0:00:00.000,0:00:03.090
이 도형이 정삼각형이라 해 봅시다

0:00:03.090,0:00:05.050
이 정삼각형을 바탕으로

0:00:05.050,0:00:06.540
새로운 도형을 만들어 보려고 합니다

0:00:06.540,0:00:08.980
어떻게 할 것이냐면, 정삼각형의 각각의 변을

0:00:09.000,0:00:14.540
똑같은 길이의 세 부분으로 나누어 볼 거에요

0:00:14.540,0:00:18.790
제가 그린 도형이 완전히 똑바른 정삼각형은 아니지만

0:00:18.790,0:00:20.110
제 말의 요점을 아셨으리라 생각해요

0:00:20.110,0:00:21.430
삼등분한 선분 중 가운데 선분에는

0:00:21.450,0:00:23.290
다른 정삼각형을 그리겠습니다

0:00:23.290,0:00:25.510
여기 있는 중간 부분에

0:00:25.540,0:00:28.640
다른 정삼각형을 그릴 거에요

0:00:28.640,0:00:31.550
그러면 이런 모양이 될 거에요

0:00:31.550,0:00:33.860
그리고 이 선분 위에도

0:00:33.860,0:00:37.130
다른 정삼각형을 그려 볼게요

0:00:37.130,0:00:40.320
원래의 정삼각형이

0:00:40.340,0:00:43.320
다윗의 별처럼 생긴 도형으로 변했어요

0:00:43.370,0:00:45.420
이 과정을 반복할 거에요

0:00:45.420,0:00:48.390
각각의 변을 모두 삼등분하고

0:00:48.390,0:00:51.490
중간의 선분에는 정삼각형을 그립니다

0:00:51.490,0:00:54.150
정삼각형을 그릴게요

0:00:54.150,0:00:59.280


0:00:59.280,0:01:01.660
삼각형의 모든 변에 이 과정을 반복할 거에요

0:01:01.660,0:01:04.560
이쪽도, 저쪽도 해 볼게요

0:01:04.560,0:01:10.860
여러분이 이미 알아차렸으리라 [br]생각하지만 명확히 하기 위해서

0:01:10.860,0:01:16.270
이렇게 그려 보겠습니다

0:01:16.270,0:01:20.850
이 단계가 거의 끝나가고 있어요

0:01:20.850,0:01:22.950
그럼 도형이 이렇게 보일 거에요

0:01:22.990,0:01:24.210
더 그려 볼 수도 있어요

0:01:24.210,0:01:27.020
각각의 선분을 삼등분해서

0:01:27.020,0:01:28.340
다른 정삼각형들을 그리는 겁니다

0:01:28.340,0:01:32.210
이렇게요

0:01:32.210,0:01:33.270
무엇을 하고 있는지 아시겠죠?

0:01:33.270,0:01:37.020
이렇게 무한 반복할 수도 있겠네요

0:01:37.020,0:01:39.710
이 동영상을 통해 해 보려는 것은[br]이 도형에서 과연

0:01:39.710,0:01:40.860
무슨 일이 일어나고 있는지[br]생각해 보는 것입니다

0:01:40.860,0:01:42.490
사실 제가 그린 도형은

0:01:42.490,0:01:45.090
삼각형을 그리는 과정을 무한 반복한다면

0:01:45.090,0:01:48.100
반복할 때마다 각각의 변을

0:01:48.130,0:01:49.520
삼등분하는 것이죠

0:01:49.520,0:01:52.460
다음번에도 삼등분을 할 것이고

0:01:52.460,0:01:53.320
그리고 그 다음에는

0:01:53.320,0:01:55.480
중간의 선분을 정삼각형으로 바꾸는 거에요

0:01:55.480,0:01:58.240
이렇게 그리는 도형을 우리는

0:01:58.240,0:02:00.200
코흐의 눈송이라고 부릅니다

0:02:00.200,0:02:02.890
제가 말한 것이 정확한 발음인지는 모르겠네요

0:02:02.890,0:02:05.180
코흐의 눈송이는

0:02:05.230,0:02:07.810
스웨덴의 수학자였던[br]니엘 파비앙 헬리에 본 코흐에 의해

0:02:07.810,0:02:12.490
처음으로 알려지게 되었습니다

0:02:12.490,0:02:14.640
확실히 제가 잘못 발음한 것 같군요

0:02:14.670,0:02:17.250
가장 먼저 나온 프랙털 중 하나이죠

0:02:17.270,0:02:19.850
이 눈송이는 프랙털인데

0:02:19.850,0:02:22.000
프랙털이라고 말하는 이유는

0:02:22.000,0:02:23.790
얼마나 확대 또는 축소해서 보느냐와는 상관없이

0:02:23.810,0:02:26.340
항상 똑같아 보이기 때문입니다

0:02:26.340,0:02:29.890
이 상태로 보게 되면

0:02:29.910,0:02:32.410
돌기가 난 삼각형 여러 개로 보입니다

0:02:32.410,0:02:34.890
그러나 이렇게 확대를 해 보면

0:02:34.910,0:02:37.860
처음과 같은 모양임을 볼 수 있죠

0:02:37.860,0:02:39.840
다시 한번 확대했을때

0:02:39.860,0:02:41.520
똑같은 모양이 또 보이게 될 거에요

0:02:41.580,0:02:43.470
프랙털은 이렇게 어떻게 보는지

0:02:43.470,0:02:46.810
얼마나 확대해서 보는지 같아 보이는[br]무늬를 말합니다

0:02:46.810,0:02:48.700
프랙털이라고 불리는 이유이기도 하죠

0:02:48.720,0:02:50.150
여기서 재미있는 것은,

0:02:50.200,0:02:53.530
왜 기하학을 공부하다가[br]갑자기 이런 걸 배우냐는 거에요

0:02:53.530,0:02:56.790
사실 이 도형은 무한인 둘레를 가지고 있죠

0:02:56.790,0:02:58.330
계속 삼각형을 그려나가다 보면,

0:02:58.370,0:02:59.900
코흐의 눈송이를 만들려고

0:02:59.900,0:03:03.260
계속해서 작은 삼각형들에

0:03:03.280,0:03:05.240
삼각형을 그리다 보면

0:03:05.280,0:03:09.910
또 다른 정삼각형들을 그리게 되는 것이죠

0:03:09.930,0:03:11.680
이 도형이 무한인 둘레를 가지고 있다는[br]것은 보여 드리기 위해서

0:03:11.680,0:03:13.440
이 변을 보도록 할게요

0:03:13.440,0:03:16.000
이 변에서

0:03:16.000,0:03:18.550
처음의 삼각형에서

0:03:18.550,0:03:20.050
이 변이라고 생각해 볼게요

0:03:20.080,0:03:21.480
길이가 5라고 해 봅시다

0:03:21.520,0:03:23.930
변을 삼등분하게 되면

0:03:23.960,0:03:26.290


0:03:26.310,0:03:30.810
선분의 길이는 각각

0:03:30.810,0:03:35.940
S/3, S/3, S/3이 될 것입니다

0:03:35.940,0:03:38.820
가운데 선분에는 또 다른 정삼각형을 그릴 것이고요

0:03:38.820,0:03:41.910


0:03:41.910,0:03:44.090
각각의 변의 길이는 모두 S/3이 될 거에요

0:03:44.090,0:03:47.000
S/3, S/3, S/3 이렇게요

0:03:47.000,0:03:50.700
돌기가 하나 생겼기 때문에

0:03:50.700,0:03:53.270
이제 선분이라고는 부를 수 없는

0:03:53.290,0:03:56.880
새로 생긴 이 부분의 길이는

0:03:56.880,0:03:59.110
전처럼 S가 아닐 거에요

0:03:59.150,0:04:01.620
이제 S/3 X 4이죠

0:04:01.620,0:04:03.360
전에는 S/3 X 3이었지만

0:04:03.360,0:04:07.550
이제는 같은 길이의 S/3인 선분이 4개이니까요

0:04:07.550,0:04:10.500
다음 단계는

0:04:10.500,0:04:14.930
삼각형들을 추가한 뒤에는

0:04:14.930,0:04:16.300
삼각형이 추가된 새로운 부분의 길이는

0:04:16.340,0:04:23.560
S/3 X 4이므로 4/3S가 될 거에요

0:04:23.560,0:04:30.950
원래의 둘레가 P0이었다면

0:04:30.950,0:04:34.230
한 세트의 삼각형 돌기들이 생긴 뒤

0:04:34.230,0:04:35.670
바뀐 둘레는

0:04:35.710,0:04:39.880
4/3 곱하기 원래의 둘레일 거에요

0:04:39.880,0:04:42.660
왜냐하면 각각의 변의 길이가 [br]4/3만큼 커지기 때문이죠

0:04:42.660,0:04:44.270
3개 의 변에 모두 적용시켰을 때

0:04:44.290,0:04:46.690
각각의 변들은 4/3씩 커졌으니까

0:04:46.690,0:04:48.950
새로운 둘레는 4/3만큼 커지게 될 거에요

0:04:48.950,0:04:51.980
2번째로 반복해 볼게요

0:04:51.980,0:04:54.470
첫 번째 그린 것의 4/3만큼일 거에요

0:04:54.470,0:04:57.740
한번씩 반복할 때마다 4/3씩 커지게 되겠죠

0:04:57.790,0:05:00.190


0:05:00.190,0:05:03.550
전에 한 P의 4/3이 될 거에요

0:05:03.610,0:05:05.590
이 과정을 무한 반복할때

0:05:05.590,0:05:10.740
어떠한 수에 4/3을 무수히 많이 곱한다면,

0:05:10.740,0:05:13.760
무한인 수를 얻을 수 있지요

0:05:13.760,0:05:16.340
무한인 P는

0:05:16.360,0:05:19.910
무한 반복한 둘레의 길이는 무한인 수일 것입니다

0:05:19.940,0:05:22.140
무한인 둘레를 가진 무언가라니

0:05:22.190,0:05:24.300
매우 흥미롭지요

0:05:24.300,0:05:28.260
그러나 더 신기한 것은 사실 이 도형은[br]유한인 넓이를 가지고 있다는 거에요

0:05:28.260,0:05:30.120
유한인 넓이를 갖는다는 것은

0:05:30.120,0:05:32.480
일정한 면적만큼을 차지한다는 것이죠

0:05:32.480,0:05:34.490
이걸 둘러싼 도형을 그린다면

0:05:34.490,0:05:36.340
그 도형 이상으로 커지지는 않을 것이니까요

0:05:36.340,0:05:38.960
증명을 할 것이지만 항상 하는 방법대로 하지 않고

0:05:38.960,0:05:41.600
한 변에서 어떤 일이 일어나는지 볼 거에요

0:05:41.600,0:05:45.550
P1에서는 이 삼각형이 생기게 되죠

0:05:45.550,0:05:49.540
그려 보면......

0:05:49.540,0:05:52.280
다음 번에는 두 개의 삼각형을 그릴 것이고요

0:05:52.310,0:05:53.940
여기에도 삼각형 두 개를 더 그릴 거에요

0:05:53.940,0:05:56.230
이렇게 삼각형을 그리고

0:05:56.260,0:05:59.600
계속해서 그리게 된다면

0:05:59.630,0:06:02.520
삼각형을 계속 추가하게 되면

0:06:02.520,0:06:04.980
무수히 많은 삼각형을 그리게 될 것입니다

0:06:05.020,0:06:07.070
그러나 이 이상을 넘어가진 않을 거에요

0:06:07.070,0:06:11.220
이 변에서도 똑같을 거에요

0:06:11.220,0:06:13.840
이 변에서도요

0:06:13.870,0:06:17.540
이 변에서도

0:06:17.540,0:06:19.550
이 변에서도

0:06:19.550,0:06:22.330
이 변에서도 똑같을 거에요

0:06:22.350,0:06:24.590
아무리 무수히 많은 삼각형을 그린다고 해도

0:06:24.590,0:06:27.120
코흐의 눈송이는

0:06:27.160,0:06:30.130
삼각형을 둘러싸는 육각형보다 큰 [br]넓이를 갖지는 못할 거에요

0:06:30.130,0:06:32.070
또는 그렇게 생긴 도형이 넓이보다

0:06:32.070,0:06:34.530
더 큰 넓이를 갖지 못하거나요

0:06:34.530,0:06:36.450
임의의 도형을 그리고 있어요

0:06:36.450,0:06:38.200
육각형의 바깥에 그리고 싶다면

0:06:38.200,0:06:39.780
원을 그릴 수도 있고요

0:06:39.780,0:06:44.630
파란색으로 그린 도형과 분홍색으로 그린 육각형은

0:06:44.630,0:06:46.820
정해진 넓이가 있지요

0:06:46.820,0:06:49.480
그러므로 코흐의 눈송이는 언제나

0:06:49.480,0:06:52.450
아무리 삼각형을 추가한다 하더라도[br]그 이상으로 커지지는 않게 되는 것이죠

0:06:52.450,0:06:55.380
몇 가지 사항들을 정리해 볼게요

0:06:55.420,0:06:56.330
첫쨰, 이 도형은 프랙털이고

0:06:56.330,0:06:58.760
어떻게 확대하든지 똑같아 보일 거에요

0:06:58.780,0:07:04.950
둘째, 둘레는 무한이고 넓이는 유한이에요

0:07:04.950,0:07:07.830
이제 여러분께서는[br]"음, 그거 참 추상적인 도형이네

0:07:07.830,0:07:10.120
이딴 건 세상에 존재하지 않을 텐데"[br]라고 하실 지도 모르겠네요

0:07:10.120,0:07:13.240
프랙털의 세계에서 흔히 거론되는

0:07:13.240,0:07:14.820
한 실험이 있었는데

0:07:14.870,0:07:17.770
영국의 둘레를 구하거나

0:07:17.820,0:07:19.200
섬의 둘레를 구할 수 있느냐에 대한 것이었어요

0:07:19.200,0:07:21.170
이 분야에서 전문가는 아니지만

0:07:21.170,0:07:22.730
영국은 이렇게 생겼죠

0:07:22.730,0:07:24.230
영국 땅이 이렇게 생겼다고 생각해 보세요

0:07:24.230,0:07:26.230
처음에는 그냥 대략적으로

0:07:26.230,0:07:27.480
이 길이를 구할 수 있겠지요

0:07:27.550,0:07:32.350
이 길이 더하기 이 길이를 구할 수 있겠고

0:07:32.350,0:07:36.070
이 길이들을 모두 합쳤을 거에요

0:07:36.070,0:07:37.660
보세요

0:07:37.660,0:07:38.590
유한인 둘레를 갖고

0:07:38.620,0:07:40.300
유한인 넓이를 갖는 것처럼 보이지만

0:07:42.340,0:07:43.720
여러분은 말할 거에요[br]"그렇게 하는 것은 좋은 방법이 아니지,

0:07:43.750,0:07:45.380
그것보다 더 정확하게 구해야지" 라고요

0:07:45.400,0:07:46.960
이렇게 대략적으로 하는 대신에

0:07:46.980,0:07:48.680
더 짧은 선들을 그어서

0:07:48.680,0:07:50.740


0:07:50.770,0:07:52.570
해안선과 더 가까워질 수 있도록 해야 합니다

0:07:52.620,0:07:55.010
여러분은 "좋아, 조금 더 정확한 측정이야."[br]라고 말할 거에요

0:07:55.010,0:07:58.730
그러나 더 확대시켜 본다면

0:07:58.760,0:08:01.780
더욱더 가까이 확대시켜 본다면

0:08:01.780,0:08:03.980
해안선은 이렇게 생겼을 거에요

0:08:04.020,0:08:08.190
이렇게 작은 돌기들이 있겠죠

0:08:08.260,0:08:11.150
처음으로 했을 때는

0:08:11.150,0:08:13.580
그저 이런 선의 길이를 재는 것이었으나

0:08:13.580,0:08:15.740
여러분은 "그건 해안선의 정확한 둘레가 아니잖아"[br]라고 할 것이고요

0:08:15.740,0:08:17.620
더 많은 선들로 둘러싸야 할 거에요

0:08:17.650,0:08:18.850
이렇게 해서

0:08:18.900,0:08:25.660
정확한 해안선의 둘레를 알아야 할 거에요

0:08:25.660,0:08:29.150
그럼 여러분께서 "좀 더 정확한 둘레가 되겠구나"[br]라고 하시겠죠

0:08:29.150,0:08:32.190
그러나 해안선을 좀 더 확대시켜 본다면

0:08:32.190,0:08:35.050
또 우리가 했던 것이 정확한 측정은 [br]아니었음이 드러나겠죠

0:08:35.050,0:08:37.330
이렇게 들쭉날쭉할 거에요

0:08:37.360,0:08:39.450
혹은 이렇게요

0:08:39.450,0:08:42.810
이런 대략적인 선분을 그려 측정하는 것보다는

0:08:42.890,0:08:43.850
여러분께서는

0:08:43.900,0:08:46.170
조금 더 확대시켜 더 가까이 [br]둘러싸야겠다고 생각하실 거에요

0:08:46.220,0:08:48.270
그리고 이렇게 계속 확대시키고 선분을 그리다 보면

0:08:48.310,0:08:50.150
원자 단위의 단계까지 도달하게 될 거에요

0:08:50.150,0:08:54.730
그러므로 사실 어떤 섬 또는

0:08:54.770,0:08:58.790
대륙의 해안선은, 프랙털 같은 개념입니다

0:08:58.840,0:09:01.210
그리고 그것을 다르게 생각해 보면

0:09:01.210,0:09:03.130
거의 무한한 둘레를 가졌다고 할 수 있습니다

0:09:03.180,0:09:04.150
어떤 정도에 다다르게 되면

0:09:04.220,0:09:05.480
원자 단위가 될 것인데

0:09:05.520,0:09:06.610
그것을 '프랙털이다'라고는 말할 수 없지만

0:09:06.660,0:09:08.510
프랙털 같은 현상입니다

0:09:08.540,0:09:10.390
생각해 보면 매우 흥미로운 문제이지요