고 불리는 이유이기도 하죠

00:02:48.720 --> 00:02:50.150
여기서 재미있는 것은,

00:02:50.200 --> 00:02:53.530
왜 기하학을 공부하다가
갑자기 이런 걸 배우냐는 거에요

00:02:53.530 --> 00:02:56.790
사실 이 도형은 무한인 둘레를 가지고 있죠

00:02:56.790 --> 00:02:58.330
계속 삼각형을 그려나가다 보면,

00:02:58.370 --> 00:02:59.900
코흐의 눈송이를 만들려고

00:02:59.900 --> 00:03:03.260
계속해서 작은 삼각형들에

00:03:03.280 --> 00:03:05.240
삼각형을 그리다 보면

00:03:05.280 --> 00:03:09.910
또 다른 정삼각형들을 그리게 되는 것이죠

00:03:09.930 --> 00:03:11.680
이 도형이 무한인 둘레를 가지고 있다는
것은 보여 드리기 위해서

00:03:11.680 --> 00:03:13.440
이 변을 보도록 할게요

00:03:13.440 --> 00:03:16.000
이 변에서

00:03:16.000 --> 00:03:18.550
처음의 삼각형에서

00:03:18.550 --> 00:03:20.050
이 변이라고 생각해 볼게요

00:03:20.080 --> 00:03:21.480
길이가 5라고 해 봅시다

00:03:21.520 --> 00:03:23.930
변을 삼등분하게 되면

00:03:23.960 --> 00:03:26.290


00:03:26.310 --> 00:03:30.810
선분의 길이는 각각

00:03:30.810 --> 00:03:35.940
S/3, S/3, S/3이 될 것입니다

00:03:35.940 --> 00:03:38.820
가운데 선분에는 또 다른 정삼각형을 그릴 것이고요

00:03:38.820 --> 00:03:41.910


00:03:41.910 --> 00:03:44.090
각각의 변의 길이는 모두 S/3이 될 거에요

00:03:44.090 --> 00:03:47.000
S/3, S/3, S/3 이렇게요

00:03:47.000 --> 00:03:50.700
돌기가 하나 생겼기 때문에

00:03:50.700 --> 00:03:53.270
이제 선분이라고는 부를 수 없는

00:03:53.290 --> 00:03:56.880
새로 생긴 이 부분의 길이는

00:03:56.880 --> 00:03:59.110
전처럼 S가 아닐 거에요

00:03:59.150 --> 00:04:01.620
이제 S/3 X 4이죠

00:04:01.620 --> 00:04:03.360
전에는 S/3 X 3이었지만

00:04:03.360 --> 00:04:07.550
이제는 같은 길이의 S/3인 선분이 4개이니까요

00:04:07.550 --> 00:04:10.500
다음 단계는

00:04:10.500 --> 00:04:14.930
삼각형들을 추가한 뒤에는

00:04:14.930 --> 00:04:16.300
삼각형이 추가된 새로운 부분의 길이는

00:04:16.340 --> 00:04:23.560
S/3 X 4이므로 4/3S가 될 거에요

00:04:23.560 --> 00:04:30.950
원래의 둘레가 P0이었다면

00:04:30.950 --> 00:04:34.230
한 세트의 삼각형 돌기들이 생긴 뒤

00:04:34.230 --> 00:04:35.670
바뀐 둘레는

00:04:35.710 --> 00:04:39.880
4/3 곱하기 원래의 둘레일 거에요

00:04:39.880 --> 00:04:42.660
왜냐하면 각각의 변의 길이가 
4/3만큼 커지기 때문이죠

00:04:42.660 --> 00:04:44.270
3개 의 변에 모두 적용시켰을 때

00:04:44.290 --> 00:04:46.690
각각의 변들은 4/3씩 커졌으니까

00:04:46.690 --> 00:04:48.950
새로운 둘레는 4/3만큼 커지게 될 거에요

00:04:48.950 --> 00:04:51.980
2번째로 반복해 볼게요

00:04:51.980 --> 00:04:54.470
첫 번째 그린 것의 4/3만큼일 거에요

00:04:54.470 --> 00:04:57.740
한번씩 반복할 때마다 4/3씩 커지게 되겠죠

00:04:57.790 --> 00:05:00.190


00:05:00.190 --> 00:05:03.550
전에 한 P의 4/3이 될 거에요

00:05:03.610 --> 00:05:05.590
이 과정을 무한 반복할때

00:05:05.590 --> 00:05:10.740
어떠한 수에 4/3을 무수히 많이 곱한다면,

00:05:10.740 --> 00:05:13.760
무한인 수를 얻을 수 있지요

00:05:13.760 --> 00:05:16.340
무한인 P는

00:05:16.360 --> 00:05:19.910
무한 반복한 둘레의 길이는 무한인 수일 것입니다

00:05:19.940 --> 00:05:22.140
무한인 둘레를 가진 무언가라니

00:05:22.190 --> 00:05:24.300
매우 흥미롭지요

00:05:24.300 --> 00:05:28.260
그러나 더 신기한 것은 사실 이 도형은
유한인 넓이를 가지고 있다는 거에요

00:05:28.260 --> 00:05:30.120
유한인 넓이를 갖는다는 것은

00:05:30.120 --> 00:05:32.480
일정한 면적만큼을 차지한다는 것이죠

00:05:32.480 --> 00:05:34.490
이걸 둘러싼 도형을 그린다면

00:05:34.490 --> 00:05:36.340
그 도형 이상으로 커지지는 않을 것이니까요

00:05:36.340 --> 00:05:38.960
증명을 할 것이지만 항상 하는 방법대로 하지 않고

00:05:38.960 --> 00:05:41.600
한 변에서 어떤 일이 일어나는지 볼 거에요

00:05:41.600 --> 00:05:45.550
P1에서는 이 삼각형이 생기게 되죠

00:05:45.550 --> 00:05:49.540
그려 보면......

00:05:49.540 --> 00:05:52.280
다음 번에는 두 개의 삼각형을 그릴 것이고요

00:05:52.310 --> 00:05:53.940
여기에도 삼각형 두 개를 더 그릴 거에요

00:05:53.940 --> 00:05:56.230
이렇게 삼각형을 그리고

00:05:56.260 --> 00:05:59.600
계속해서 그리게 된다면

00:05:59.630 --> 00:06:02.520
삼각형을 계속 추가하게 되면

00:06:02.520 --> 00:06:04.980
무수히 많은 삼각형을 그리게 될 것입니다

00:06:05.020 --> 00:06:07.070
그러나 이 이상을 넘어가진 않을 거에요

00:06:07.070 --> 00:06:11.220
이 변에서도 똑같을 거에요

00:06:11.220 --> 00:06:13.840
이 변에서도요

00:06:13.870 --> 00:06:17.540
이 변에서도

00:06:17.540 --> 00:06:19.550
이 변에서도

00:06:19.550 --> 00:06:22.330
이 변에서도 똑같을 거에요

00:06:22.350 --> 00:06:24.590
아무리 무수히 많은 삼각형을 그린다고 해도

00:06:24.590 --> 00:06:27.120
코흐의 눈송이는

00:06:27.160 --> 00:06:30.130
삼각형을 둘러싸는 육각형보다 큰 
넓이를 갖지는 못할 거에요

00:06:30.130 --> 00:06:32.070
또는 그렇게 생긴 도형이 넓이보다

00:06:32.070 --> 00:06:34.530
더 큰 넓이를 갖지 못하거나요

00:06:34.530 --> 00:06:36.450
임의의 도형을 그리고 있어요

00:06:36.450 --> 00:06:38.200
육각형의 바깥에 그리고 싶다면

00:06:38.200 --> 00:06:39.780
원을 그릴 수도 있고요

00:06:39.780 --> 00:06:44.630
파란색으로 그린 도형과 분홍색으로 그린 육각형은

00:06:44.630 --> 00:06:46.820
정해진 넓이가 있지요

00:06:46.820 --> 00:06:49.480
그러므로 코흐의 눈송이는 언제나

00:06:49.480 --> 00:06:52.450
아무리 삼각형을 추가한다 하더라도
그 이상으로 커지지는 않게 되는 것이죠

00:06:52.450 --> 00:06:55.380
몇 가지 사항들을 정리해 볼게요

00:06:55.420 --> 00:06:56.330
첫쨰, 이 도형은 프랙털이고

00:06:56.330 --> 00:06:58.760
어떻게 확대하든지 똑같아 보일 거에요

00:06:58.780 --> 00:07:04.950
둘째, 둘레는 무한이고 넓이는 유한이에요

00:07:04.950 --> 00:07:07.830
이제 여러분께서는
"음, 그거 참 추상적인 도형이네

00:07:07.830 --> 00:07:10.120
이딴 건 세상에 존재하지 않을 텐데"
라고 하실 지도 모르겠네요

00:07:10.120 --> 00:07:13.240
프랙털의 세계에서 흔히 거론되는

00:07:13.240 --> 00:07:14.820
한 실험이 있었는데

00:07:14.870 --> 00:07:17.770
영국의 둘레를 구하거나

00:07:17.820 --> 00:07:19.200
섬의 둘레를 구할 수 있느냐에 대한 것이었어요

00:07:19.200 --> 00:07:21.170
이 분야에서 전문가는 아니지만

00:07:21.170 --> 00:07:22.730
영국은 이렇게 생겼죠

00:07:22.730 --> 00:07:24.230
영국 땅이 이렇게 생겼다고 생각해 보세요

00:07:24.230 --> 00:07:26.230
처음에는 그냥 대략적으로

00:07:26.230 --> 00:07:27.480
이 길이를 구할 수 있겠지요

00:07:27.550 --> 00:07:32.350
이 길이 더하기 이 길이를 구할 수 있겠고

00:07:32.350 --> 00:07:36.070
이 길이들을 모두 합쳤을 거에요

00:07:36.070 --> 00:07:37.660
보세요

00:07:37.660 --> 00:07:38.590
유한인 둘레를 갖고

00:07:38.620 --> 00:07:40.300
유한인 넓이를 갖는 것처럼 보이지만

00:07:42.340 --> 00:07:43.720
여러분은 말할 거에요
"그렇게 하는 것은 좋은 방법이 아니지,

00:07:43.750 --> 00:07:45.380
그것보다 더 정확하게 구해야지" 라고요

00:07:45.400 --> 00:07:46.960
이렇게 대략적으로 하는 대신에

00:07:46.980 --> 00:07:48.680
더 짧은 선들을 그어서

00:07:48.680 --> 00:07:50.740


00:07:50.770 --> 00:07:52.570
해안선과 더 가까워질 수 있도록 해야 합니다

00:07:52.620 --> 00:07:55.010
여러분은 "좋아, 조금 더 정확한 측정이야."
라고 말할 거에요

00:07:55.010 --> 00:07:58.730
그러나 더 확대시켜 본다면

00:07:58.760 --> 00:08:01.780
더욱더 가까이 확대시켜 본다면

00:08:01.780 --> 00:08:03.980
해안선은 이렇게 생겼을 거에요

00:08:04.020 --> 00:08:08.190
이렇게 작은 돌기들이 있겠죠

00:08:08.260 --> 00:08:11.150
처음으로 했을 때는

00:08:11.150 --> 00:08:13.580
그저 이런 선의 길이를 재는 것이었으나

00:08:13.580 --> 00:08:15.740
여러분은 "그건 해안선의 정확한 둘레가 아니잖아"
라고 할 것이고요

00:08:15.740 --> 00:08:17.620
더 많은 선들로 둘러싸야 할 거에요

00:08:17.650 --> 00:08:18.850
이렇게 해서

00:08:18.900 --> 00:08:25.660
정확한 해안선의 둘레를 알아야 할 거에요

00:08:25.660 --> 00:08:29.150
그럼 여러분께서 "좀 더 정확한 둘레가 되겠구나"
라고 하시겠죠

00:08:29.150 --> 00:08:32.190
그러나 해안선을 좀 더 확대시켜 본다면

00:08:32.190 --> 00:08:35.050
또 우리가 했던 것이 정확한 측정은 
아니었음이 드러나겠죠

00:08:35.050 --> 00:08:37.330
이렇게 들쭉날쭉할 거에요

00:08:37.360 --> 00:08:39.450
혹은 이렇게요

00:08:39.450 --> 00:08:42.810
이런 대략적인 선분을 그려 측정하는 것보다는

00:08:42.890 --> 00:08:43.850
여러분께서는

00:08:43.900 --> 00:08:46.170
조금 더 확대시켜 더 가까이 
둘러싸야겠다고 생각하실 거에요

00:08:46.220 --> 00:08:48.270
그리고 이렇게 계속 확대시키고 선분을 그리다 보면

00:08:48.310 --> 00:08:50.150
원자 단위의 단계까지 도달하게 될 거에요

00:08:50.150 --> 00:08:54.730
그러므로 사실 어떤 섬 또는

00:08:54.770 --> 00:08:58.790
대륙의 해안선은, 프랙털 같은 개념입니다

00:08:58.840 --> 00:09:01.210
그리고 그것을 다르게 생각해 보면

00:09:01.210 --> 00:09:03.130
거의 무한한 둘레를 가졌다고 할 수 있습니다

00:09:03.180 --> 00:09:04.150
어떤 정도에 다다르게 되면

00:09:04.220 --> 00:09:05.480
원자 단위가 될 것인데

00:09:05.520 --> 00:09:06.610
그것을 '프랙털이다'라고는 말할 수 없지만

00:09:06.660 --> 00:09:08.510
프랙털 같은 현상입니다

00:09:08.540 --> 00:09:10.390
생각해 보면 매우 흥미로운 문제이지요