0:00:00.990,0:00:06.898
אז בואו נאמר שזהו משולש שווה-צלעות ומה שאני רוצה לעשות,[br]זה ליצור עוד צורה ממשולש שווה-צלעות זה

0:00:06.898,0:00:12.729
ואני אעשה זאת על-ידי חלוקת כל צלע במשולש לשלושה חלקים שווים

0:00:13.067,0:00:15.236
...לשלושה חלקים שווים...

0:00:15.590,0:00:20.277
המצולע שלי לא צויר במאופן מושלם,[br]אבל נראה לי שתוכלו להבין את הנקודה...

0:00:20.508,0:00:23.785
ובקטע האמצעי אני רוצה לבנות משולש שווה צלעות נוסף

0:00:24.400,0:00:29.159
...אז בקטע האמצעי כאן אני אצור עוד משולש שווה צלעות...

0:00:29.821,0:00:32.205
...זה הולך להיראות בערך כך...

0:00:33.067,0:00:34.825
...ואז גם כאן...

0:00:35.333,0:00:37.677
...אני אבנה עוד משולש שווה צלעות...

0:00:37.800,0:00:43.800
אם כן, מהמשולש שווה-צלעות המקורי[br]הגעתי למשהו שנראה כמו כוכב, או "מגן דוד",

0:00:43.800,0:00:45.108
ואז אני אעשה זאת שוב!

0:00:45.262,0:00:48.621
אז עבור כל צלע, אני אחלק אותה[br]לשלושה קטעים שווים,

0:00:48.913,0:00:52.067
ובקטע האמצעי שלה אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף

0:00:52.267,0:00:54.692
...אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף...

0:00:54.692,0:00:59.569
...בקטע האמצעי, אני אבנה משולש שווה צלעות...

0:00:59.769,0:01:01.938
ואני אעשה זאת עבור כל אחת מהצלעות

0:01:02.400,0:01:07.071
כאן, וכאן...

0:01:07.071,0:01:08.667
...נראה לי שאתם מבינים את הרעיון...

0:01:08.867,0:01:10.241
...אבל אני רוצה שיהיה ברור...

0:01:12.241,0:01:16.467
כך, וכך...

0:01:17.159,0:01:21.508
...כמעט סיימתי לסבב הזה, למחזור הזה...

0:01:22.231,0:01:23.421
וזה יראה כך.

0:01:23.421,0:01:24.867
ואז אני יכול לעשות זאת שוב!

0:01:24.867,0:01:29.067
את כל אחת מהצלעות אני יכול לחלק לשלושה קטעים שווים[br]ולבנות משולש שווה צלעות חדש

0:01:29.067,0:01:31.769
כאן, וכאן, וכאן וכאן...

0:01:31.769,0:01:33.502
...אני חושב שאתם מבינים לאן זה הולך...

0:01:33.841,0:01:37.585
ואני יכול להמשיך לנצח נצחים.

0:01:37.800,0:01:41.308
אז מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה[br]הוא לחשוב על מה שקורה כאן.

0:01:41.400,0:01:45.800
מה שאני למעשה מצייר, אם נמשיך לעשות זאת שוב ושוב,

0:01:45.800,0:01:56.067
בכל סבב אנחנו נחלק כל צלע לשלושה קטעים שווים, [br]ובסבב הבא כל קטע אמצעי יהפוך למשולש שווה צלעות.

0:01:56.067,0:02:00.313
הצורה שאנו מתארים כאן נקראת "פתית השלג של קוך",

0:02:00.436,0:02:03.395
(ואני בטוח שאני מבטא "קוך" לא נכון [באנגלית: "קוץ'"])

0:02:03.979,0:02:05.415
..."פתית השלג של קוך",

0:02:05.415,0:02:10.159
והוא תואר לראשונה ע"י הג'נטלמן הזה כאן,[br]שהיה מתמטיקאי שוודי,

0:02:10.159,0:02:12.856
נילס פביאן הֶלגֶה פון קוֹך,

0:02:12.856,0:02:14.733
(ואני בטוח שאני טועה בהגיה...)

0:02:14.733,0:02:17.564
וצורה זו היתה מהראשונות שהוגדרו כ-"פרקטל".

0:02:18.118,0:02:19.825
אם כן, זהו "פרקטל".

0:02:20.133,0:02:22.533
והסיבה שבגללה צורה זו נחשבת פרקטל

0:02:22.533,0:02:25.338
היא שהיא נראית אותו דבר,[br]או נראית דומה,

0:02:25.338,0:02:27.133
בכל קנה מידה בו נסתכל עליה.

0:02:27.133,0:02:28.800
אז כשמסתכלים עליה בקנה המידה הנוכחי,

0:02:28.800,0:02:30.600
...אם נסתכל כאן...

0:02:30.600,0:02:35.400
נראה כמה משולשים עם בליטות עליהם,[br]אבל אז אם נתקרב פנימה, הישר לשם,

0:02:35.400,0:02:38.467
אזי עדיין נראה את דפוס דומה.

0:02:38.467,0:02:41.800
ואז אם נתקרב שוב,[br]נראה את התבנית הזו שוב ושוב.

0:02:41.800,0:02:45.200
אם כן פרקטל הוא צורה שבכל קנה מידה,[br]בכל מידת התקרבות,

0:02:45.200,0:02:47.533
נראית פחות או יותר אותו דבר.

0:02:47.533,0:02:49.133
לכן צורה זו נקראת פרקטל.

0:02:49.133,0:02:50.533
ומה שמעניין במיוחד,

0:02:50.533,0:02:54.200
והסיבה שבגללה אני מזכיר את הצורה הזו[br]בשלב זה של הסרטונים על גאומטריה,

0:02:54.200,0:02:57.400
היא שלצורה זו למעשה יש היקף אין-סופי,

0:02:57.400,0:03:01.133
אם היינו ממשיכים לעשות זאת, [br]אם היינו בפועל יוצרים את פתית-השלג של קוך,

0:03:01.133,0:03:10.600
בו ממשיכים להוסיף משולשים קטנים אינסוף פעמים.

0:03:10.600,0:03:14.467
ולהראות שיש לו היקף אינופי,[br]בואו פשוט נבחן צד אחד של הצורה הזו,

0:03:14.467,0:03:15.867
...אז בואו נאמר שצד זה...

0:03:15.867,0:03:20.467
...בואו נאמר שאנו מתחילים היכן[br]שהתחלנו עם המשולש המקורי, בצד זה,

0:03:20.467,0:03:22.533
ובואו נאמר שיש לו אורך "S".

0:03:22.533,0:03:27.041
ואז אנו מחלקים אותו שלושה קטעים שווים,

0:03:27.041,0:03:30.723
...שלושה קטעים שווים ואלו יהיו S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3,

0:03:30.723,0:03:32.077
...בעצם אכתוב זאת כך...

0:03:32.377,0:03:36.800
...S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3...

0:03:36.800,0:03:42.375
ובקטע האמצעי אנו בונים משולש שווה צלעות...

0:03:42.375,0:03:47.800
אז כל צלע תהיה באורך S חלקי 3...[br]...S חלקי 3, S חלקי 3...

0:03:47.800,0:03:51.600
ועכשיו האורך של החלק החדש הזה,

0:03:51.600,0:03:53.600
(יותר אני לא יכול לקרוא לו קו[br]כי יש בו בליטה כזו)

0:03:53.600,0:04:02.867
האורך של הקטע הזה כאן אינו באורך S יותר,[br]אלא באורך שליש S כפול ארבע.

0:04:02.867,0:04:05.800
לפני-כן הוא היה שליש S כפול שלוש[br]וכעת יש לנו אחת, שתיים, שלוש...

0:04:05.800,0:04:08.333
ארבע קטעים שהם שליש S.

0:04:08.333,0:04:15.533
אז כעת, אחרי פעם אחת של תהליך[br]החלוקה ובניית המשולשים,

0:04:15.533,0:04:16.867
החלק החדש שלנו,

0:04:16.867,0:04:18.267
אחרי שהוספנו את הבליטה,

0:04:18.267,0:04:23.979
יהיה לו אורך של 4 פעמים S חלקי 3[br]או ארבעה שלישים של S.

0:04:24.041,0:04:32.000
אז אם ההיקף המקורי של הצורה שלנו,[br]כשהיתה משולש פשוט היתה P0,

0:04:32.000,0:04:35.733
אחרי סיבוב אחד,[br]אחרי הוספת סט בליטות ראשון,

0:04:35.733,0:04:37.400
ההיקף יהיה כעת...

0:04:37.400,0:04:43.200
ההיקף יהיה 4/3 ההיקף המקורי,[br]מכיוון שכל צלע במשולש גדלה ב-4/3.

0:04:43.200,0:04:48.400
אז P0 היה מורכב משלושה צדדים, [br]עכשיו כל צד הוא בארבע-שלישים גדול יותר,

0:04:48.400,0:04:50.200
אז ההיקף החדש יהיה ארבע שלישים מההיקף הישן.

0:04:50.200,0:04:54.933
ואז נעשה סיבוב שני ובו ההיקף[br]יהיה ארבע שלישים מההיקף הקודם

0:04:54.933,0:04:59.800
אז בכל סיבוב שתעשו ההיקף גדל פי ארבע שלישים,[br]או, בשליש אחד יותר גדול,

0:04:59.800,0:05:04.200
ארבעה שלישים ביחס להיקף בסיבוב הקודם.

0:05:04.200,0:05:11.000
אז אם תעשו זאת אינסוף פעמים,[br]אם תכפילו את כל מספר ב-4/3 אינסוף פעמים,

0:05:11.000,0:05:14.267
תקבלו אורך אינסופי.

0:05:14.267,0:05:20.467
אם כן, P-אינסוף, ההיקף אם נבצע זאת אינסוף פעמים,[br]הוא אינסוף.

0:05:20.467,0:05:24.800
וזה כלשעצמו דבר מגניב, [br]חישבו על דבר-מה שיש לו היקף אינסופי...

0:05:24.800,0:05:28.867
אבל מה שיותר מגניב זה שיש לו שטח סופי!

0:05:28.867,0:05:32.867
וכשאני אומר שטח סופי, הוא אכן מכסה איזור תחום -

0:05:32.867,0:05:36.667
אני יכול לצייר צורה מסביב לזה[br]ופתית-השלג לעולם לא יתרחב מעבר לה.

0:05:36.667,0:05:38.000
ולחשוב על זה,

0:05:38.000,0:05:39.467
(אני לא אעשה הוכחה פורמאלית עכשיו)

0:05:39.467,0:05:42.333
חישבו על מה שקורה לכל אחד מהחלקים הללו -

0:05:42.333,0:05:46.800
אז בסיבוב הראשון המשולש הזה צץ לו החוצה

0:05:46.800,0:05:50.667
ואז,[br]אם תחשבו על זה, אם פשוט תציירו את מה שקורה,

0:05:50.667,0:05:54.600
בסיבוב הבא תציירו את שני המשולשים האלה כאן,[br]ואת שני המשולשים האלה שם,

0:05:54.600,0:06:00.292
ואז את בונים משולשים כאן, וכאן, וכאן וכאן,[br]ועוד ועוד,

0:06:00.292,0:06:03.692
אבל שימו לב - [br]אתם יכולים להוסיף עוד ועוד משולשים,

0:06:03.692,0:06:05.215
מספר אינסופי של הבליטות האלה,

0:06:05.215,0:06:08.400
אבל לעולם לא תעברו[br]מעבר לנקודה המקורית הזאת.

0:06:08.400,0:06:12.000
והדבר הזה יהיה נכון גם באיזור הזה כאן,

0:06:12.000,0:06:14.467
זה יהיה נכון גם באיזור הזה שכאן,

0:06:14.467,0:06:17.267
וכן הדבר יהיה נכון בצד הזה שכאן,

0:06:17.267,0:06:20.000
וגם בצד הזה כאן,

0:06:20.000,0:06:22.800
וזה יהיה נכון גם באיזור שכאן.

0:06:22.800,0:06:26.267
אז אפילו אם תעשו זאת אינסוף פעמים,[br]הצורה הזאת,

0:06:26.267,0:06:27.600
פתית השלג של קוך הזה,

0:06:27.600,0:06:30.667
לעולם לא יהיה לו שטח גדול[br]מלמשושה שתוחם אותו.

0:06:30.667,0:06:34.985
לחילופין לעולם לא יהיה לו[br]שטח גדול מלצורה שנראית כך,

0:06:34.985,0:06:37.456
...אני סתם מצייר צורה סתמית...

0:06:37.548,0:06:38.741
...אני רוצה לעשות זאת מחוץ למשושה...

0:06:38.741,0:06:40.018
...אני יכול לצייר מעגל מחוץ לו,

0:06:41.600,0:06:45.200
אז הדבר הזה שציירתי בכחול,[br]או המשושה הזה שציירתי בסגול,

0:06:45.200,0:06:47.600
להם בבירור יש שטח קבוע,

0:06:47.600,0:06:53.800
ופתית-השלג של קוך תמיד יהיה תחום -[br]אפילו שאנו יכולים להוסיף לו בליטות אינסוף פעמים.

0:06:53.800,0:06:56.000
כמה דברים מגניבים יש כאן:

0:06:56.000,0:06:59.267
אחד - זהו פרקטל,[br]אפשר להתקרב שוב-ושוב וזה יראה אותו דבר

0:06:59.267,0:07:02.867
הדבר השני - [br]אין-סוף! היקף אינסופי!

0:07:02.867,0:07:05.533
ושטח סופי.

0:07:05.533,0:07:10.944
ואתם עשויים לומר "טוב סאל, זה דבר מאוד מופשט,"[br]"צורות כאלו לא באמת קיימות בעולם האמיתי"

0:07:10.944,0:07:15.333
וישנו ניסוי מחשבתי מהנה שאנשים[br]דיברו עליו בעולם הפרקטלים,

0:07:15.333,0:07:19.800
והוא מציאת ההיקף של אנגליה,[br]ואתם יכולים למעשה לנסות זאת אם כל אי שהוא

0:07:19.800,0:07:22.333
אז אנגליה נראית בערך...

0:07:22.333,0:07:23.533
...אני לא מומחה... אתם יודעים...

0:07:23.533,0:07:24.467
בואו נאמר שהיא נראית בערך כך.

0:07:24.467,0:07:27.067
אז בהתחלה אתם עשויים להעריך את ההיקף,

0:07:27.067,0:07:28.667
...ותמדדו את המרחק הזה...

0:07:28.667,0:07:32.733
...תמדדו את המרחק הזה,[br]ועוד המרחק הזה,

0:07:32.733,0:07:36.667
ועוד המרחק הזה...[br]ועוד המרחק הזה וזה וזה וזה.

0:07:36.667,0:07:39.933
והנה - "יש לה היקף סופי"[br]"בבירור יש לה שטח סופי,"

0:07:39.933,0:07:42.667
אבל אתם מסתכלים והנה -"יש לה הקיף סופי"

0:07:42.667,0:07:45.400
אבל אז אתם אומרים "לא, זה לא מספיק טוב"[br]"אפשר להעריך את ההיקף טוב יותר"

0:07:45.400,0:07:49.333
במקום לעשות זאת כל-כך גס,[br]תוכלו לעשות כמה קטעים קטנים יותר,

0:07:49.333,0:07:52.867
תוכלו לעשות כמה קטעים קצרים יותר[br]כדי שתוכלו "לחבק" את החוף יותר טוב.

0:07:52.867,0:07:55.667
ואז תאמרו "זו הערכה הרבה יותר טובה."

0:07:55.667,0:07:58.733
אבל אז, [br]בואו נאמר שאתם בפיסת חוף,

0:07:58.733,0:08:01.667
...אם נתקרב...[br]...אם נתקרב מספיק...

0:08:01.667,0:08:09.000
קטע החוף האמיתי יראה בערך כך...[br]לקטע החוף האמיתי יהיו כל מיני בליטות כאלו...

0:08:09.000,0:08:14.400
ובסבב הקודם פשוט מדדתם את זה.

0:08:14.400,0:08:16.267
ותאמרו "זה לא ההיקף של קו החוף",

0:08:16.267,0:08:18.200
תצטרכו לעשות הרבה הרבה יותר קטעים,

0:08:18.200,0:08:26.425
תצטרכו לעשות משהו כזה,[br]כדי באמת לקבל את ההיקף של קו החוף.

0:08:26.425,0:08:29.267
ותאמרו - "עכשיו זו הערכה טובה של ההיקף,"

0:08:29.267,0:08:35.867
אבל אם תתקרבו אפילו יותר על חלק זה של קו החוף[br]יסתבר שזה לא נראה בדיוק כך,

0:08:35.867,0:08:38.067
זה בעצם נכנס פנימה והחוצה, כך,

0:08:38.067,0:08:39.933
אולי זה יראה בערך כך...

0:08:39.933,0:08:43.267
אז במקום שיהיו לכם הקוים הגסים האלה[br]שפשוט מודדים את זה כך

0:08:43.267,0:08:46.800
אתם תאמרו "אפשר להתקרב קצת יותר[br]ולחבק את זה אפילו יותר"

0:08:46.800,0:08:51.000
ואתם באמת יכול לעשות זאת[br]עד שתגיעו לרמה האטומית!

0:08:51.000,0:09:00.400
אז קו החוף האמיתי של אי, או של יבשת,[br]או של כל דבר, הוא למעשה דבר די 'פרקטלי',

0:09:00.400,0:09:03.800
ותוכלו לחשוב שיש לו היקף כמעט אינסופי

0:09:03.800,0:09:07.000
(ברור שבשלב מסוים אתם מגיעים לרמה האטומית[br]אז זה לא יהיה בדיוק אותו דבר),

0:09:07.000,0:09:10.933
אבל זו בערך אותה התופעה,[br]זה דבר מעניין לחשוב עליו באמת.