1
00:00:00,000 --> 00:00:03,090
Vi har en ligesidet trekant.

2
00:00:03,090 --> 00:00:05,050
Vi vil gerne lave andre figurer

3
00:00:05,050 --> 00:00:06,540
ud af den ligesidede trekant.

4
00:00:06,540 --> 00:00:08,980
Det gør vi ved at at tage alle trekantens sider

5
00:00:09,000 --> 00:00:14,540
og dele dem i 3 lige store dele.

6
00:00:14,540 --> 00:00:18,790
Selvom trekanten ikke er tegnet helt lige,

7
00:00:18,790 --> 00:00:20,110
skal vi bare forstå meningen med formlen.

8
00:00:20,110 --> 00:00:21,430
I den midterste del

9
00:00:21,450 --> 00:00:23,290
konstruerer vi endnu en ligesidet trekant.

10
00:00:23,290 --> 00:00:25,510
I den midterste del, som vi har herovre,

11
00:00:25,540 --> 00:00:28,640
konstruerer vi en ligesidet trekant.

12
00:00:28,640 --> 00:00:31,550
Det ser sådan her ud.

13
00:00:31,550 --> 00:00:33,860
Nu indsætter vi herovre

14
00:00:33,860 --> 00:00:37,130
endnu en ligesidet trekant.

15
00:00:37,130 --> 00:00:40,320
Vi er nu gået fra en ligesidet trekant

16
00:00:40,340 --> 00:00:43,320
til noget, der ligner en stjerne.

17
00:00:43,370 --> 00:00:45,420
Det gør vi igen.

18
00:00:45,420 --> 00:00:48,390
Alle sider deler vi altså ind i 3 lige store dele.

19
00:00:48,390 --> 00:00:51,490
I det midterste linjestykke indsætter vi en ligesidet trekant.

20
00:00:51,490 --> 00:00:54,150
.

21
00:00:54,150 --> 00:00:59,280
Vi indsætter en ligesidet trekant her.

22
00:00:59,280 --> 00:01:01,660
Det gør vi på alle trekantens sider.

23
00:01:01,660 --> 00:01:04,560
.

24
00:01:04,560 --> 00:01:10,860
Nu har vi forstået meningen, og trekanten vil nu

25
00:01:10,860 --> 00:01:16,270
se sådan her ud.

26
00:01:16,270 --> 00:01:20,850
For lige at repetere, så forsvinder den her.

27
00:01:20,850 --> 00:01:22,950
Nu ser den sådan ud.

28
00:01:22,990 --> 00:01:24,210
Så kan vi gøre det igen.

29
00:01:24,210 --> 00:01:27,020
Alle linjestykkerne deler vi op i 3 lige store dele

30
00:01:27,020 --> 00:01:28,340
og tegner endnu en ligesidet trekant.

31
00:01:28,340 --> 00:01:32,210
Ligesom der, der, der, der, der og der.

32
00:01:32,210 --> 00:01:33,270
Nu kan vi godt forstå, hvad det er, der sker.

33
00:01:33,270 --> 00:01:37,020
Det her kan vi blive ved med at gøre.

34
00:01:37,020 --> 00:01:39,710
Det vi skal lave i den her video er derfor at tænke over,

35
00:01:39,710 --> 00:01:40,860
hvad det er, der sker,

36
00:01:40,860 --> 00:01:42,490
og hvad det er, vi tegner.

37
00:01:42,490 --> 00:01:45,090
Vi kan blive ved med at gøre det.

38
00:01:45,090 --> 00:01:48,100
Ved hver gentagelse kigger vi på alle sider

39
00:01:48,130 --> 00:01:49,520
og deler dem i 3 lige store dele,

40
00:01:49,520 --> 00:01:52,460
og så vil den næste gentagelse være 3 lige store dele,

41
00:01:52,460 --> 00:01:53,320
og i den næste gentagelse

42
00:01:53,320 --> 00:01:55,480
gør vi igen det midterste linjestykke til endnu en ligesidet trekant.

43
00:01:55,480 --> 00:01:58,240
Den figur, vi beskriver her,

44
00:01:58,240 --> 00:02:00,200
kalder vi Kochs Snefnug.

45
00:02:00,200 --> 00:02:02,890
.

46
00:02:02,890 --> 00:02:05,180
Kochs Snefnug

47
00:02:05,230 --> 00:02:07,810
blev først beskrevet af manden, vi ser her,

48
00:02:07,810 --> 00:02:12,490
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.

49
00:02:12,490 --> 00:02:14,640
.

50
00:02:14,670 --> 00:02:17,250
Det her er en af de første beskrevne fraktaler.

51
00:02:17,270 --> 00:02:19,850
Det her er altså en fraktal.

52
00:02:19,850 --> 00:02:22,000
Grunden til, at det er en fraktal,

53
00:02:22,000 --> 00:02:23,790
er at den ligner sig selv

54
00:02:23,810 --> 00:02:26,340
ligemeget i hvilket målestoksforhold, vi ser den.

55
00:02:26,340 --> 00:02:29,890
Hvis vi kigger på den i det her målestoksforhold,

56
00:02:29,910 --> 00:02:32,410
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.

57
00:02:32,410 --> 00:02:34,890
Hvis vi zoomer ind,

58
00:02:34,910 --> 00:02:37,860
vil vi se det samme slags mønster.

59
00:02:37,860 --> 00:02:39,840
Zoomer vi endnu længere ind,

60
00:02:39,860 --> 00:02:41,520
ser vi det igen og igen.

61
00:02:41,580 --> 00:02:43,470
En fraktal er altså noget, som i alle målestoksforhold

62
00:02:43,470 --> 00:02:46,810
ser nogenlunde ser ens ud.

63
00:02:46,810 --> 00:02:48,700
Det er derfor, at det kaldes en fraktal.

64
00:02:48,720 --> 00:02:50,150
Det som er interessant

65
00:02:50,200 --> 00:02:53,530
og er grunden til, at den hører under den her kategori af geometri er,

66
00:02:53,530 --> 00:02:56,790
at figuren rent faktisk har en ubegrænset omkreds.

67
00:02:56,790 --> 00:02:58,330
Hvis vi bliver ved med at gøre det,

68
00:02:58,370 --> 00:02:59,900
altså hvis vi vil lave Kochs Snefnug,

69
00:02:59,900 --> 00:03:03,260
skal vi gøre det et uendeligt antal gange

70
00:03:03,280 --> 00:03:05,240
på hver enkelt mindre trekant her,

71
00:03:05,280 --> 00:03:09,910
vi bliver ved med at tilføje endnu en ligesidet trekant på dens side.

72
00:03:09,930 --> 00:03:11,680
For at vise,

73
00:03:11,680 --> 00:03:13,440
at den har en ubegrænset omkreds, kigger vi på den side herovre.

74
00:03:13,440 --> 00:03:16,000
.

75
00:03:16,000 --> 00:03:18,550
Vi starter her, hvor vi begyndte

76
00:03:18,550 --> 00:03:20,050
med den originale trekant. Det er den her side.

77
00:03:20,080 --> 00:03:21,480
Vi siger, at den har længden S.

78
00:03:21,520 --> 00:03:23,930
Vi deler den ind i 3 lige store dele.

79
00:03:23,960 --> 00:03:26,290
.

80
00:03:26,310 --> 00:03:30,810
Vi har S/3, og det kan vi skrive som

81
00:03:30,810 --> 00:03:35,940
S/3, S/3 og S/3.

82
00:03:35,940 --> 00:03:38,820
I den midterste del laver vi en ligesiden trekant.

83
00:03:38,820 --> 00:03:41,910
.

84
00:03:41,910 --> 00:03:44,090
Alle de her sider er lig med S/3.

85
00:03:44,090 --> 00:03:47,000
S/3, S/3.

86
00:03:47,000 --> 00:03:50,700
Nu har vi længden af den nye del.

87
00:03:50,700 --> 00:03:53,270
Vi kan ikke kalde det en linje mere, da den har et lille bump.

88
00:03:53,290 --> 00:03:56,880
Længden af den her del herovre, den her side,

89
00:03:56,880 --> 00:03:59,110
har nu ikke mere længden S.

90
00:03:59,150 --> 00:04:01,620
Den er nu S/3 gange 4.

91
00:04:01,620 --> 00:04:03,360
Før var den S/3 gange 3,

92
00:04:03,360 --> 00:04:07,550
men nu har vi 1, 2, 3, 4 segmenter, som hedder S/3.

93
00:04:07,550 --> 00:04:10,500
Efter en enkelt gang, efter ét skridt,

94
00:04:10,500 --> 00:04:14,930
efter vi en enkelt gang har tilføjet trekanter

95
00:04:14,930 --> 00:04:16,300
til vores nye side,

96
00:04:16,340 --> 00:04:23,560
efter vi har fået bumpet, har vi nu 4 gange S/3 eller 4/3s.

97
00:04:23,560 --> 00:04:30,950
Hvis den originale omkreds, når den er en trekant er lig med P minus 0,

98
00:04:30,950 --> 00:04:34,230
efter første trin, efter vi har et sæt bump,

99
00:04:34,230 --> 00:04:35,670
er vores omkreds lig med

100
00:04:35,710 --> 00:04:39,880
4/3 gange den originale omkreds,

101
00:04:39,880 --> 00:04:42,660
da alle siderne nu vil være 4/3 større.

102
00:04:42,660 --> 00:04:44,270
Hvis den her er lavet af tre sider,

103
00:04:44,290 --> 00:04:46,690
er alle siderne nu 4/3 større.

104
00:04:46,690 --> 00:04:48,950
Så er den nye omkreds 4/3 gange det.

105
00:04:48,950 --> 00:04:51,980
Nu skal vi lave det næste skridt.

106
00:04:51,980 --> 00:04:54,470
Det er 4/3 gange det første skridt.

107
00:04:54,470 --> 00:04:57,740
For hvert skridt vi tager, bliver den 4/3 større.

108
00:04:57,790 --> 00:05:00,190
Den bliver altså 4/3 større

109
00:05:00,190 --> 00:05:03,550
i forhold til det sidste skridt.

110
00:05:03,610 --> 00:05:05,590
Hvis vi gør det et uendeligt antal gange,

111
00:05:05,590 --> 00:05:10,740
hvis vi altså ganger ethvert tal med 4/3 et uendeligt antal gange,

112
00:05:10,740 --> 00:05:13,760
får vi et uendeligt tal, der beskriver en uendelig længde.

113
00:05:13,760 --> 00:05:16,340
P uendelig

114
00:05:16,360 --> 00:05:19,910
er omkredsen, som hvis vi gør det et uendeligt antal gange, er uendelig.

115
00:05:19,940 --> 00:05:22,140
I sig selv er det ret sejt

116
00:05:22,190 --> 00:05:24,300
bare at tænke på noget, som har en uendelig omkreds.

117
00:05:24,300 --> 00:05:28,260
Hvad der er endnu bedre er, at den rent faktisk har et begrænset areal.

118
00:05:28,260 --> 00:05:30,120
Når vi siger et begrænset areal,

119
00:05:30,120 --> 00:05:32,480
dækker det over et afgrænset omfang af plads.

120
00:05:32,480 --> 00:05:34,490
Vi kan rent faktisk tegne en figur rundt om det her,

121
00:05:34,490 --> 00:05:36,340
og så vil den aldrig udvide sig mere end figuren.

122
00:05:36,340 --> 00:05:38,960
Vi laver ikke et formelt bevis.

123
00:05:38,960 --> 00:05:41,600
Vi tænker bare over, hvad der sker på hvilken som helst af de her sider.

124
00:05:41,600 --> 00:05:45,550
I det første skridt har vi den her trekant, som bliver delt.

125
00:05:45,550 --> 00:05:49,540
Vi tegner lige, hvad der sker,

126
00:05:49,540 --> 00:05:52,280
så er den næste gentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter herovre

127
00:05:52,310 --> 00:05:53,940
og de her 2 tegn herovre.

128
00:05:53,940 --> 00:05:56,230
Så indsætter vi nogle trekanter herovre

129
00:05:56,260 --> 00:05:59,600
og her, og her, og her, og her, og så videre.

130
00:05:59,630 --> 00:06:02,520
Vi skal lægge mærke til, at vi kan blive ved med at lægge flere og flere til.

131
00:06:02,520 --> 00:06:04,980
Vi kan altså lægge et uendeligt antal af de her bump til,

132
00:06:05,020 --> 00:06:07,070
men vi kommer aldrig videre end udgangspunktet.

133
00:06:07,070 --> 00:06:11,220
Det samme er gældende på den side lige her.

134
00:06:11,220 --> 00:06:13,840
Det gælder også på den side her

135
00:06:13,870 --> 00:06:17,540
og også på den her

136
00:06:17,540 --> 00:06:19,550
og den side herovre.

137
00:06:19,550 --> 00:06:22,330
Også den side vi har her.

138
00:06:22,350 --> 00:06:24,590
Selvom vi gør det et uendeligt antal gange,

139
00:06:24,590 --> 00:06:27,120
vil den her figur, Kochs Snefnug,

140
00:06:27,160 --> 00:06:30,130
aldrig have et større areal end den afgrænsende sekskant,

141
00:06:30,130 --> 00:06:32,070
og den vil heller ikke have et større areal

142
00:06:32,070 --> 00:06:34,530
end en figur, som ligner noget som den her.

143
00:06:34,530 --> 00:06:36,450
Vi tegner en vilkårlig cirkel.

144
00:06:36,450 --> 00:06:38,200
Vi vil gerne tegne den uden for sekskanten.

145
00:06:38,200 --> 00:06:39,780
.

146
00:06:39,780 --> 00:06:44,630
Det vi lige har tegnet i blå, eller den sekskant, som er tegnet i lilla,

147
00:06:44,630 --> 00:06:46,820
de har tydeligvis et areal.

148
00:06:46,820 --> 00:06:49,480
Kochs Snefnug vil altid være afgrænset,

149
00:06:49,480 --> 00:06:52,450
også selvom vi kan tilføje de her bump et uendeligt antal gange.

150
00:06:52,450 --> 00:06:55,380
Vi har altså set en masse seje ting.

151
00:06:55,420 --> 00:06:56,330
For det første er det en fraktal.

152
00:06:56,330 --> 00:06:58,760
Vi kan zoome ind, og den vil stadig se ud som det samme.

153
00:06:58,780 --> 00:07:04,950
Endnu en ting, en ubestemt omkreds og et bestemt areal.

154
00:07:04,950 --> 00:07:07,830
Det kan godt være, at vi tænker, at det er meget abstrakt.

155
00:07:07,830 --> 00:07:10,120
Ting som dem her eksisterer ikke i den virkelige verden.

156
00:07:10,120 --> 00:07:13,240
Det er et eksperiment,

157
00:07:13,240 --> 00:07:14,820
som folk taler om i fraktalverdenen.

158
00:07:14,870 --> 00:07:17,770
Det er at finde omkredsen af England

159
00:07:17,820 --> 00:07:19,200
eller hvilken som helst ø.

160
00:07:19,200 --> 00:07:21,170
England ligner lidt,

161
00:07:21,170 --> 00:07:22,730
ikke at vi er geografieksperter,

162
00:07:22,730 --> 00:07:24,230
men det ligner noget i stil med det her.

163
00:07:24,230 --> 00:07:26,230
Først gætter vi måske omkredsen

164
00:07:26,230 --> 00:07:27,480
og måler den her afstand.

165
00:07:27,550 --> 00:07:32,350
Vi kan også måle den her afstand plus den her afstand

166
00:07:32,350 --> 00:07:36,070
plus den her afstand plus den her afstand plus den her anstand plus den her afstand.

167
00:07:36,070 --> 00:07:37,660
.

168
00:07:37,660 --> 00:07:38,590
Den har en begrænset omkreds.

169
00:07:38,620 --> 00:07:40,300
Den har tydeligvis også et begrænset areal.

170
00:07:40,300 --> 00:07:42,300
.

171
00:07:42,340 --> 00:07:43,720
Det kan godt være vi tænker, at det ikke er lige så godt,

172
00:07:43,750 --> 00:07:45,380
og at vi er nødt til at gætte omkredsen en smule bedre end det.

173
00:07:45,400 --> 00:07:46,960
I stedet for at gøre det så groft

174
00:07:46,980 --> 00:07:48,680
er vi nødt til at lave en masse små linjer,

175
00:07:48,680 --> 00:07:50,740
.

176
00:07:50,770 --> 00:07:52,570
så vi kan komme tæt på kystlinjen, og så synes vi,

177
00:07:52,620 --> 00:07:55,010
at det er et meget bedre gæt.

178
00:07:55,010 --> 00:07:58,730
Men lad os sige, at hvis vi zoomer nok ind,

179
00:07:58,760 --> 00:08:01,780
.

180
00:08:01,780 --> 00:08:03,980
vil kystlinjen ligne noget i stil med det her.

181
00:08:04,020 --> 00:08:08,190
Kystlinjen vil altså have alle de her små buler i den.

182
00:08:08,260 --> 00:08:11,150
Da vi tog det første skridt,

183
00:08:11,150 --> 00:08:13,580
målte vi bare det her.

184
00:08:13,580 --> 00:08:15,740
Nu tænker vi, at det jo ikke er omkredsen af kystlinjen.

185
00:08:15,740 --> 00:08:17,620
Vi er nødt til at gøre det på mange flere sider.

186
00:08:17,650 --> 00:08:18,850
Vi skal gøre noget i stil med det her

187
00:08:18,900 --> 00:08:25,660
for rent faktisk at finde omkredsen af kystlinjen.

188
00:08:25,660 --> 00:08:29,150
Det kan godt være, at vi tænker, at det var en godt gæt af omkredsen,

189
00:08:29,150 --> 00:08:32,190
men hvis vi zoomer endnu mere ind på den her del af kystlinjen,

190
00:08:32,190 --> 00:08:35,050
finder vi ud af, at det rent faktisk ikke helt ser sådan ud.

191
00:08:35,050 --> 00:08:37,330
Det vil gå ind og ud sådan her.

192
00:08:37,360 --> 00:08:39,450
.

193
00:08:39,450 --> 00:08:42,810
I stedet for at have de her grove linjer, der bare måler det sådan her,

194
00:08:42,890 --> 00:08:43,850
.

195
00:08:43,900 --> 00:08:46,170
er vi nødt til at komme endnu tættere på.

196
00:08:46,220 --> 00:08:48,270
Det kan vi blive ved med,

197
00:08:48,310 --> 00:08:50,150
indtil vi kommer ned på det atomare niveau.

198
00:08:50,150 --> 00:08:54,730
Den faktiske omkreds af en ø,

199
00:08:54,770 --> 00:08:58,790
eller et kontinent, eller hvad som helst, er rent faktisk lidt i samme kategori som fraktaler.

200
00:08:58,840 --> 00:09:01,210
Vi kan tænke på det som noget,

201
00:09:01,210 --> 00:09:03,130
der har en næsten bestemt omkreds.

202
00:09:03,180 --> 00:09:04,150
På et eller andet tidspunkt

203
00:09:04,220 --> 00:09:05,480
kommer vi ned på et atomart niveau,

204
00:09:05,520 --> 00:09:06,610
og så vil det ikke være helt det samme,

205
00:09:06,660 --> 00:09:08,510
men det er lidt det samme fænomen.

206
00:09:08,540 --> 00:09:10,390
Det er interessant at tænke over.