אז בואו נאמר שזהו משולש שווה-צלעות ומה שאני רוצה לעשות, זה ליצור עוד צורה ממשולש שווה-צלעות זה
ואני אעשה זאת על-ידי חלוקת כל צלע במשולש לשלושה חלקים שווים
...לשלושה חלקים שווים...
המצולע שלי לא צויר במאופן מושלם, אבל נראה לי שתוכלו להבין את הנקודה...
ובקטע האמצעי אני רוצה לבנות משולש שווה צלעות נוסף
...אז בקטע האמצעי כאן אני אצור עוד משולש שווה צלעות...
...זה הולך להיראות בערך כך...
...ואז גם כאן...
...אני אבנה עוד משולש שווה צלעות...
אם כן, מהמשולש שווה-צלעות המקורי הגעתי למשהו שנראה כמו כוכב, או "מגן דוד",
ואז אני אעשה זאת שוב!
אז עבור כל צלע, אני אחלק אותה לשלושה קטעים שווים,
ובקטע האמצעי שלה אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף
...אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף...
...בקטע האמצעי, אני אבנה משולש שווה צלעות...
ואני אעשה זאת עבור כל אחת מהצלעות
כאן, וכאן...
...נראה לי שאתם מבינים את הרעיון...
...אבל אני רוצה שיהיה ברור...
כך, וכך...
...כמעט סיימתי לסבב הזה, למחזור הזה...
וזה יראה כך.
ואז אני יכול לעשות זאת שוב!
את כל אחת מהצלעות אני יכול לחלק לשלושה קטעים שווים ולבנות משולש שווה צלעות חדש
כאן, וכאן, וכאן וכאן...
...אני חושב שאתם מבינים לאן זה הולך...
ואני יכול להמשיך לנצח נצחים.
אז מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה הוא לחשוב על מה שקורה כאן.
מה שאני למעשה מצייר, אם נמשיך לעשות זאת שוב ושוב,
בכל סבב אנחנו נחלק כל צלע לשלושה קטעים שווים, ובסבב הבא כל קטע אמצעי יהפוך למשולש שווה צלעות.
הצורה שאנו מתארים כאן נקראת "פתית השלג של קוך",
(ואני בטוח שאני מבטא "קוך" לא נכון [באנגלית: "קוץ'"])
..."פתית השלג של קוך",
והוא תואר לראשונה ע"י הג'נטלמן הזה כאן, שהיה מתמטיקאי שוודי,
נילס פביאן הֶלגֶה פון קוֹך,
(ואני בטוח שאני טועה בהגיה...)
וצורה זו היתה מהראשונות שהוגדרו כ-"פרקטל".
אם כן, זהו "פרקטל".
והסיבה שבגללה צורה זו נחשבת פרקטל
היא שהיא נראית אותו דבר, או נראית דומה,
בכל קנה מידה בו נסתכל עליה.
אז כשמסתכלים עליה בקנה המידה הנוכחי,
...אם נסתכל כאן...
נראה כמה משולשים עם בליטות עליהם, אבל אז אם נתקרב פנימה, הישר לשם,
אזי עדיין נראה את דפוס דומה.
ואז אם נתקרב שוב, נראה את התבנית הזו שוב ושוב.
אם כן פרקטל הוא צורה שבכל קנה מידה, בכל מידת התקרבות,
נראית פחות או יותר אותו דבר.
לכן צורה זו נקראת פרקטל.
ומה שמעניין במיוחד,
והסיבה שבגללה אני מזכיר את הצורה הזו בשלב זה של הסרטונים על גאומטריה,
היא שלצורה זו למעשה יש היקף אין-סופי,
אם היינו ממשיכים לעשות זאת, אם היינו בפועל יוצרים את פתית-השלג של קוך,
בו ממשיכים להוסיף משולשים קטנים אינסוף פעמים.
ולהראות שיש לו היקף אינופי, בואו פשוט נבחן צד אחד של הצורה הזו,
...אז בואו נאמר שצד זה...
...בואו נאמר שאנו מתחילים היכן שהתחלנו עם המשולש המקורי, בצד זה,
ובואו נאמר שיש לו אורך "S".
ואז אנו מחלקים אותו שלושה קטעים שווים,
...שלושה קטעים שווים ואלו יהיו S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3,
...בעצם אכתוב זאת כך...
...S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3...
ובקטע האמצעי אנו בונים משולש שווה צלעות...
אז כל צלע תהיה באורך S חלקי 3... ...S חלקי 3, S חלקי 3...
ועכשיו האורך של החלק החדש הזה,
(יותר אני לא יכול לקרוא לו קו כי יש בו בליטה כזו)
האורך של הקטע הזה כאן אינו באורך S יותר, אלא באורך שליש S כפול ארבע.
לפני-כן הוא היה שליש S כפול שלוש וכעת יש לנו אחת, שתיים, שלוש...
ארבע קטעים שהם שליש S.
אז כעת, אחרי פעם אחת של תהליך החלוקה ובניית המשולשים,
החלק החדש שלנו,
אחרי שהוספנו את הבליטה,
יהיה לו אורך של 4 פעמים S חלקי 3 או ארבעה שלישים של S.
אז אם ההיקף המקורי של הצורה שלנו, כשהיתה משולש פשוט היתה P0,
אחרי סיבוב אחד, אחרי הוספת סט בליטות ראשון,
ההיקף יהיה כעת...
ההיקף יהיה 4/3 ההיקף המקורי, מכיוון שכל צלע במשולש גדלה ב-4/3.
אז P0 היה מורכב משלושה צדדים, עכשיו כל צד הוא בארבע-שלישים גדול יותר,
אז ההיקף החדש יהיה ארבע שלישים מההיקף הישן.
ואז נעשה סיבוב שני ובו ההיקף יהיה ארבע שלישים מההיקף הקודם
אז בכל סיבוב שתעשו ההיקף גדל פי ארבע שלישים, או, בשליש אחד יותר גדול,
ארבעה שלישים ביחס להיקף בסיבוב הקודם.
אז אם תעשו זאת אינסוף פעמים, אם תכפילו את כל מספר ב-4/3 אינסוף פעמים,
תקבלו אורך אינסופי.
אם כן, P-אינסוף, ההיקף אם נבצע זאת אינסוף פעמים, הוא אינסוף.
וזה כלשעצמו דבר מגניב, חישבו על דבר-מה שיש לו היקף אינסופי...
אבל מה שיותר מגניב זה שיש לו שטח סופי!
וכשאני אומר שטח סופי, הוא אכן מכסה איזור תחום -
אני יכול לצייר צורה מסביב לזה ופתית-השלג לעולם לא יתרחב מעבר לה.
ולחשוב על זה,
(אני לא אעשה הוכחה פורמאלית עכשיו)
חישבו על מה שקורה לכל אחד מהחלקים הללו -
אז בסיבוב הראשון המשולש הזה צץ לו החוצה
ואז, אם תחשבו על זה, אם פשוט תציירו את מה שקורה,
בסיבוב הבא תציירו את שני המשולשים האלה כאן, ואת שני המשולשים האלה שם,
ואז את בונים משולשים כאן, וכאן, וכאן וכאן, ועוד ועוד,
אבל שימו לב - אתם יכולים להוסיף עוד ועוד משולשים,
מספר אינסופי של הבליטות האלה,
אבל לעולם לא תעברו מעבר לנקודה המקורית הזאת.
והדבר הזה יהיה נכון גם באיזור הזה כאן,
זה יהיה נכון גם באיזור הזה שכאן,
וכן הדבר יהיה נכון בצד הזה שכאן,
וגם בצד הזה כאן,
וזה יהיה נכון גם באיזור שכאן.
אז אפילו אם תעשו זאת אינסוף פעמים, הצורה הזאת,
פתית השלג של קוך הזה,
לעולם לא יהיה לו שטח גדול מלמשושה שתוחם אותו.
לחילופין לעולם לא יהיה לו שטח גדול מלצורה שנראית כך,
...אני סתם מצייר צורה סתמית...
...אני רוצה לעשות זאת מחוץ למשושה...
...אני יכול לצייר מעגל מחוץ לו,
אז הדבר הזה שציירתי בכחול, או המשושה הזה שציירתי בסגול,
להם בבירור יש שטח קבוע,
ופתית-השלג של קוך תמיד יהיה תחום - אפילו שאנו יכולים להוסיף לו בליטות אינסוף פעמים.
כמה דברים מגניבים יש כאן:
אחד - זהו פרקטל, אפשר להתקרב שוב-ושוב וזה יראה אותו דבר
הדבר השני - אין-סוף! היקף אינסופי!
ושטח סופי.
ואתם עשויים לומר "טוב סאל, זה דבר מאוד מופשט," "צורות כאלו לא באמת קיימות בעולם האמיתי"
וישנו ניסוי מחשבתי מהנה שאנשים דיברו עליו בעולם הפרקטלים,
והוא מציאת ההיקף של אנגליה, ואתם יכולים למעשה לנסות זאת אם כל אי שהוא
אז אנגליה נראית בערך...
...אני לא מומחה... אתם יודעים...
בואו נאמר שהיא נראית בערך כך.
אז בהתחלה אתם עשויים להעריך את ההיקף,
...ותמדדו את המרחק הזה...
...תמדדו את המרחק הזה, ועוד המרחק הזה,
ועוד המרחק הזה... ועוד המרחק הזה וזה וזה וזה.
והנה - "יש לה היקף סופי" "בבירור יש לה שטח סופי,"
אבל אתם מסתכלים והנה -"יש לה הקיף סופי"
אבל אז אתם אומרים "לא, זה לא מספיק טוב" "אפשר להעריך את ההיקף טוב יותר"
במקום לעשות זאת כל-כך גס, תוכלו לעשות כמה קטעים קטנים יותר,
תוכלו לעשות כמה קטעים קצרים יותר כדי שתוכלו "לחבק" את החוף יותר טוב.
ואז תאמרו "זו הערכה הרבה יותר טובה."
אבל אז, בואו נאמר שאתם בפיסת חוף,
...אם נתקרב... ...אם נתקרב מספיק...
קטע החוף האמיתי יראה בערך כך... לקטע החוף האמיתי יהיו כל מיני בליטות כאלו...
ובסבב הקודם פשוט מדדתם את זה.
ותאמרו "זה לא ההיקף של קו החוף",
תצטרכו לעשות הרבה הרבה יותר קטעים,
תצטרכו לעשות משהו כזה, כדי באמת לקבל את ההיקף של קו החוף.
ותאמרו - "עכשיו זו הערכה טובה של ההיקף,"
אבל אם תתקרבו אפילו יותר על חלק זה של קו החוף יסתבר שזה לא נראה בדיוק כך,
זה בעצם נכנס פנימה והחוצה, כך,
אולי זה יראה בערך כך...
אז במקום שיהיו לכם הקוים הגסים האלה שפשוט מודדים את זה כך
אתם תאמרו "אפשר להתקרב קצת יותר ולחבק את זה אפילו יותר"
ואתם באמת יכול לעשות זאת עד שתגיעו לרמה האטומית!
אז קו החוף האמיתי של אי, או של יבשת, או של כל דבר, הוא למעשה דבר די 'פרקטלי',
ותוכלו לחשוב שיש לו היקף כמעט אינסופי
(ברור שבשלב מסוים אתם מגיעים לרמה האטומית אז זה לא יהיה בדיוק אותו דבר),
אבל זו בערך אותה התופעה, זה דבר מעניין לחשוב עליו באמת.