이 도형이 정삼각형이라 해 봅시다
이 정삼각형을 바탕으로
새로운 도형을 만들어 보려고 합니다
어떻게 할 것이냐면, 정삼각형의 각각의 변을
똑같은 길이의 세 부분으로 나누어 볼 거에요
제가 그린 도형이 완전히 똑바른 정삼각형은 아니지만
제 말의 요점을 아셨으리라 생각해요
삼등분한 선분 중 가운데 선분에는
다른 정삼각형을 그리겠습니다
여기 있는 중간 부분에
다른 정삼각형을 그릴 거에요
그러면 이런 모양이 될 거에요
그리고 이 선분 위에도
다른 정삼각형을 그려 볼게요
원래의 정삼각형이
다윗의 별처럼 생긴 도형으로 변했어요
이 과정을 반복할 거에요
각각의 변을 모두 삼등분하고
중간의 선분에는 정삼각형을 그립니다
정삼각형을 그릴게요
삼각형의 모든 변에 이 과정을 반복할 거에요
이쪽도, 저쪽도 해 볼게요
여러분이 이미 알아차렸으리라 생각하지만 명확히 하기 위해서
이렇게 그려 보겠습니다
이 단계가 거의 끝나가고 있어요
그럼 도형이 이렇게 보일 거에요
더 그려 볼 수도 있어요
각각의 선분을 삼등분해서
다른 정삼각형들을 그리는 겁니다
이렇게요
무엇을 하고 있는지 아시겠죠?
이렇게 무한 반복할 수도 있겠네요
이 동영상을 통해 해 보려는 것은 이 도형에서 과연
무슨 일이 일어나고 있는지 생각해 보는 것입니다
사실 제가 그린 도형은
삼각형을 그리는 과정을 무한 반복한다면
반복할 때마다 각각의 변을
삼등분하는 것이죠
다음번에도 삼등분을 할 것이고
그리고 그 다음에는
중간의 선분을 정삼각형으로 바꾸는 거에요
이렇게 그리는 도형을 우리는
코흐의 눈송이라고 부릅니다
제가 말한 것이 정확한 발음인지는 모르겠네요
코흐의 눈송이는
스웨덴의 수학자였던 니엘 파비앙 헬리에 본 코흐에 의해
처음으로 알려지게 되었습니다
확실히 제가 잘못 발음한 것 같군요
가장 먼저 나온 프랙털 중 하나이죠
이 눈송이는 프랙털인데
프랙털이라고 말하는 이유는
얼마나 확대 또는 축소해서 보느냐와는 상관없이
항상 똑같아 보이기 때문입니다
이 상태로 보게 되면
돌기가 난 삼각형 여러 개로 보입니다
그러나 이렇게 확대를 해 보면
처음과 같은 모양임을 볼 수 있죠
다시 한번 확대했을때
똑같은 모양이 또 보이게 될 거에요
프랙털은 이렇게 어떻게 보는지
얼마나 확대해서 보는지 같아 보이는 무늬를 말합니다
프랙털이라고 불리는 이유이기도 하죠
여기서 재미있는 것은,
왜 기하학을 공부하다가 갑자기 이런 걸 배우냐는 거에요
사실 이 도형은 무한인 둘레를 가지고 있죠
계속 삼각형을 그려나가다 보면,
코흐의 눈송이를 만들려고
계속해서 작은 삼각형들에
삼각형을 그리다 보면
또 다른 정삼각형들을 그리게 되는 것이죠
이 도형이 무한인 둘레를 가지고 있다는 것은 보여 드리기 위해서
이 변을 보도록 할게요
이 변에서
처음의 삼각형에서
이 변이라고 생각해 볼게요
길이가 5라고 해 봅시다
변을 삼등분하게 되면
선분의 길이는 각각
S/3, S/3, S/3이 될 것입니다
가운데 선분에는 또 다른 정삼각형을 그릴 것이고요
각각의 변의 길이는 모두 S/3이 될 거에요
S/3, S/3, S/3 이렇게요
돌기가 하나 생겼기 때문에
이제 선분이라고는 부를 수 없는
새로 생긴 이 부분의 길이는
전처럼 S가 아닐 거에요
이제 S/3 X 4이죠
전에는 S/3 X 3이었지만
이제는 같은 길이의 S/3인 선분이 4개이니까요
다음 단계는
삼각형들을 추가한 뒤에는
삼각형이 추가된 새로운 부분의 길이는
S/3 X 4이므로 4/3S가 될 거에요
원래의 둘레가 P0이었다면
한 세트의 삼각형 돌기들이 생긴 뒤
바뀐 둘레는
4/3 곱하기 원래의 둘레일 거에요
왜냐하면 각각의 변의 길이가 4/3만큼 커지기 때문이죠
3개 의 변에 모두 적용시켰을 때
각각의 변들은 4/3씩 커졌으니까
새로운 둘레는 4/3만큼 커지게 될 거에요
2번째로 반복해 볼게요
첫 번째 그린 것의 4/3만큼일 거에요
한번씩 반복할 때마다 4/3씩 커지게 되겠죠
전에 한 P의 4/3이 될 거에요
이 과정을 무한 반복할때
어떠한 수에 4/3을 무수히 많이 곱한다면,
무한인 수를 얻을 수 있지요
무한인 P는
무한 반복한 둘레의 길이는 무한인 수일 것입니다
무한인 둘레를 가진 무언가라니
매우 흥미롭지요
그러나 더 신기한 것은 사실 이 도형은 유한인 넓이를 가지고 있다는 거에요
유한인 넓이를 갖는다는 것은
일정한 면적만큼을 차지한다는 것이죠
이걸 둘러싼 도형을 그린다면
그 도형 이상으로 커지지는 않을 것이니까요
증명을 할 것이지만 항상 하는 방법대로 하지 않고
한 변에서 어떤 일이 일어나는지 볼 거에요
P1에서는 이 삼각형이 생기게 되죠
그려 보면......
다음 번에는 두 개의 삼각형을 그릴 것이고요
여기에도 삼각형 두 개를 더 그릴 거에요
이렇게 삼각형을 그리고
계속해서 그리게 된다면
삼각형을 계속 추가하게 되면
무수히 많은 삼각형을 그리게 될 것입니다
그러나 이 이상을 넘어가진 않을 거에요
이 변에서도 똑같을 거에요
이 변에서도요
이 변에서도
이 변에서도 똑같을 거에요
아무리 무수히 많은 삼각형을 그린다고 해도
코흐의 눈송이는
삼각형을 둘러싸는 육각형보다 큰 넓이를 갖지는 못할 거에요
또는 그렇게 생긴 도형이 넓이보다
더 큰 넓이를 갖지 못하거나요
임의의 도형을 그리고 있어요
육각형의 바깥에 그리고 싶다면
원을 그릴 수도 있고요
파란색으로 그린 도형과 분홍색으로 그린 육각형은
정해진 넓이가 있지요
그러므로 코흐의 눈송이는 언제나
아무리 삼각형을 추가한다 하더라도 그 이상으로 커지지는 않게 되는 것이죠
몇 가지 사항들을 정리해 볼게요
첫쨰, 이 도형은 프랙털이고
어떻게 확대하든지 똑같아 보일 거에요
둘째, 둘레는 무한이고 넓이는 유한이에요
이제 여러분께서는 "음, 그거 참 추상적인 도형이네
이딴 건 세상에 존재하지 않을 텐데" 라고 하실 지도 모르겠네요
프랙털의 세계에서 흔히 거론되는
한 실험이 있었는데
영국의 둘레를 구하거나
섬의 둘레를 구할 수 있느냐에 대한 것이었어요
이 분야에서 전문가는 아니지만
영국은 이렇게 생겼죠
영국 땅이 이렇게 생겼다고 생각해 보세요
처음에는 그냥 대략적으로
이 길이를 구할 수 있겠지요
이 길이 더하기 이 길이를 구할 수 있겠고
이 길이들을 모두 합쳤을 거에요
보세요
유한인 둘레를 갖고
유한인 넓이를 갖는 것처럼 보이지만
여러분은 말할 거에요 "그렇게 하는 것은 좋은 방법이 아니지,
그것보다 더 정확하게 구해야지" 라고요
이렇게 대략적으로 하는 대신에
더 짧은 선들을 그어서
해안선과 더 가까워질 수 있도록 해야 합니다
여러분은 "좋아, 조금 더 정확한 측정이야." 라고 말할 거에요
그러나 더 확대시켜 본다면
더욱더 가까이 확대시켜 본다면
해안선은 이렇게 생겼을 거에요
이렇게 작은 돌기들이 있겠죠
처음으로 했을 때는
그저 이런 선의 길이를 재는 것이었으나
여러분은 "그건 해안선의 정확한 둘레가 아니잖아" 라고 할 것이고요
더 많은 선들로 둘러싸야 할 거에요
이렇게 해서
정확한 해안선의 둘레를 알아야 할 거에요
그럼 여러분께서 "좀 더 정확한 둘레가 되겠구나" 라고 하시겠죠
그러나 해안선을 좀 더 확대시켜 본다면
또 우리가 했던 것이 정확한 측정은 아니었음이 드러나겠죠
이렇게 들쭉날쭉할 거에요
혹은 이렇게요
이런 대략적인 선분을 그려 측정하는 것보다는
여러분께서는
조금 더 확대시켜 더 가까이 둘러싸야겠다고 생각하실 거에요
그리고 이렇게 계속 확대시키고 선분을 그리다 보면
원자 단위의 단계까지 도달하게 될 거에요
그러므로 사실 어떤 섬 또는
대륙의 해안선은, 프랙털 같은 개념입니다
그리고 그것을 다르게 생각해 보면
거의 무한한 둘레를 가졌다고 할 수 있습니다
어떤 정도에 다다르게 되면
원자 단위가 될 것인데
그것을 '프랙털이다'라고는 말할 수 없지만
프랙털 같은 현상입니다
생각해 보면 매우 흥미로운 문제이지요