-
Vi har en ligesidet trekant.
-
Vi vil gerne lave andre figurer
-
ud af den ligesidede trekant.
-
Det gør vi ved at at tage alle trekantens sider
-
og dele dem i 3 lige store dele.
-
Selvom trekanten ikke er tegnet helt lige,
-
skal vi bare forstå meningen med formlen.
-
I den midterste del
-
konstruerer vi endnu en ligesidet trekant.
-
I den midterste del, som vi har herovre,
-
konstruerer vi en ligesidet trekant.
-
Det ser sådan her ud.
-
Nu indsætter vi herovre
-
endnu en ligesidet trekant.
-
Vi er nu gået fra en ligesidet trekant
-
til noget, der ligner en stjerne.
-
Det gør vi igen.
-
Alle sider deler vi altså ind i 3 lige store dele.
-
I det midterste linjestykke indsætter vi en ligesidet trekant.
-
.
-
Vi indsætter en ligesidet trekant her.
-
Det gør vi på alle trekantens sider.
-
.
-
Nu har vi forstået meningen, og trekanten vil nu
-
se sådan her ud.
-
For lige at repetere, så forsvinder den her.
-
Nu ser den sådan ud.
-
Så kan vi gøre det igen.
-
Alle linjestykkerne deler vi op i 3 lige store dele
-
og tegner endnu en ligesidet trekant.
-
Ligesom der, der, der, der, der og der.
-
Nu kan vi godt forstå, hvad det er, der sker.
-
Det her kan vi blive ved med at gøre.
-
Det vi skal lave i den her video er derfor at tænke over,
-
hvad det er, der sker,
-
og hvad det er, vi tegner.
-
Vi kan blive ved med at gøre det.
-
Ved hver gentagelse kigger vi på alle sider
-
og deler dem i 3 lige store dele,
-
og så vil den næste gentagelse være 3 lige store dele,
-
og i den næste gentagelse
-
gør vi igen det midterste linjestykke til endnu en ligesidet trekant.
-
Den figur, vi beskriver her,
-
kalder vi Kochs Snefnug.
-
.
-
Kochs Snefnug
-
blev først beskrevet af manden, vi ser her,
-
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.
-
.
-
Det her er en af de første beskrevne fraktaler.
-
Det her er altså en fraktal.
-
Grunden til, at det er en fraktal,
-
er at den ligner sig selv
-
ligemeget i hvilket målestoksforhold, vi ser den.
-
Hvis vi kigger på den i det her målestoksforhold,
-
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.
-
Hvis vi zoomer ind,
-
vil vi se det samme slags mønster.
-
Zoomer vi endnu længere ind,
-
ser vi det igen og igen.
-
En fraktal er altså noget, som i alle målestoksforhold
-
ser nogenlunde ser ens ud.
-
Det er derfor, at det kaldes en fraktal.
-
Det som er interessant
-
og er grunden til, at den hører under den her kategori af geometri er,
-
at figuren rent faktisk har en ubegrænset omkreds.
-
Hvis vi bliver ved med at gøre det,
-
altså hvis vi vil lave Kochs Snefnug,
-
skal vi gøre det et uendeligt antal gange
-
på hver enkelt mindre trekant her,
-
vi bliver ved med at tilføje endnu en ligesidet trekant på dens side.
-
For at vise,
-
at den har en ubegrænset omkreds, kigger vi på den side herovre.
-
.
-
Vi starter her, hvor vi begyndte
-
med den originale trekant. Det er den her side.
-
Vi siger, at den har længden S.
-
Vi deler den ind i 3 lige store dele.
-
.
-
Vi har S/3, og det kan vi skrive som
-
S/3, S/3 og S/3.
-
I den midterste del laver vi en ligesiden trekant.
-
.
-
Alle de her sider er lig med S/3.
-
S/3, S/3.
-
Nu har vi længden af den nye del.
-
Vi kan ikke kalde det en linje mere, da den har et lille bump.
-
Længden af den her del herovre, den her side,
-
har nu ikke mere længden S.
-
Den er nu S/3 gange 4.
-
Før var den S/3 gange 3,
-
men nu har vi 1, 2, 3, 4 segmenter, som hedder S/3.
-
Efter en enkelt gang, efter ét skridt,
-
efter vi en enkelt gang har tilføjet trekanter
-
til vores nye side,
-
efter vi har fået bumpet, har vi nu 4 gange S/3 eller 4/3s.
-
Hvis den originale omkreds, når den er en trekant er lig med P minus 0,
-
efter første trin, efter vi har et sæt bump,
-
er vores omkreds lig med
-
4/3 gange den originale omkreds,
-
da alle siderne nu vil være 4/3 større.
-
Hvis den her er lavet af tre sider,
-
er alle siderne nu 4/3 større.
-
Så er den nye omkreds 4/3 gange det.
-
Nu skal vi lave det næste skridt.
-
Det er 4/3 gange det første skridt.
-
For hvert skridt vi tager, bliver den 4/3 større.
-
Den bliver altså 4/3 større
-
i forhold til det sidste skridt.
-
Hvis vi gør det et uendeligt antal gange,
-
hvis vi altså ganger ethvert tal med 4/3 et uendeligt antal gange,
-
får vi et uendeligt tal, der beskriver en uendelig længde.
-
P uendelig
-
er omkredsen, som hvis vi gør det et uendeligt antal gange, er uendelig.
-
I sig selv er det ret sejt
-
bare at tænke på noget, som har en uendelig omkreds.
-
Hvad der er endnu bedre er, at den rent faktisk har et begrænset areal.
-
Når vi siger et begrænset areal,
-
dækker det over et afgrænset omfang af plads.
-
Vi kan rent faktisk tegne en figur rundt om det her,
-
og så vil den aldrig udvide sig mere end figuren.
-
Vi laver ikke et formelt bevis.
-
Vi tænker bare over, hvad der sker på hvilken som helst af de her sider.
-
I det første skridt har vi den her trekant, som bliver delt.
-
Vi tegner lige, hvad der sker,
-
så er den næste gentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter herovre
-
og de her 2 tegn herovre.
-
Så indsætter vi nogle trekanter herovre
-
og her, og her, og her, og her, og så videre.
-
Vi skal lægge mærke til, at vi kan blive ved med at lægge flere og flere til.
-
Vi kan altså lægge et uendeligt antal af de her bump til,
-
men vi kommer aldrig videre end udgangspunktet.
-
Det samme er gældende på den side lige her.
-
Det gælder også på den side her
-
og også på den her
-
og den side herovre.
-
Også den side vi har her.
-
Selvom vi gør det et uendeligt antal gange,
-
vil den her figur, Kochs Snefnug,
-
aldrig have et større areal end den afgrænsende sekskant,
-
og den vil heller ikke have et større areal
-
end en figur, som ligner noget som den her.
-
Vi tegner en vilkårlig cirkel.
-
Vi vil gerne tegne den uden for sekskanten.
-
.
-
Det vi lige har tegnet i blå, eller den sekskant, som er tegnet i lilla,
-
de har tydeligvis et areal.
-
Kochs Snefnug vil altid være afgrænset,
-
også selvom vi kan tilføje de her bump et uendeligt antal gange.
-
Vi har altså set en masse seje ting.
-
For det første er det en fraktal.
-
Vi kan zoome ind, og den vil stadig se ud som det samme.
-
Endnu en ting, en ubestemt omkreds og et bestemt areal.
-
Det kan godt være, at vi tænker, at det er meget abstrakt.
-
Ting som dem her eksisterer ikke i den virkelige verden.
-
Det er et eksperiment,
-
som folk taler om i fraktalverdenen.
-
Det er at finde omkredsen af England
-
eller hvilken som helst ø.
-
England ligner lidt,
-
ikke at vi er geografieksperter,
-
men det ligner noget i stil med det her.
-
Først gætter vi måske omkredsen
-
og måler den her afstand.
-
Vi kan også måle den her afstand plus den her afstand
-
plus den her afstand plus den her afstand plus den her anstand plus den her afstand.
-
.
-
Den har en begrænset omkreds.
-
Den har tydeligvis også et begrænset areal.
-
.
-
Det kan godt være vi tænker, at det ikke er lige så godt,
-
og at vi er nødt til at gætte omkredsen en smule bedre end det.
-
I stedet for at gøre det så groft
-
er vi nødt til at lave en masse små linjer,
-
.
-
så vi kan komme tæt på kystlinjen, og så synes vi,
-
at det er et meget bedre gæt.
-
Men lad os sige, at hvis vi zoomer nok ind,
-
.
-
vil kystlinjen ligne noget i stil med det her.
-
Kystlinjen vil altså have alle de her små buler i den.
-
Da vi tog det første skridt,
-
målte vi bare det her.
-
Nu tænker vi, at det jo ikke er omkredsen af kystlinjen.
-
Vi er nødt til at gøre det på mange flere sider.
-
Vi skal gøre noget i stil med det her
-
for rent faktisk at finde omkredsen af kystlinjen.
-
Det kan godt være, at vi tænker, at det var en godt gæt af omkredsen,
-
men hvis vi zoomer endnu mere ind på den her del af kystlinjen,
-
finder vi ud af, at det rent faktisk ikke helt ser sådan ud.
-
Det vil gå ind og ud sådan her.
-
.
-
I stedet for at have de her grove linjer, der bare måler det sådan her,
-
.
-
er vi nødt til at komme endnu tættere på.
-
Det kan vi blive ved med,
-
indtil vi kommer ned på det atomare niveau.
-
Den faktiske omkreds af en ø,
-
eller et kontinent, eller hvad som helst, er rent faktisk lidt i samme kategori som fraktaler.
-
Vi kan tænke på det som noget,
-
der har en næsten bestemt omkreds.
-
På et eller andet tidspunkt
-
kommer vi ned på et atomart niveau,
-
og så vil det ikke være helt det samme,
-
men det er lidt det samme fænomen.
-
Det er interessant at tænke over.
