WEBVTT

00:00:00.990 --> 00:00:06.898
אז בואו נאמר שזהו משולש שווה-צלעות ומה שאני רוצה לעשות,
זה ליצור עוד צורה ממשולש שווה-צלעות זה

00:00:06.898 --> 00:00:12.729
ואני אעשה זאת על-ידי חלוקת כל צלע במשולש לשלושה חלקים שווים

00:00:13.067 --> 00:00:15.236
...לשלושה חלקים שווים...

00:00:15.590 --> 00:00:20.277
המצולע שלי לא צויר במאופן מושלם,
אבל נראה לי שתוכלו להבין את הנקודה...

00:00:20.508 --> 00:00:23.785
ובקטע האמצעי אני רוצה לבנות משולש שווה צלעות נוסף

00:00:24.400 --> 00:00:29.159
...אז בקטע האמצעי כאן אני אצור עוד משולש שווה צלעות...

00:00:29.821 --> 00:00:32.205
...זה הולך להיראות בערך כך...

00:00:33.067 --> 00:00:34.825
...ואז גם כאן...

00:00:35.333 --> 00:00:37.677
...אני אבנה עוד משולש שווה צלעות...

00:00:37.800 --> 00:00:43.800
אם כן, מהמשולש שווה-צלעות המקורי
הגעתי למשהו שנראה כמו כוכב, או "מגן דוד",

00:00:43.800 --> 00:00:45.108
ואז אני אעשה זאת שוב!

00:00:45.262 --> 00:00:48.621
אז עבור כל צלע, אני אחלק אותה
לשלושה קטעים שווים,

00:00:48.913 --> 00:00:52.067
ובקטע האמצעי שלה אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף

00:00:52.267 --> 00:00:54.692
...אני אבנה משולש שווה צלעות נוסף...

00:00:54.692 --> 00:00:59.569
...בקטע האמצעי, אני אבנה משולש שווה צלעות...

00:00:59.769 --> 00:01:01.938
ואני אעשה זאת עבור כל אחת מהצלעות

00:01:02.400 --> 00:01:07.071
כאן, וכאן...

00:01:07.071 --> 00:01:08.667
...נראה לי שאתם מבינים את הרעיון...

00:01:08.867 --> 00:01:10.241
...אבל אני רוצה שיהיה ברור...

00:01:12.241 --> 00:01:16.467
כך, וכך...

00:01:17.159 --> 00:01:21.508
...כמעט סיימתי לסבב הזה, למחזור הזה...

00:01:22.231 --> 00:01:23.421
וזה יראה כך.

00:01:23.421 --> 00:01:24.867
ואז אני יכול לעשות זאת שוב!

00:01:24.867 --> 00:01:29.067
את כל אחת מהצלעות אני יכול לחלק לשלושה קטעים שווים
ולבנות משולש שווה צלעות חדש

00:01:29.067 --> 00:01:31.769
כאן, וכאן, וכאן וכאן...

00:01:31.769 --> 00:01:33.502
...אני חושב שאתם מבינים לאן זה הולך...

00:01:33.841 --> 00:01:37.585
ואני יכול להמשיך לנצח נצחים.

00:01:37.800 --> 00:01:41.308
אז מה שאני רוצה לעשות בסרטון זה
הוא לחשוב על מה שקורה כאן.

00:01:41.400 --> 00:01:45.800
מה שאני למעשה מצייר, אם נמשיך לעשות זאת שוב ושוב,

00:01:45.800 --> 00:01:56.067
בכל סבב אנחנו נחלק כל צלע לשלושה קטעים שווים, 
ובסבב הבא כל קטע אמצעי יהפוך למשולש שווה צלעות.

00:01:56.067 --> 00:02:00.313
הצורה שאנו מתארים כאן נקראת "פתית השלג של קוך",

00:02:00.436 --> 00:02:03.395
(ואני בטוח שאני מבטא "קוך" לא נכון [באנגלית: "קוץ'"])

00:02:03.979 --> 00:02:05.415
..."פתית השלג של קוך",

00:02:05.415 --> 00:02:10.159
והוא תואר לראשונה ע"י הג'נטלמן הזה כאן,
שהיה מתמטיקאי שוודי,

00:02:10.159 --> 00:02:12.856
נילס פביאן הֶלגֶה פון קוֹך,

00:02:12.856 --> 00:02:14.733
(ואני בטוח שאני טועה בהגיה...)

00:02:14.733 --> 00:02:17.564
וצורה זו היתה מהראשונות שהוגדרו כ-"פרקטל".

00:02:18.118 --> 00:02:19.825
אם כן, זהו "פרקטל".

00:02:20.133 --> 00:02:22.533
והסיבה שבגללה צורה זו נחשבת פרקטל

00:02:22.533 --> 00:02:25.338
היא שהיא נראית אותו דבר,
או נראית דומה,

00:02:25.338 --> 00:02:27.133
בכל קנה מידה בו נסתכל עליה.

00:02:27.133 --> 00:02:28.800
אז כשמסתכלים עליה בקנה המידה הנוכחי,

00:02:28.800 --> 00:02:30.600
...אם נסתכל כאן...

00:02:30.600 --> 00:02:35.400
נראה כמה משולשים עם בליטות עליהם,
אבל אז אם נתקרב פנימה, הישר לשם,

00:02:35.400 --> 00:02:38.467
אזי עדיין נראה את דפוס דומה.

00:02:38.467 --> 00:02:41.800
ואז אם נתקרב שוב,
נראה את התבנית הזו שוב ושוב.

00:02:41.800 --> 00:02:45.200
אם כן פרקטל הוא צורה שבכל קנה מידה,
בכל מידת התקרבות,

00:02:45.200 --> 00:02:47.533
נראית פחות או יותר אותו דבר.

00:02:47.533 --> 00:02:49.133
לכן צורה זו נקראת פרקטל.

00:02:49.133 --> 00:02:50.533
ומה שמעניין במיוחד,

00:02:50.533 --> 00:02:54.200
והסיבה שבגללה אני מזכיר את הצורה הזו
בשלב זה של הסרטונים על גאומטריה,

00:02:54.200 --> 00:02:57.400
היא שלצורה זו למעשה יש היקף אין-סופי,

00:02:57.400 --> 00:03:01.133
אם היינו ממשיכים לעשות זאת, 
אם היינו בפועל יוצרים את פתית-השלג של קוך,

00:03:01.133 --> 00:03:10.600
בו ממשיכים להוסיף משולשים קטנים אינסוף פעמים.

00:03:10.600 --> 00:03:14.467
ולהראות שיש לו היקף אינופי,
בואו פשוט נבחן צד אחד של הצורה הזו,

00:03:14.467 --> 00:03:15.867
...אז בואו נאמר שצד זה...

00:03:15.867 --> 00:03:20.467
...בואו נאמר שאנו מתחילים היכן
שהתחלנו עם המשולש המקורי, בצד זה,

00:03:20.467 --> 00:03:22.533
ובואו נאמר שיש לו אורך "S".

00:03:22.533 --> 00:03:27.041
ואז אנו מחלקים אותו שלושה קטעים שווים,

00:03:27.041 --> 00:03:30.723
...שלושה קטעים שווים ואלו יהיו S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3,

00:03:30.723 --> 00:03:32.077
...בעצם אכתוב זאת כך...

00:03:32.377 --> 00:03:36.800
...S חלקי 3, S חלקי 3, S חלקי 3...

00:03:36.800 --> 00:03:42.375
ובקטע האמצעי אנו בונים משולש שווה צלעות...

00:03:42.375 --> 00:03:47.800
אז כל צלע תהיה באורך S חלקי 3...
...S חלקי 3, S חלקי 3...

00:03:47.800 --> 00:03:51.600
ועכשיו האורך של החלק החדש הזה,

00:03:51.600 --> 00:03:53.600
(יותר אני לא יכול לקרוא לו קו
כי יש בו בליטה כזו)

00:03:53.600 --> 00:04:02.867
האורך של הקטע הזה כאן אינו באורך S יותר,
אלא באורך שליש S כפול ארבע.

00:04:02.867 --> 00:04:05.800
לפני-כן הוא היה שליש S כפול שלוש
וכעת יש לנו אחת, שתיים, שלוש...

00:04:05.800 --> 00:04:08.333
ארבע קטעים שהם שליש S.

00:04:08.333 --> 00:04:15.533
אז כעת, אחרי פעם אחת של תהליך
החלוקה ובניית המשולשים,

00:04:15.533 --> 00:04:16.867
החלק החדש שלנו,

00:04:16.867 --> 00:04:18.267
אחרי שהוספנו את הבליטה,

00:04:18.267 --> 00:04:23.979
יהיה לו אורך של 4 פעמים S חלקי 3
או ארבעה שלישים של S.

00:04:24.041 --> 00:04:32.000
אז אם ההיקף המקורי של הצורה שלנו,
כשהיתה משולש פשוט היתה P0,

00:04:32.000 --> 00:04:35.733
אחרי סיבוב אחד,
אחרי הוספת סט בליטות ראשון,

00:04:35.733 --> 00:04:37.400
ההיקף יהיה כעת...

00:04:37.400 --> 00:04:43.200
ההיקף יהיה 4/3 ההיקף המקורי,
מכיוון שכל צלע במשולש גדלה ב-4/3.

00:04:43.200 --> 00:04:48.400
אז P0 היה מורכב משלושה צדדים, 
עכשיו כל צד הוא בארבע-שלישים גדול יותר,

00:04:48.400 --> 00:04:50.200
אז ההיקף החדש יהיה ארבע שלישים מההיקף הישן.

00:04:50.200 --> 00:04:54.933
ואז נעשה סיבוב שני ובו ההיקף
יהיה ארבע שלישים מההיקף הקודם

00:04:54.933 --> 00:04:59.800
אז בכל סיבוב שתעשו ההיקף גדל פי ארבע שלישים,
או, בשליש אחד יותר גדול,

00:04:59.800 --> 00:05:04.200
ארבעה שלישים ביחס להיקף בסיבוב הקודם.

00:05:04.200 --> 00:05:11.000
אז אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
אם תכפילו את כל מספר ב-4/3 אינסוף פעמים,

00:05:11.000 --> 00:05:14.267
תקבלו אורך אינסופי.

00:05:14.267 --> 00:05:20.467
אם כן, P-אינסוף, ההיקף אם נבצע זאת אינסוף פעמים,
הוא אינסוף.

00:05:20.467 --> 00:05:24.800
וזה כלשעצמו דבר מגניב, 
חישבו על דבר-מה שיש לו היקף אינסופי...

00:05:24.800 --> 00:05:28.867
אבל מה שיותר מגניב זה שיש לו שטח סופי!

00:05:28.867 --> 00:05:32.867
וכשאני אומר שטח סופי, הוא אכן מכסה איזור תחום -

00:05:32.867 --> 00:05:36.667
אני יכול לצייר צורה מסביב לזה
ופתית-השלג לעולם לא יתרחב מעבר לה.

00:05:36.667 --> 00:05:38.000
ולחשוב על זה,

00:05:38.000 --> 00:05:39.467
(אני לא אעשה הוכחה פורמאלית עכשיו)

00:05:39.467 --> 00:05:42.333
חישבו על מה שקורה לכל אחד מהחלקים הללו -

00:05:42.333 --> 00:05:46.800
אז בסיבוב הראשון המשולש הזה צץ לו החוצה

00:05:46.800 --> 00:05:50.667
ואז,
אם תחשבו על זה, אם פשוט תציירו את מה שקורה,

00:05:50.667 --> 00:05:54.600
בסיבוב הבא תציירו את שני המשולשים האלה כאן,
ואת שני המשולשים האלה שם,

00:05:54.600 --> 00:06:00.292
ואז את בונים משולשים כאן, וכאן, וכאן וכאן,
ועוד ועוד,

00:06:00.292 --> 00:06:03.692
אבל שימו לב - 
אתם יכולים להוסיף עוד ועוד משולשים,

00:06:03.692 --> 00:06:05.215
מספר אינסופי של הבליטות האלה,

00:06:05.215 --> 00:06:08.400
אבל לעולם לא תעברו
מעבר לנקודה המקורית הזאת.

00:06:08.400 --> 00:06:12.000
והדבר הזה יהיה נכון גם באיזור הזה כאן,

00:06:12.000 --> 00:06:14.467
זה יהיה נכון גם באיזור הזה שכאן,

00:06:14.467 --> 00:06:17.267
וכן הדבר יהיה נכון בצד הזה שכאן,

00:06:17.267 --> 00:06:20.000
וגם בצד הזה כאן,

00:06:20.000 --> 00:06:22.800
וזה יהיה נכון גם באיזור שכאן.

00:06:22.800 --> 00:06:26.267
אז אפילו אם תעשו זאת אינסוף פעמים,
הצורה הזאת,

00:06:26.267 --> 00:06:27.600
פתית השלג של קוך הזה,

00:06:27.600 --> 00:06:30.667
לעולם לא יהיה לו שטח גדול
מלמשושה שתוחם אותו.

00:06:30.667 --> 00:06:34.985
לחילופין לעולם לא יהיה לו
שטח גדול מלצורה שנראית כך,

00:06:34.985 --> 00:06:37.456
...אני סתם מצייר צורה סתמית...

00:06:37.548 --> 00:06:38.741
...אני רוצה לעשות זאת מחוץ למשושה...

00:06:38.741 --> 00:06:40.018
...אני יכול לצייר מעגל מחוץ לו,

00:06:41.600 --> 00:06:45.200
אז הדבר הזה שציירתי בכחול,
או המשושה הזה שציירתי בסגול,

00:06:45.200 --> 00:06:47.600
להם בבירור יש שטח קבוע,

00:06:47.600 --> 00:06:53.800
ופתית-השלג של קוך תמיד יהיה תחום -
אפילו שאנו יכולים להוסיף לו בליטות אינסוף פעמים.

00:06:53.800 --> 00:06:56.000
כמה דברים מגניבים יש כאן:

00:06:56.000 --> 00:06:59.267
אחד - זהו פרקטל,
אפשר להתקרב שוב-ושוב וזה יראה אותו דבר

00:06:59.267 --> 00:07:02.867
הדבר השני - 
אין-סוף! היקף אינסופי!

00:07:02.867 --> 00:07:05.533
ושטח סופי.

00:07:05.533 --> 00:07:10.944
ואתם עשויים לומר "טוב סאל, זה דבר מאוד מופשט,"
"צורות כאלו לא באמת קיימות בעולם האמיתי"

00:07:10.944 --> 00:07:15.333
וישנו ניסוי מחשבתי מהנה שאנשים
דיברו עליו בעולם הפרקטלים,

00:07:15.333 --> 00:07:19.800
והוא מציאת ההיקף של אנגליה,
ואתם יכולים למעשה לנסות זאת אם כל אי שהוא

00:07:19.800 --> 00:07:22.333
אז אנגליה נראית בערך...

00:07:22.333 --> 00:07:23.533
...אני לא מומחה... אתם יודעים...

00:07:23.533 --> 00:07:24.467
בואו נאמר שהיא נראית בערך כך.

00:07:24.467 --> 00:07:27.067
אז בהתחלה אתם עשויים להעריך את ההיקף,

00:07:27.067 --> 00:07:28.667
...ותמדדו את המרחק הזה...

00:07:28.667 --> 00:07:32.733
...תמדדו את המרחק הזה,
ועוד המרחק הזה,

00:07:32.733 --> 00:07:36.667
ועוד המרחק הזה...
ועוד המרחק הזה וזה וזה וזה.

00:07:36.667 --> 00:07:39.933
והנה - "יש לה היקף סופי"
"בבירור יש לה שטח סופי,"

00:07:39.933 --> 00:07:42.667
אבל אתם מסתכלים והנה -"יש לה הקיף סופי"

00:07:42.667 --> 00:07:45.400
אבל אז אתם אומרים "לא, זה לא מספיק טוב"
"אפשר להעריך את ההיקף טוב יותר"

00:07:45.400 --> 00:07:49.333
במקום לעשות זאת כל-כך גס,
תוכלו לעשות כמה קטעים קטנים יותר,

00:07:49.333 --> 00:07:52.867
תוכלו לעשות כמה קטעים קצרים יותר
כדי שתוכלו "לחבק" את החוף יותר טוב.

00:07:52.867 --> 00:07:55.667
ואז תאמרו "זו הערכה הרבה יותר טובה."

00:07:55.667 --> 00:07:58.733
אבל אז, 
בואו נאמר שאתם בפיסת חוף,

00:07:58.733 --> 00:08:01.667
...אם נתקרב...
...אם נתקרב מספיק...

00:08:01.667 --> 00:08:09.000
קטע החוף האמיתי יראה בערך כך...
לקטע החוף האמיתי יהיו כל מיני בליטות כאלו...

00:08:09.000 --> 00:08:14.400
ובסבב הקודם פשוט מדדתם את זה.

00:08:14.400 --> 00:08:16.267
ותאמרו "זה לא ההיקף של קו החוף",

00:08:16.267 --> 00:08:18.200
תצטרכו לעשות הרבה הרבה יותר קטעים,

00:08:18.200 --> 00:08:26.425
תצטרכו לעשות משהו כזה,
כדי באמת לקבל את ההיקף של קו החוף.

00:08:26.425 --> 00:08:29.267
ותאמרו - "עכשיו זו הערכה טובה של ההיקף,"

00:08:29.267 --> 00:08:35.867
אבל אם תתקרבו אפילו יותר על חלק זה של קו החוף
יסתבר שזה לא נראה בדיוק כך,

00:08:35.867 --> 00:08:38.067
זה בעצם נכנס פנימה והחוצה, כך,

00:08:38.067 --> 00:08:39.933
אולי זה יראה בערך כך...

00:08:39.933 --> 00:08:43.267
אז במקום שיהיו לכם הקוים הגסים האלה
שפשוט מודדים את זה כך

00:08:43.267 --> 00:08:46.800
אתם תאמרו "אפשר להתקרב קצת יותר
ולחבק את זה אפילו יותר"

00:08:46.800 --> 00:08:51.000
ואתם באמת יכול לעשות זאת
עד שתגיעו לרמה האטומית!

00:08:51.000 --> 00:09:00.400
אז קו החוף האמיתי של אי, או של יבשת,
או של כל דבר, הוא למעשה דבר די 'פרקטלי',

00:09:00.400 --> 00:09:03.800
ותוכלו לחשוב שיש לו היקף כמעט אינסופי

00:09:03.800 --> 00:09:07.000
(ברור שבשלב מסוים אתם מגיעים לרמה האטומית
אז זה לא יהיה בדיוק אותו דבר),

00:09:07.000 --> 00:09:10.933
אבל זו בערך אותה התופעה,
זה דבר מעניין לחשוב עליו באמת.