1
00:00:00,000 --> 00:00:03,090
이 도형이 정삼각형이라 해 봅시다

2
00:00:03,090 --> 00:00:05,050
이 정삼각형을 바탕으로

3
00:00:05,050 --> 00:00:06,540
새로운 도형을 만들어 보려고 합니다

4
00:00:06,540 --> 00:00:08,980
어떻게 할 것이냐면, 정삼각형의 각각의 변을

5
00:00:09,000 --> 00:00:14,540
똑같은 길이의 세 부분으로 나누어 볼 거에요

6
00:00:14,540 --> 00:00:18,790
제가 그린 도형이 완전히 똑바른 정삼각형은 아니지만

7
00:00:18,790 --> 00:00:20,110
제 말의 요점을 아셨으리라 생각해요

8
00:00:20,110 --> 00:00:21,430
삼등분한 선분 중 가운데 선분에는

9
00:00:21,450 --> 00:00:23,290
다른 정삼각형을 그리겠습니다

10
00:00:23,290 --> 00:00:25,510
여기 있는 중간 부분에

11
00:00:25,540 --> 00:00:28,640
다른 정삼각형을 그릴 거에요

12
00:00:28,640 --> 00:00:31,550
그러면 이런 모양이 될 거에요

13
00:00:31,550 --> 00:00:33,860
그리고 이 선분 위에도

14
00:00:33,860 --> 00:00:37,130
다른 정삼각형을 그려 볼게요

15
00:00:37,130 --> 00:00:40,320
원래의 정삼각형이

16
00:00:40,340 --> 00:00:43,320
다윗의 별처럼 생긴 도형으로 변했어요

17
00:00:43,370 --> 00:00:45,420
이 과정을 반복할 거에요

18
00:00:45,420 --> 00:00:48,390
각각의 변을 모두 삼등분하고

19
00:00:48,390 --> 00:00:51,490
중간의 선분에는 정삼각형을 그립니다

20
00:00:51,490 --> 00:00:54,150
정삼각형을 그릴게요

21
00:00:54,150 --> 00:00:59,280


22
00:00:59,280 --> 00:01:01,660
삼각형의 모든 변에 이 과정을 반복할 거에요

23
00:01:01,660 --> 00:01:04,560
이쪽도, 저쪽도 해 볼게요

24
00:01:04,560 --> 00:01:10,860
여러분이 이미 알아차렸으리라 
생각하지만 명확히 하기 위해서

25
00:01:10,860 --> 00:01:16,270
이렇게 그려 보겠습니다

26
00:01:16,270 --> 00:01:20,850
이 단계가 거의 끝나가고 있어요

27
00:01:20,850 --> 00:01:22,950
그럼 도형이 이렇게 보일 거에요

28
00:01:22,990 --> 00:01:24,210
더 그려 볼 수도 있어요

29
00:01:24,210 --> 00:01:27,020
각각의 선분을 삼등분해서

30
00:01:27,020 --> 00:01:28,340
다른 정삼각형들을 그리는 겁니다

31
00:01:28,340 --> 00:01:32,210
이렇게요

32
00:01:32,210 --> 00:01:33,270
무엇을 하고 있는지 아시겠죠?

33
00:01:33,270 --> 00:01:37,020
이렇게 무한 반복할 수도 있겠네요

34
00:01:37,020 --> 00:01:39,710
이 동영상을 통해 해 보려는 것은
이 도형에서 과연

35
00:01:39,710 --> 00:01:40,860
무슨 일이 일어나고 있는지
생각해 보는 것입니다

36
00:01:40,860 --> 00:01:42,490
사실 제가 그린 도형은

37
00:01:42,490 --> 00:01:45,090
삼각형을 그리는 과정을 무한 반복한다면

38
00:01:45,090 --> 00:01:48,100
반복할 때마다 각각의 변을

39
00:01:48,130 --> 00:01:49,520
삼등분하는 것이죠

40
00:01:49,520 --> 00:01:52,460
다음번에도 삼등분을 할 것이고

41
00:01:52,460 --> 00:01:53,320
그리고 그 다음에는

42
00:01:53,320 --> 00:01:55,480
중간의 선분을 정삼각형으로 바꾸는 거에요

43
00:01:55,480 --> 00:01:58,240
이렇게 그리는 도형을 우리는

44
00:01:58,240 --> 00:02:00,200
코흐의 눈송이라고 부릅니다

45
00:02:00,200 --> 00:02:02,890
제가 말한 것이 정확한 발음인지는 모르겠네요

46
00:02:02,890 --> 00:02:05,180
코흐의 눈송이는

47
00:02:05,230 --> 00:02:07,810
스웨덴의 수학자였던
니엘 파비앙 헬리에 본 코흐에 의해

48
00:02:07,810 --> 00:02:12,490
처음으로 알려지게 되었습니다

49
00:02:12,490 --> 00:02:14,640
확실히 제가 잘못 발음한 것 같군요

50
00:02:14,670 --> 00:02:17,250
가장 먼저 나온 프랙털 중 하나이죠

51
00:02:17,270 --> 00:02:19,850
이 눈송이는 프랙털인데

52
00:02:19,850 --> 00:02:22,000
프랙털이라고 말하는 이유는

53
00:02:22,000 --> 00:02:23,790
얼마나 확대 또는 축소해서 보느냐와는 상관없이

54
00:02:23,810 --> 00:02:26,340
항상 똑같아 보이기 때문입니다

55
00:02:26,340 --> 00:02:29,890
이 상태로 보게 되면

56
00:02:29,910 --> 00:02:32,410
돌기가 난 삼각형 여러 개로 보입니다

57
00:02:32,410 --> 00:02:34,890
그러나 이렇게 확대를 해 보면

58
00:02:34,910 --> 00:02:37,860
처음과 같은 모양임을 볼 수 있죠

59
00:02:37,860 --> 00:02:39,840
다시 한번 확대했을때

60
00:02:39,860 --> 00:02:41,520
똑같은 모양이 또 보이게 될 거에요

61
00:02:41,580 --> 00:02:43,470
프랙털은 이렇게 어떻게 보는지

62
00:02:43,470 --> 00:02:46,810
얼마나 확대해서 보는지 같아 보이는
무늬를 말합니다

63
00:02:46,810 --> 00:02:48,700
프랙털이라고 불리는 이유이기도 하죠

64
00:02:48,720 --> 00:02:50,150
여기서 재미있는 것은,

65
00:02:50,200 --> 00:02:53,530
왜 기하학을 공부하다가
갑자기 이런 걸 배우냐는 거에요

66
00:02:53,530 --> 00:02:56,790
사실 이 도형은 무한인 둘레를 가지고 있죠

67
00:02:56,790 --> 00:02:58,330
계속 삼각형을 그려나가다 보면,

68
00:02:58,370 --> 00:02:59,900
코흐의 눈송이를 만들려고

69
00:02:59,900 --> 00:03:03,260
계속해서 작은 삼각형들에

70
00:03:03,280 --> 00:03:05,240
삼각형을 그리다 보면

71
00:03:05,280 --> 00:03:09,910
또 다른 정삼각형들을 그리게 되는 것이죠

72
00:03:09,930 --> 00:03:11,680
이 도형이 무한인 둘레를 가지고 있다는
것은 보여 드리기 위해서

73
00:03:11,680 --> 00:03:13,440
이 변을 보도록 할게요

74
00:03:13,440 --> 00:03:16,000
이 변에서

75
00:03:16,000 --> 00:03:18,550
처음의 삼각형에서

76
00:03:18,550 --> 00:03:20,050
이 변이라고 생각해 볼게요

77
00:03:20,080 --> 00:03:21,480
길이가 5라고 해 봅시다

78
00:03:21,520 --> 00:03:23,930
변을 삼등분하게 되면

79
00:03:23,960 --> 00:03:26,290


80
00:03:26,310 --> 00:03:30,810
선분의 길이는 각각

81
00:03:30,810 --> 00:03:35,940
S/3, S/3, S/3이 될 것입니다

82
00:03:35,940 --> 00:03:38,820
가운데 선분에는 또 다른 정삼각형을 그릴 것이고요

83
00:03:38,820 --> 00:03:41,910


84
00:03:41,910 --> 00:03:44,090
각각의 변의 길이는 모두 S/3이 될 거에요

85
00:03:44,090 --> 00:03:47,000
S/3, S/3, S/3 이렇게요

86
00:03:47,000 --> 00:03:50,700
돌기가 하나 생겼기 때문에

87
00:03:50,700 --> 00:03:53,270
이제 선분이라고는 부를 수 없는

88
00:03:53,290 --> 00:03:56,880
새로 생긴 이 부분의 길이는

89
00:03:56,880 --> 00:03:59,110
전처럼 S가 아닐 거에요

90
00:03:59,150 --> 00:04:01,620
이제 S/3 X 4이죠

91
00:04:01,620 --> 00:04:03,360
전에는 S/3 X 3이었지만

92
00:04:03,360 --> 00:04:07,550
이제는 같은 길이의 S/3인 선분이 4개이니까요

93
00:04:07,550 --> 00:04:10,500
다음 단계는

94
00:04:10,500 --> 00:04:14,930
삼각형들을 추가한 뒤에는

95
00:04:14,930 --> 00:04:16,300
삼각형이 추가된 새로운 부분의 길이는

96
00:04:16,340 --> 00:04:23,560
S/3 X 4이므로 4/3S가 될 거에요

97
00:04:23,560 --> 00:04:30,950
원래의 둘레가 P0이었다면

98
00:04:30,950 --> 00:04:34,230
한 세트의 삼각형 돌기들이 생긴 뒤

99
00:04:34,230 --> 00:04:35,670
바뀐 둘레는

100
00:04:35,710 --> 00:04:39,880
4/3 곱하기 원래의 둘레일 거에요

101
00:04:39,880 --> 00:04:42,660
왜냐하면 각각의 변의 길이가 
4/3만큼 커지기 때문이죠

102
00:04:42,660 --> 00:04:44,270
3개 의 변에 모두 적용시켰을 때

103
00:04:44,290 --> 00:04:46,690
각각의 변들은 4/3씩 커졌으니까

104
00:04:46,690 --> 00:04:48,950
새로운 둘레는 4/3만큼 커지게 될 거에요

105
00:04:48,950 --> 00:04:51,980
2번째로 반복해 볼게요

106
00:04:51,980 --> 00:04:54,470
첫 번째 그린 것의 4/3만큼일 거에요

107
00:04:54,470 --> 00:04:57,740
한번씩 반복할 때마다 4/3씩 커지게 되겠죠

108
00:04:57,790 --> 00:05:00,190


109
00:05:00,190 --> 00:05:03,550
전에 한 P의 4/3이 될 거에요

110
00:05:03,610 --> 00:05:05,590
이 과정을 무한 반복할때

111
00:05:05,590 --> 00:05:10,740
어떠한 수에 4/3을 무수히 많이 곱한다면,

112
00:05:10,740 --> 00:05:13,760
무한인 수를 얻을 수 있지요

113
00:05:13,760 --> 00:05:16,340
무한인 P는

114
00:05:16,360 --> 00:05:19,910
무한 반복한 둘레의 길이는 무한인 수일 것입니다

115
00:05:19,940 --> 00:05:22,140
무한인 둘레를 가진 무언가라니

116
00:05:22,190 --> 00:05:24,300
매우 흥미롭지요

117
00:05:24,300 --> 00:05:28,260
그러나 더 신기한 것은 사실 이 도형은
유한인 넓이를 가지고 있다는 거에요

118
00:05:28,260 --> 00:05:30,120
유한인 넓이를 갖는다는 것은

119
00:05:30,120 --> 00:05:32,480
일정한 면적만큼을 차지한다는 것이죠

120
00:05:32,480 --> 00:05:34,490
이걸 둘러싼 도형을 그린다면

121
00:05:34,490 --> 00:05:36,340
그 도형 이상으로 커지지는 않을 것이니까요

122
00:05:36,340 --> 00:05:38,960
증명을 할 것이지만 항상 하는 방법대로 하지 않고

123
00:05:38,960 --> 00:05:41,600
한 변에서 어떤 일이 일어나는지 볼 거에요

124
00:05:41,600 --> 00:05:45,550
P1에서는 이 삼각형이 생기게 되죠

125
00:05:45,550 --> 00:05:49,540
그려 보면......

126
00:05:49,540 --> 00:05:52,280
다음 번에는 두 개의 삼각형을 그릴 것이고요

127
00:05:52,310 --> 00:05:53,940
여기에도 삼각형 두 개를 더 그릴 거에요

128
00:05:53,940 --> 00:05:56,230
이렇게 삼각형을 그리고

129
00:05:56,260 --> 00:05:59,600
계속해서 그리게 된다면

130
00:05:59,630 --> 00:06:02,520
삼각형을 계속 추가하게 되면

131
00:06:02,520 --> 00:06:04,980
무수히 많은 삼각형을 그리게 될 것입니다

132
00:06:05,020 --> 00:06:07,070
그러나 이 이상을 넘어가진 않을 거에요

133
00:06:07,070 --> 00:06:11,220
이 변에서도 똑같을 거에요

134
00:06:11,220 --> 00:06:13,840
이 변에서도요

135
00:06:13,870 --> 00:06:17,540
이 변에서도

136
00:06:17,540 --> 00:06:19,550
이 변에서도

137
00:06:19,550 --> 00:06:22,330
이 변에서도 똑같을 거에요

138
00:06:22,350 --> 00:06:24,590
아무리 무수히 많은 삼각형을 그린다고 해도

139
00:06:24,590 --> 00:06:27,120
코흐의 눈송이는

140
00:06:27,160 --> 00:06:30,130
삼각형을 둘러싸는 육각형보다 큰 
넓이를 갖지는 못할 거에요

141
00:06:30,130 --> 00:06:32,070
또는 그렇게 생긴 도형이 넓이보다

142
00:06:32,070 --> 00:06:34,530
더 큰 넓이를 갖지 못하거나요

143
00:06:34,530 --> 00:06:36,450
임의의 도형을 그리고 있어요

144
00:06:36,450 --> 00:06:38,200
육각형의 바깥에 그리고 싶다면

145
00:06:38,200 --> 00:06:39,780
원을 그릴 수도 있고요

146
00:06:39,780 --> 00:06:44,630
파란색으로 그린 도형과 분홍색으로 그린 육각형은

147
00:06:44,630 --> 00:06:46,820
정해진 넓이가 있지요

148
00:06:46,820 --> 00:06:49,480
그러므로 코흐의 눈송이는 언제나

149
00:06:49,480 --> 00:06:52,450
아무리 삼각형을 추가한다 하더라도
그 이상으로 커지지는 않게 되는 것이죠

150
00:06:52,450 --> 00:06:55,380
몇 가지 사항들을 정리해 볼게요

151
00:06:55,420 --> 00:06:56,330
첫쨰, 이 도형은 프랙털이고

152
00:06:56,330 --> 00:06:58,760
어떻게 확대하든지 똑같아 보일 거에요

153
00:06:58,780 --> 00:07:04,950
둘째, 둘레는 무한이고 넓이는 유한이에요

154
00:07:04,950 --> 00:07:07,830
이제 여러분께서는
"음, 그거 참 추상적인 도형이네

155
00:07:07,830 --> 00:07:10,120
이딴 건 세상에 존재하지 않을 텐데"
라고 하실 지도 모르겠네요

156
00:07:10,120 --> 00:07:13,240
프랙털의 세계에서 흔히 거론되는

157
00:07:13,240 --> 00:07:14,820
한 실험이 있었는데

158
00:07:14,870 --> 00:07:17,770
영국의 둘레를 구하거나

159
00:07:17,820 --> 00:07:19,200
섬의 둘레를 구할 수 있느냐에 대한 것이었어요

160
00:07:19,200 --> 00:07:21,170
이 분야에서 전문가는 아니지만

161
00:07:21,170 --> 00:07:22,730
영국은 이렇게 생겼죠

162
00:07:22,730 --> 00:07:24,230
영국 땅이 이렇게 생겼다고 생각해 보세요

163
00:07:24,230 --> 00:07:26,230
처음에는 그냥 대략적으로

164
00:07:26,230 --> 00:07:27,480
이 길이를 구할 수 있겠지요

165
00:07:27,550 --> 00:07:32,350
이 길이 더하기 이 길이를 구할 수 있겠고

166
00:07:32,350 --> 00:07:36,070
이 길이들을 모두 합쳤을 거에요

167
00:07:36,070 --> 00:07:37,660
보세요

168
00:07:37,660 --> 00:07:38,590
유한인 둘레를 갖고

169
00:07:38,620 --> 00:07:40,300
유한인 넓이를 갖는 것처럼 보이지만

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00:07:42,340 --> 00:07:43,720
여러분은 말할 거에요
"그렇게 하는 것은 좋은 방법이 아니지,

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00:07:43,750 --> 00:07:45,380
그것보다 더 정확하게 구해야지" 라고요

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00:07:45,400 --> 00:07:46,960
이렇게 대략적으로 하는 대신에

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00:07:46,980 --> 00:07:48,680
더 짧은 선들을 그어서

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00:07:48,680 --> 00:07:50,740


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00:07:50,770 --> 00:07:52,570
해안선과 더 가까워질 수 있도록 해야 합니다

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00:07:52,620 --> 00:07:55,010
여러분은 "좋아, 조금 더 정확한 측정이야."
라고 말할 거에요

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00:07:55,010 --> 00:07:58,730
그러나 더 확대시켜 본다면

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00:07:58,760 --> 00:08:01,780
더욱더 가까이 확대시켜 본다면

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00:08:01,780 --> 00:08:03,980
해안선은 이렇게 생겼을 거에요

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00:08:04,020 --> 00:08:08,190
이렇게 작은 돌기들이 있겠죠

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00:08:08,260 --> 00:08:11,150
처음으로 했을 때는

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00:08:11,150 --> 00:08:13,580
그저 이런 선의 길이를 재는 것이었으나

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00:08:13,580 --> 00:08:15,740
여러분은 "그건 해안선의 정확한 둘레가 아니잖아"
라고 할 것이고요

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00:08:15,740 --> 00:08:17,620
더 많은 선들로 둘러싸야 할 거에요

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00:08:17,650 --> 00:08:18,850
이렇게 해서

186
00:08:18,900 --> 00:08:25,660
정확한 해안선의 둘레를 알아야 할 거에요

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00:08:25,660 --> 00:08:29,150
그럼 여러분께서 "좀 더 정확한 둘레가 되겠구나"
라고 하시겠죠

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00:08:29,150 --> 00:08:32,190
그러나 해안선을 좀 더 확대시켜 본다면

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00:08:32,190 --> 00:08:35,050
또 우리가 했던 것이 정확한 측정은 
아니었음이 드러나겠죠

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00:08:35,050 --> 00:08:37,330
이렇게 들쭉날쭉할 거에요

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00:08:37,360 --> 00:08:39,450
혹은 이렇게요

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00:08:39,450 --> 00:08:42,810
이런 대략적인 선분을 그려 측정하는 것보다는

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00:08:42,890 --> 00:08:43,850
여러분께서는

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00:08:43,900 --> 00:08:46,170
조금 더 확대시켜 더 가까이 
둘러싸야겠다고 생각하실 거에요

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00:08:46,220 --> 00:08:48,270
그리고 이렇게 계속 확대시키고 선분을 그리다 보면

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00:08:48,310 --> 00:08:50,150
원자 단위의 단계까지 도달하게 될 거에요

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00:08:50,150 --> 00:08:54,730
그러므로 사실 어떤 섬 또는

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00:08:54,770 --> 00:08:58,790
대륙의 해안선은, 프랙털 같은 개념입니다

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00:08:58,840 --> 00:09:01,210
그리고 그것을 다르게 생각해 보면

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00:09:01,210 --> 00:09:03,130
거의 무한한 둘레를 가졌다고 할 수 있습니다

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00:09:03,180 --> 00:09:04,150
어떤 정도에 다다르게 되면

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00:09:04,220 --> 00:09:05,480
원자 단위가 될 것인데

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00:09:05,520 --> 00:09:06,610
그것을 '프랙털이다'라고는 말할 수 없지만

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00:09:06,660 --> 00:09:08,510
프랙털 같은 현상입니다

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00:09:08,540 --> 00:09:10,390
생각해 보면 매우 흥미로운 문제이지요