Return to Video

Koch Snowflake Fractal

  • 0:01 - 0:07
    אז בואו נאמר שזהו משולש שווה-צלעות ומה שאני רוצה לעשות,
    זה ליצור עוד צורה ממשולש שווה-צלעות זה
  • 0:07 - 0:13
    ואני אעשה זאת על-ידי חלוקת כל צלע במשולש לשלושה חלקים שווים
  • 0:13 - 0:15
    ...לשלושה חלקים שווים...
  • 0:16 - 0:20
    המצולע שלי לא צויר במאופן מושלם,
    אבל נראה לי שתוכלו להבין את הנקודה...
  • 0:21 - 0:24
    ובקטע האמצעי אני רוצה לבנות משולש שווה צלעות נוסף
  • 0:24 - 0:29
    ...אז בקטע האמצעי כאן אני אצור עוד משולש שווה צלעות...
  • 0:30 - 0:32
    ...זה הולך להיראות בערך כך...
  • 0:33 - 0:35
    ...ואז גם כאן...
  • 0:35 - 0:38
    ...אני אבנה עוד משולש שווה צלעות...
  • 0:38 - 0:44
    אם כן, מהמשולש שווה-צלעות המקורי
    הגעתי למשהו שנראה כמו כוכב, או "מגן דוד",
  • 0:44 - 0:45
    ואז אני אעשה זאת שוב!
  • 0:45 - 0:49
    אז עבור כל צלע, אני אחלק אותה
    לשלושה קטעים שווים,
  • 0:49 - 0:52
    ובקטע האמצעי שלה אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף
  • 0:52 - 0:55
    ...אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף...
  • 0:55 - 1:00
    ...בקטע האמצעי, אני אבנה משולש שווה צלעות...
  • 1:00 - 1:02
    ואני אעשה זאת עבור כל אחת מהצלעות
  • 1:02 - 1:07
    כאן, וכאן...
  • 1:07 - 1:09
    ...נראה לי שאתם מבינים את הרעיון...
  • 1:09 - 1:10
    ...אבל אני רוצה שיהיה ברור...
  • 1:12 - 1:16
    כך, וכך...
  • 1:17 - 1:22
    ...כמעט סיימתי לסבב הזה, למחזור הזה...
  • 1:22 - 1:23
    וזה יראה כך.
  • 1:23 - 1:25
    ואז אני יכול לעשות זאת שוב!
  • 1:25 - 1:29
    את כל אחת מהצלעות אני יכול לחלק לשלושה קטעים שווים
    ולבנות משולש שווה צלעות חדש
  • 1:29 - 1:32
    כאן, וכאן, וכאן וכאן...
  • 1:32 - 1:34
    ...אני חושב שאתם מבינים לאן זה הולך...
  • 1:34 - 1:38
    ואני יכול להמשיך לנצח נצחים.
  • 1:38 - 1:41
    אז מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה
    הוא לחשוב על מה שקורה כאן.
  • 1:41 - 1:46
    מה שאני למעשה מצייר, אם נמשיך לעשות זאת שוב ושוב,
  • 1:46 - 1:56
    בכל סבב אנחנו נחלק כל צלע לשלושה קטעים שווים,
    ובסבב הבא כל קטע אמצעי יהפוך למשולש שווה צלעות.
  • 1:56 - 2:00
    הצורה שאנו מתארים כאן נקראת "פתית השלג של קוך",
  • 2:00 - 2:03
    (ואני בטוח שאני מבטא "קוך" לא נכון [באנגלית: "קוץ'"])
  • 2:04 - 2:05
    ..."פתית השלג של קוך",
  • 2:05 - 2:10
    והוא תואר לראשונה ע"י הג'נטלמן הזה כאן,
    שהיה מתמטיקאי שוודי,
  • 2:10 - 2:13
    נילס פביאן הֶלגֶה פון קוֹך,
  • 2:13 - 2:15
    (ואני בטוח שאני טועה בהגיה...)
  • 2:15 - 2:18
    וצורה זו היתה מהראשונות שהוגדרו כ-"פרקטל".
  • 2:18 - 2:20
    אם כן, זהו "פרקטל".
  • 2:20 - 2:23
    והסיבה שבגללה צורה זו נחשבת פרקטל
  • 2:23 - 2:25
    היא שהיא נראית אותו דבר,
    או נראית דומה,
  • 2:25 - 2:27
    בכל קנה מידה בו נסתכל עליה.
  • 2:27 - 2:29
    אז כשמסתכלים עליה בקנה המידה הנוכחי,
  • 2:29 - 2:31
    ...אם נסתכל כאן...
  • 2:31 - 2:35
    נראה כמה משולשים עם בליטות עליהם,
    אבל אז אם נתקרב פנימה, הישר לשם,
  • 2:35 - 2:38
    אזי עדיין נראה את דפוס דומה.
  • 2:38 - 2:42
    ואז אם נתקרב שוב,
    נראה את התבנית הזו שוב ושוב.
  • 2:42 - 2:45
    אם כן פרקטל הוא צורה שבכל קנה מידה,
    בכל מידת התקרבות,
  • 2:45 - 2:48
    נראית פחות או יותר אותו דבר.
  • 2:48 - 2:49
    לכן צורה זו נקראת פרקטל.
  • 2:49 - 2:51
    ומה שמעניין במיוחד,
  • 2:51 - 2:54
    והסיבה שבגללה אני מזכיר את הצורה הזו
    בשלב זה של הסרטונים על גאומטריה,
  • 2:54 - 2:57
    היא שלצורה זו למעשה יש היקף אין-סופי,
  • 2:57 - 3:01
    אם היינו ממשיכים לעשות זאת,
    אם היינו בפועל יוצרים את פתית-השלג של קוך,
  • 3:01 - 3:11
    בו ממשיכים להוסיף משולשים קטנים אינסוף פעמים.
  • 3:11 - 3:14
    ולהראות שיש לו היקף אינופי,
    בואו פשוט נבחן צד אחד של הצורה הזו,
  • 3:14 - 3:16
    ...אז בואו נאמר שצד זה...
  • 3:16 - 3:20
    ...בואו נאמר שאנו מתחילים היכן
    שהתחלנו עם המשולש המקורי, בצד זה,
  • 3:20 - 3:23
    ובואו נאמר שיש לו אורך "S".
  • 3:23 - 3:27
    ואז אנו מחלקים אותו שלושה קטעים שווים,
  • 3:27 - 3:31
    ...שלושה קטעים שווים ואלו יהיו S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3,
  • 3:31 - 3:32
    ...בעצם אכתוב זאת כך...
  • 3:32 - 3:37
    ...S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3...
  • 3:37 - 3:42
    ובקטע האמצעי אנו בונים משולש שווה צלעות...
  • 3:42 - 3:48
    אז כל צלע תהיה באורך S חלקי 3...
    ...S חלקי 3, S חלקי 3...
  • 3:48 - 3:52
    ועכשיו האורך של החלק החדש הזה,
  • 3:52 - 3:54
    (יותר אני לא יכול לקרוא לו קו
    כי יש בו בליטה כזו)
  • 3:54 - 4:03
    האורך של הקטע הזה כאן אינו באורך S יותר,
    אלא באורך שליש S כפול ארבע.
  • 4:03 - 4:06
    לפני-כן הוא היה שליש S כפול שלוש
    וכעת יש לנו אחת, שתיים, שלוש...
  • 4:06 - 4:08
    ארבע קטעים שהם שליש S.
  • 4:08 - 4:16
    אז כעת, אחרי פעם אחת של תהליך
    החלוקה ובניית המשולשים,
  • 4:16 - 4:17
    החלק החדש שלנו,
  • 4:17 - 4:18
    אחרי שהוספנו את הבליטה,
  • 4:18 - 4:24
    יהיה לו אורך של 4 פעמים S חלקי 3
    או ארבעה שלישים של S.
  • 4:24 - 4:32
    אז אם ההיקף המקורי של הצורה שלנו,
    כשהיתה משולש פשוט היתה P0,
  • 4:32 - 4:36
    אחרי סיבוב אחד,
    אחרי הוספת סט בליטות ראשון,
  • 4:36 - 4:37
    ההיקף יהיה כעת...
  • 4:37 - 4:43
    ההיקף יהיה 4/3 ההיקף המקורי,
    מכיוון שכל צלע במשולש גדלה ב-4/3.
  • 4:43 - 4:48
    אז P0 היה מורכב משלושה צדדים,
    עכשיו כל צד הוא בארבע-שלישים גדול יותר,
  • 4:48 - 4:50
    אז ההיקף החדש יהיה ארבע שלישים מההיקף הישן.
  • 4:50 - 4:55
    ואז נעשה סיבוב שני ובו ההיקף
    יהיה ארבע שלישים מההיקף הקודם
  • 4:55 - 5:00
    אז בכל סיבוב שתעשו ההיקף גדל פי ארבע שלישים,
    או, בשליש אחד יותר גדול,
  • 5:00 - 5:04
    ארבעה שלישים ביחס להיקף בסיבוב הקודם.
  • 5:04 - 5:11
    אז אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
    אם תכפילו את כל מספר ב-4/3 אינסוף פעמים,
  • 5:11 - 5:14
    תקבלו אורך אינסופי.
  • 5:14 - 5:20
    אם כן, P-אינסוף, ההיקף אם נבצע זאת אינסוף פעמים,
    הוא אינסוף.
  • 5:20 - 5:25
    וזה כלשעצמו דבר מגניב,
    חישבו על דבר-מה שיש לו היקף אינסופי...
  • 5:25 - 5:29
    אבל מה שיותר מגניב זה שיש לו שטח סופי!
  • 5:29 - 5:33
    וכשאני אומר שטח סופי, הוא אכן מכסה איזור תחום -
  • 5:33 - 5:37
    אני יכול לצייר צורה מסביב לזה
    ופתית-השלג לעולם לא יתרחב מעבר לה.
  • 5:37 - 5:38
    ולחשוב על זה,
  • 5:38 - 5:39
    (אני לא אעשה הוכחה פורמאלית עכשיו)
  • 5:39 - 5:42
    חישבו על מה שקורה לכל אחד מהחלקים הללו -
  • 5:42 - 5:47
    אז בסיבוב הראשון המשולש הזה צץ לו החוצה
  • 5:47 - 5:51
    ואז,
    אם תחשבו על זה, אם פשוט תציירו את מה שקורה,
  • 5:51 - 5:55
    בסיבוב הבא תציירו את שני המשולשים האלה כאן,
    ואת שני המשולשים האלה שם,
  • 5:55 - 6:00
    ואז את בונים משולשים כאן, וכאן, וכאן וכאן,
    ועוד ועוד,
  • 6:00 - 6:04
    אבל שימו לב -
    אתם יכולים להוסיף עוד ועוד משולשים,
  • 6:04 - 6:05
    מספר אינסופי של הבליטות האלה,
  • 6:05 - 6:08
    אבל לעולם לא תעברו
    מעבר לנקודה המקורית הזאת.
  • 6:08 - 6:12
    והדבר הזה יהיה נכון גם באיזור הזה כאן,
  • 6:12 - 6:14
    זה יהיה נכון גם באיזור הזה שכאן,
  • 6:14 - 6:17
    וכן הדבר יהיה נכון בצד הזה שכאן,
  • 6:17 - 6:20
    וגם בצד הזה כאן,
  • 6:20 - 6:23
    וזה יהיה נכון גם באיזור שכאן.
  • 6:23 - 6:26
    אז אפילו אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
    הצורה הזאת,
  • 6:26 - 6:28
    פתית השלג של קוך הזה,
  • 6:28 - 6:31
    לעולם לא יהיה לו שטח גדול
    מלמשושה שתוחם אותו.
  • 6:31 - 6:35
    לחילופין לעולם לא יהיה לו
    שטח גדול מלצורה שנראית כך,
  • 6:35 - 6:37
    ...אני סתם מצייר צורה סתמית...
  • 6:38 - 6:39
    ...אני רוצה לעשות זאת מחוץ למשושה...
  • 6:39 - 6:40
    ...אני יכול לצייר מעגל מחוץ לו,
  • 6:42 - 6:45
    אז הדבר הזה שציירתי בכחול,
    או המשושה הזה שציירתי בסגול,
  • 6:45 - 6:48
    להם בבירור יש שטח קבוע,
  • 6:48 - 6:54
    ופתית-השלג של קוך תמיד יהיה תחום -
    אפילו שאנו יכולים להוסיף לו בליטות אינסוף פעמים.
  • 6:54 - 6:56
    כמה דברים מגניבים יש כאן:
  • 6:56 - 6:59
    אחד - זהו פרקטל,
    אפשר להתקרב שוב-ושוב וזה יראה אותו דבר
  • 6:59 - 7:03
    הדבר השני -
    אין-סוף! היקף אינסופי!
  • 7:03 - 7:06
    ושטח סופי.
  • 7:06 - 7:11
    ואתם עשויים לומר "טוב סאל, זה דבר מאוד מופשט,"
    "צורות כאלו לא באמת קיימות בעולם האמיתי"
  • 7:11 - 7:15
    וישנו ניסוי מחשבתי מהנה שאנשים
    דיברו עליו בעולם הפרקטלים,
  • 7:15 - 7:20
    והוא מציאת ההיקף של אנגליה,
    ואתם יכולים למעשה לנסות זאת אם כל אי שהוא
  • 7:20 - 7:22
    אז אנגליה נראית בערך...
  • 7:22 - 7:24
    ...אני לא מומחה... אתם יודעים...
  • 7:24 - 7:24
    בואו נאמר שהיא נראית בערך כך.
  • 7:24 - 7:27
    אז בהתחלה אתם עשויים להעריך את ההיקף,
  • 7:27 - 7:29
    ...ותמדדו את המרחק הזה...
  • 7:29 - 7:33
    ...תמדדו את המרחק הזה,
    ועוד המרחק הזה,
  • 7:33 - 7:37
    ועוד המרחק הזה...
    ועוד המרחק הזה וזה וזה וזה.
  • 7:37 - 7:40
    והנה - "יש לה היקף סופי"
    "בבירור יש לה שטח סופי,"
  • 7:40 - 7:43
    אבל אתם מסתכלים והנה -"יש לה הקיף סופי"
  • 7:43 - 7:45
    אבל אז אתם אומרים "לא, זה לא מספיק טוב"
    "אפשר להעריך את ההיקף טוב יותר"
  • 7:45 - 7:49
    במקום לעשות זאת כל-כך גס,
    תוכלו לעשות כמה קטעים קטנים יותר,
  • 7:49 - 7:53
    תוכלו לעשות כמה קטעים קצרים יותר
    כדי שתוכלו "לחבק" את החוף יותר טוב.
  • 7:53 - 7:56
    ואז תאמרו "זו הערכה הרבה יותר טובה."
  • 7:56 - 7:59
    אבל אז,
    בואו נאמר שאתם בפיסת חוף,
  • 7:59 - 8:02
    ...אם נתקרב...
    ...אם נתקרב מספיק...
  • 8:02 - 8:09
    קטע החוף האמיתי יראה בערך כך...
    לקטע החוף האמיתי יהיו כל מיני בליטות כאלו...
  • 8:09 - 8:14
    ובסבב הקודם פשוט מדדתם את זה.
  • 8:14 - 8:16
    ותאמרו "זה לא ההיקף של קו החוף",
  • 8:16 - 8:18
    תצטרכו לעשות הרבה הרבה יותר קטעים,
  • 8:18 - 8:26
    תצטרכו לעשות משהו כזה,
    כדי באמת לקבל את ההיקף של קו החוף.
  • 8:26 - 8:29
    ותאמרו - "עכשיו זו הערכה טובה של ההיקף,"
  • 8:29 - 8:36
    אבל אם תתקרבו אפילו יותר על חלק זה של קו החוף
    יסתבר שזה לא נראה בדיוק כך,
  • 8:36 - 8:38
    זה בעצם נכנס פנימה והחוצה, כך,
  • 8:38 - 8:40
    אולי זה יראה בערך כך...
  • 8:40 - 8:43
    אז במקום שיהיו לכם הקוים הגסים האלה
    שפשוט מודדים את זה כך
  • 8:43 - 8:47
    אתם תאמרו "אפשר להתקרב קצת יותר
    ולחבק את זה אפילו יותר"
  • 8:47 - 8:51
    ואתם באמת יכול לעשות זאת
    עד שתגיעו לרמה האטומית!
  • 8:51 - 9:00
    אז קו החוף האמיתי של אי, או של יבשת,
    או של כל דבר, הוא למעשה דבר די 'פרקטלי',
  • 9:00 - 9:04
    ותוכלו לחשוב שיש לו היקף כמעט אינסופי
  • 9:04 - 9:07
    (ברור שבשלב מסוים אתם מגיעים לרמה האטומית
    אז זה לא יהיה בדיוק אותו דבר),
  • 9:07 - 9:11
    אבל זו בערך אותה התופעה,
    זה דבר מעניין לחשוב עליו באמת.
Title:
Koch Snowflake Fractal
Description:

A shape that has an infinite perimeter but finite area
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:11

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.