1
00:00:00,990 --> 00:00:06,898
אז בואו נאמר שזהו משולש שווה-צלעות ומה שאני רוצה לעשות,
זה ליצור עוד צורה ממשולש שווה-צלעות זה

2
00:00:06,898 --> 00:00:12,729
ואני אעשה זאת על-ידי חלוקת כל צלע במשולש לשלושה חלקים שווים

3
00:00:13,067 --> 00:00:15,236
...לשלושה חלקים שווים...

4
00:00:15,590 --> 00:00:20,277
המצולע שלי לא צויר במאופן מושלם,
אבל נראה לי שתוכלו להבין את הנקודה...

5
00:00:20,508 --> 00:00:23,785
ובקטע האמצעי אני רוצה לבנות משולש שווה צלעות נוסף

6
00:00:24,400 --> 00:00:29,159
...אז בקטע האמצעי כאן אני אצור עוד משולש שווה צלעות...

7
00:00:29,821 --> 00:00:32,205
...זה הולך להיראות בערך כך...

8
00:00:33,067 --> 00:00:34,825
...ואז גם כאן...

9
00:00:35,333 --> 00:00:37,677
...אני אבנה עוד משולש שווה צלעות...

10
00:00:37,800 --> 00:00:43,800
אם כן, מהמשולש שווה-צלעות המקורי
הגעתי למשהו שנראה כמו כוכב, או "מגן דוד",

11
00:00:43,800 --> 00:00:45,108
ואז אני אעשה זאת שוב!

12
00:00:45,262 --> 00:00:48,621
אז עבור כל צלע, אני אחלק אותה
לשלושה קטעים שווים,

13
00:00:48,913 --> 00:00:52,067
ובקטע האמצעי שלה אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף

14
00:00:52,267 --> 00:00:54,692
...אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף...

15
00:00:54,692 --> 00:00:59,569
...בקטע האמצעי, אני אבנה משולש שווה צלעות...

16
00:00:59,769 --> 00:01:01,938
ואני אעשה זאת עבור כל אחת מהצלעות

17
00:01:02,400 --> 00:01:07,071
כאן, וכאן...

18
00:01:07,071 --> 00:01:08,667
...נראה לי שאתם מבינים את הרעיון...

19
00:01:08,867 --> 00:01:10,241
...אבל אני רוצה שיהיה ברור...

20
00:01:12,241 --> 00:01:16,467
כך, וכך...

21
00:01:17,159 --> 00:01:21,508
...כמעט סיימתי לסבב הזה, למחזור הזה...

22
00:01:22,231 --> 00:01:23,421
וזה יראה כך.

23
00:01:23,421 --> 00:01:24,867
ואז אני יכול לעשות זאת שוב!

24
00:01:24,867 --> 00:01:29,067
את כל אחת מהצלעות אני יכול לחלק לשלושה קטעים שווים
ולבנות משולש שווה צלעות חדש

25
00:01:29,067 --> 00:01:31,769
כאן, וכאן, וכאן וכאן...

26
00:01:31,769 --> 00:01:33,502
...אני חושב שאתם מבינים לאן זה הולך...

27
00:01:33,841 --> 00:01:37,585
ואני יכול להמשיך לנצח נצחים.

28
00:01:37,800 --> 00:01:41,308
אז מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה
הוא לחשוב על מה שקורה כאן.

29
00:01:41,400 --> 00:01:45,800
מה שאני למעשה מצייר, אם נמשיך לעשות זאת שוב ושוב,

30
00:01:45,800 --> 00:01:56,067
בכל סבב אנחנו נחלק כל צלע לשלושה קטעים שווים, 
ובסבב הבא כל קטע אמצעי יהפוך למשולש שווה צלעות.

31
00:01:56,067 --> 00:02:00,313
הצורה שאנו מתארים כאן נקראת "פתית השלג של קוך",

32
00:02:00,436 --> 00:02:03,395
(ואני בטוח שאני מבטא "קוך" לא נכון [באנגלית: "קוץ'"])

33
00:02:03,979 --> 00:02:05,415
..."פתית השלג של קוך",

34
00:02:05,415 --> 00:02:10,159
והוא תואר לראשונה ע"י הג'נטלמן הזה כאן,
שהיה מתמטיקאי שוודי,

35
00:02:10,159 --> 00:02:12,856
נילס פביאן הֶלגֶה פון קוֹך,

36
00:02:12,856 --> 00:02:14,733
(ואני בטוח שאני טועה בהגיה...)

37
00:02:14,733 --> 00:02:17,564
וצורה זו היתה מהראשונות שהוגדרו כ-"פרקטל".

38
00:02:18,118 --> 00:02:19,825
אם כן, זהו "פרקטל".

39
00:02:20,133 --> 00:02:22,533
והסיבה שבגללה צורה זו נחשבת פרקטל

40
00:02:22,533 --> 00:02:25,338
היא שהיא נראית אותו דבר,
או נראית דומה,

41
00:02:25,338 --> 00:02:27,133
בכל קנה מידה בו נסתכל עליה.

42
00:02:27,133 --> 00:02:28,800
אז כשמסתכלים עליה בקנה המידה הנוכחי,

43
00:02:28,800 --> 00:02:30,600
...אם נסתכל כאן...

44
00:02:30,600 --> 00:02:35,400
נראה כמה משולשים עם בליטות עליהם,
אבל אז אם נתקרב פנימה, הישר לשם,

45
00:02:35,400 --> 00:02:38,467
אזי עדיין נראה את דפוס דומה.

46
00:02:38,467 --> 00:02:41,800
ואז אם נתקרב שוב,
נראה את התבנית הזו שוב ושוב.

47
00:02:41,800 --> 00:02:45,200
אם כן פרקטל הוא צורה שבכל קנה מידה,
בכל מידת התקרבות,

48
00:02:45,200 --> 00:02:47,533
נראית פחות או יותר אותו דבר.

49
00:02:47,533 --> 00:02:49,133
לכן צורה זו נקראת פרקטל.

50
00:02:49,133 --> 00:02:50,533
ומה שמעניין במיוחד,

51
00:02:50,533 --> 00:02:54,200
והסיבה שבגללה אני מזכיר את הצורה הזו
בשלב זה של הסרטונים על גאומטריה,

52
00:02:54,200 --> 00:02:57,400
היא שלצורה זו למעשה יש היקף אין-סופי,

53
00:02:57,400 --> 00:03:01,133
אם היינו ממשיכים לעשות זאת, 
אם היינו בפועל יוצרים את פתית-השלג של קוך,

54
00:03:01,133 --> 00:03:10,600
בו ממשיכים להוסיף משולשים קטנים אינסוף פעמים.

55
00:03:10,600 --> 00:03:14,467
ולהראות שיש לו היקף אינופי,
בואו פשוט נבחן צד אחד של הצורה הזו,

56
00:03:14,467 --> 00:03:15,867
...אז בואו נאמר שצד זה...

57
00:03:15,867 --> 00:03:20,467
...בואו נאמר שאנו מתחילים היכן
שהתחלנו עם המשולש המקורי, בצד זה,

58
00:03:20,467 --> 00:03:22,533
ובואו נאמר שיש לו אורך "S".

59
00:03:22,533 --> 00:03:27,041
ואז אנו מחלקים אותו שלושה קטעים שווים,

60
00:03:27,041 --> 00:03:30,723
...שלושה קטעים שווים ואלו יהיו S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3,

61
00:03:30,723 --> 00:03:32,077
...בעצם אכתוב זאת כך...

62
00:03:32,377 --> 00:03:36,800
...S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3...

63
00:03:36,800 --> 00:03:42,375
ובקטע האמצעי אנו בונים משולש שווה צלעות...

64
00:03:42,375 --> 00:03:47,800
אז כל צלע תהיה באורך S חלקי 3...
...S חלקי 3, S חלקי 3...

65
00:03:47,800 --> 00:03:51,600
ועכשיו האורך של החלק החדש הזה,

66
00:03:51,600 --> 00:03:53,600
(יותר אני לא יכול לקרוא לו קו
כי יש בו בליטה כזו)

67
00:03:53,600 --> 00:04:02,867
האורך של הקטע הזה כאן אינו באורך S יותר,
אלא באורך שליש S כפול ארבע.

68
00:04:02,867 --> 00:04:05,800
לפני-כן הוא היה שליש S כפול שלוש
וכעת יש לנו אחת, שתיים, שלוש...

69
00:04:05,800 --> 00:04:08,333
ארבע קטעים שהם שליש S.

70
00:04:08,333 --> 00:04:15,533
אז כעת, אחרי פעם אחת של תהליך
החלוקה ובניית המשולשים,

71
00:04:15,533 --> 00:04:16,867
החלק החדש שלנו,

72
00:04:16,867 --> 00:04:18,267
אחרי שהוספנו את הבליטה,

73
00:04:18,267 --> 00:04:23,979
יהיה לו אורך של 4 פעמים S חלקי 3
או ארבעה שלישים של S.

74
00:04:24,041 --> 00:04:32,000
אז אם ההיקף המקורי של הצורה שלנו,
כשהיתה משולש פשוט היתה P0,

75
00:04:32,000 --> 00:04:35,733
אחרי סיבוב אחד,
אחרי הוספת סט בליטות ראשון,

76
00:04:35,733 --> 00:04:37,400
ההיקף יהיה כעת...

77
00:04:37,400 --> 00:04:43,200
ההיקף יהיה 4/3 ההיקף המקורי,
מכיוון שכל צלע במשולש גדלה ב-4/3.

78
00:04:43,200 --> 00:04:48,400
אז P0 היה מורכב משלושה צדדים, 
עכשיו כל צד הוא בארבע-שלישים גדול יותר,

79
00:04:48,400 --> 00:04:50,200
אז ההיקף החדש יהיה ארבע שלישים מההיקף הישן.

80
00:04:50,200 --> 00:04:54,933
ואז נעשה סיבוב שני ובו ההיקף
יהיה ארבע שלישים מההיקף הקודם

81
00:04:54,933 --> 00:04:59,800
אז בכל סיבוב שתעשו ההיקף גדל פי ארבע שלישים,
או, בשליש אחד יותר גדול,

82
00:04:59,800 --> 00:05:04,200
ארבעה שלישים ביחס להיקף בסיבוב הקודם.

83
00:05:04,200 --> 00:05:11,000
אז אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
אם תכפילו את כל מספר ב-4/3 אינסוף פעמים,

84
00:05:11,000 --> 00:05:14,267
תקבלו אורך אינסופי.

85
00:05:14,267 --> 00:05:20,467
אם כן, P-אינסוף, ההיקף אם נבצע זאת אינסוף פעמים,
הוא אינסוף.

86
00:05:20,467 --> 00:05:24,800
וזה כלשעצמו דבר מגניב, 
חישבו על דבר-מה שיש לו היקף אינסופי...

87
00:05:24,800 --> 00:05:28,867
אבל מה שיותר מגניב זה שיש לו שטח סופי!

88
00:05:28,867 --> 00:05:32,867
וכשאני אומר שטח סופי, הוא אכן מכסה איזור תחום -

89
00:05:32,867 --> 00:05:36,667
אני יכול לצייר צורה מסביב לזה
ופתית-השלג לעולם לא יתרחב מעבר לה.

90
00:05:36,667 --> 00:05:38,000
ולחשוב על זה,

91
00:05:38,000 --> 00:05:39,467
(אני לא אעשה הוכחה פורמאלית עכשיו)

92
00:05:39,467 --> 00:05:42,333
חישבו על מה שקורה לכל אחד מהחלקים הללו -

93
00:05:42,333 --> 00:05:46,800
אז בסיבוב הראשון המשולש הזה צץ לו החוצה

94
00:05:46,800 --> 00:05:50,667
ואז,
אם תחשבו על זה, אם פשוט תציירו את מה שקורה,

95
00:05:50,667 --> 00:05:54,600
בסיבוב הבא תציירו את שני המשולשים האלה כאן,
ואת שני המשולשים האלה שם,

96
00:05:54,600 --> 00:06:00,292
ואז את בונים משולשים כאן, וכאן, וכאן וכאן,
ועוד ועוד,

97
00:06:00,292 --> 00:06:03,692
אבל שימו לב - 
אתם יכולים להוסיף עוד ועוד משולשים,

98
00:06:03,692 --> 00:06:05,215
מספר אינסופי של הבליטות האלה,

99
00:06:05,215 --> 00:06:08,400
אבל לעולם לא תעברו
מעבר לנקודה המקורית הזאת.

100
00:06:08,400 --> 00:06:12,000
והדבר הזה יהיה נכון גם באיזור הזה כאן,

101
00:06:12,000 --> 00:06:14,467
זה יהיה נכון גם באיזור הזה שכאן,

102
00:06:14,467 --> 00:06:17,267
וכן הדבר יהיה נכון בצד הזה שכאן,

103
00:06:17,267 --> 00:06:20,000
וגם בצד הזה כאן,

104
00:06:20,000 --> 00:06:22,800
וזה יהיה נכון גם באיזור שכאן.

105
00:06:22,800 --> 00:06:26,267
אז אפילו אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
הצורה הזאת,

106
00:06:26,267 --> 00:06:27,600
פתית השלג של קוך הזה,

107
00:06:27,600 --> 00:06:30,667
לעולם לא יהיה לו שטח גדול
מלמשושה שתוחם אותו.

108
00:06:30,667 --> 00:06:34,985
לחילופין לעולם לא יהיה לו
שטח גדול מלצורה שנראית כך,

109
00:06:34,985 --> 00:06:37,456
...אני סתם מצייר צורה סתמית...

110
00:06:37,548 --> 00:06:38,741
...אני רוצה לעשות זאת מחוץ למשושה...

111
00:06:38,741 --> 00:06:40,018
...אני יכול לצייר מעגל מחוץ לו,

112
00:06:41,600 --> 00:06:45,200
אז הדבר הזה שציירתי בכחול,
או המשושה הזה שציירתי בסגול,

113
00:06:45,200 --> 00:06:47,600
להם בבירור יש שטח קבוע,

114
00:06:47,600 --> 00:06:53,800
ופתית-השלג של קוך תמיד יהיה תחום -
אפילו שאנו יכולים להוסיף לו בליטות אינסוף פעמים.

115
00:06:53,800 --> 00:06:56,000
כמה דברים מגניבים יש כאן:

116
00:06:56,000 --> 00:06:59,267
אחד - זהו פרקטל,
אפשר להתקרב שוב-ושוב וזה יראה אותו דבר

117
00:06:59,267 --> 00:07:02,867
הדבר השני - 
אין-סוף! היקף אינסופי!

118
00:07:02,867 --> 00:07:05,533
ושטח סופי.

119
00:07:05,533 --> 00:07:10,944
ואתם עשויים לומר "טוב סאל, זה דבר מאוד מופשט,"
"צורות כאלו לא באמת קיימות בעולם האמיתי"

120
00:07:10,944 --> 00:07:15,333
וישנו ניסוי מחשבתי מהנה שאנשים
דיברו עליו בעולם הפרקטלים,

121
00:07:15,333 --> 00:07:19,800
והוא מציאת ההיקף של אנגליה,
ואתם יכולים למעשה לנסות זאת אם כל אי שהוא

122
00:07:19,800 --> 00:07:22,333
אז אנגליה נראית בערך...

123
00:07:22,333 --> 00:07:23,533
...אני לא מומחה... אתם יודעים...

124
00:07:23,533 --> 00:07:24,467
בואו נאמר שהיא נראית בערך כך.

125
00:07:24,467 --> 00:07:27,067
אז בהתחלה אתם עשויים להעריך את ההיקף,

126
00:07:27,067 --> 00:07:28,667
...ותמדדו את המרחק הזה...

127
00:07:28,667 --> 00:07:32,733
...תמדדו את המרחק הזה,
ועוד המרחק הזה,

128
00:07:32,733 --> 00:07:36,667
ועוד המרחק הזה...
ועוד המרחק הזה וזה וזה וזה.

129
00:07:36,667 --> 00:07:39,933
והנה - "יש לה היקף סופי"
"בבירור יש לה שטח סופי,"

130
00:07:39,933 --> 00:07:42,667
אבל אתם מסתכלים והנה -"יש לה הקיף סופי"

131
00:07:42,667 --> 00:07:45,400
אבל אז אתם אומרים "לא, זה לא מספיק טוב"
"אפשר להעריך את ההיקף טוב יותר"

132
00:07:45,400 --> 00:07:49,333
במקום לעשות זאת כל-כך גס,
תוכלו לעשות כמה קטעים קטנים יותר,

133
00:07:49,333 --> 00:07:52,867
תוכלו לעשות כמה קטעים קצרים יותר
כדי שתוכלו "לחבק" את החוף יותר טוב.

134
00:07:52,867 --> 00:07:55,667
ואז תאמרו "זו הערכה הרבה יותר טובה."

135
00:07:55,667 --> 00:07:58,733
אבל אז, 
בואו נאמר שאתם בפיסת חוף,

136
00:07:58,733 --> 00:08:01,667
...אם נתקרב...
...אם נתקרב מספיק...

137
00:08:01,667 --> 00:08:09,000
קטע החוף האמיתי יראה בערך כך...
לקטע החוף האמיתי יהיו כל מיני בליטות כאלו...

138
00:08:09,000 --> 00:08:14,400
ובסבב הקודם פשוט מדדתם את זה.

139
00:08:14,400 --> 00:08:16,267
ותאמרו "זה לא ההיקף של קו החוף",

140
00:08:16,267 --> 00:08:18,200
תצטרכו לעשות הרבה הרבה יותר קטעים,

141
00:08:18,200 --> 00:08:26,425
תצטרכו לעשות משהו כזה,
כדי באמת לקבל את ההיקף של קו החוף.

142
00:08:26,425 --> 00:08:29,267
ותאמרו - "עכשיו זו הערכה טובה של ההיקף,"

143
00:08:29,267 --> 00:08:35,867
אבל אם תתקרבו אפילו יותר על חלק זה של קו החוף
יסתבר שזה לא נראה בדיוק כך,

144
00:08:35,867 --> 00:08:38,067
זה בעצם נכנס פנימה והחוצה, כך,

145
00:08:38,067 --> 00:08:39,933
אולי זה יראה בערך כך...

146
00:08:39,933 --> 00:08:43,267
אז במקום שיהיו לכם הקוים הגסים האלה
שפשוט מודדים את זה כך

147
00:08:43,267 --> 00:08:46,800
אתם תאמרו "אפשר להתקרב קצת יותר
ולחבק את זה אפילו יותר"

148
00:08:46,800 --> 00:08:51,000
ואתם באמת יכול לעשות זאת
עד שתגיעו לרמה האטומית!

149
00:08:51,000 --> 00:09:00,400
אז קו החוף האמיתי של אי, או של יבשת,
או של כל דבר, הוא למעשה דבר די 'פרקטלי',

150
00:09:00,400 --> 00:09:03,800
ותוכלו לחשוב שיש לו היקף כמעט אינסופי

151
00:09:03,800 --> 00:09:07,000
(ברור שבשלב מסוים אתם מגיעים לרמה האטומית
אז זה לא יהיה בדיוק אותו דבר),

152
00:09:07,000 --> 00:09:10,933
אבל זו בערך אותה התופעה,
זה דבר מעניין לחשוב עליו באמת.