Vi har en ligesidet trekant.
Vi vil gerne lave andre figurer
ud af den ligesidede trekant.
Det gør vi ved at at tage alle trekantens sider
og dele dem i 3 lige store dele.
Selvom trekanten ikke er tegnet helt lige,
skal vi bare forstå meningen med formlen.
I den midterste del
konstruerer vi endnu en ligesidet trekant.
I den midterste del, som vi har herovre,
konstruerer vi en ligesidet trekant.
Det ser sådan her ud.
Nu indsætter vi herovre
endnu en ligesidet trekant.
Vi er nu gået fra en ligesidet trekant
til noget, der ligner en stjerne.
Det gør vi igen.
Alle sider deler vi altså ind i 3 lige store dele.
I det midterste linjestykke indsætter vi en ligesidet trekant.
.
Vi indsætter en ligesidet trekant her.
Det gør vi på alle trekantens sider.
.
Nu har vi forstået meningen, og trekanten vil nu
se sådan her ud.
For lige at repetere, så forsvinder den her.
Nu ser den sådan ud.
Så kan vi gøre det igen.
Alle linjestykkerne deler vi op i 3 lige store dele
og tegner endnu en ligesidet trekant.
Ligesom der, der, der, der, der og der.
Nu kan vi godt forstå, hvad det er, der sker.
Det her kan vi blive ved med at gøre.
Det vi skal lave i den her video er derfor at tænke over,
hvad det er, der sker,
og hvad det er, vi tegner.
Vi kan blive ved med at gøre det.
Ved hver gentagelse kigger vi på alle sider
og deler dem i 3 lige store dele,
og så vil den næste gentagelse være 3 lige store dele,
og i den næste gentagelse
gør vi igen det midterste linjestykke til endnu en ligesidet trekant.
Den figur, vi beskriver her,
kalder vi Kochs Snefnug.
.
Kochs Snefnug
blev først beskrevet af manden, vi ser her,
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.
.
Det her er en af de første beskrevne fraktaler.
Det her er altså en fraktal.
Grunden til, at det er en fraktal,
er at den ligner sig selv
ligemeget i hvilket målestoksforhold, vi ser den.
Hvis vi kigger på den i det her målestoksforhold,
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.
Hvis vi zoomer ind,
vil vi se det samme slags mønster.
Zoomer vi endnu længere ind,
ser vi det igen og igen.
En fraktal er altså noget, som i alle målestoksforhold
ser nogenlunde ser ens ud.
Det er derfor, at det kaldes en fraktal.
Det som er interessant
og er grunden til, at den hører under den her kategori af geometri er,
at figuren rent faktisk har en ubegrænset omkreds.
Hvis vi bliver ved med at gøre det,
altså hvis vi vil lave Kochs Snefnug,
skal vi gøre det et uendeligt antal gange
på hver enkelt mindre trekant her,
vi bliver ved med at tilføje endnu en ligesidet trekant på dens side.
For at vise,
at den har en ubegrænset omkreds, kigger vi på den side herovre.
.
Vi starter her, hvor vi begyndte
med den originale trekant. Det er den her side.
Vi siger, at den har længden S.
Vi deler den ind i 3 lige store dele.
.
Vi har S/3, og det kan vi skrive som
S/3, S/3 og S/3.
I den midterste del laver vi en ligesiden trekant.
.
Alle de her sider er lig med S/3.
S/3, S/3.
Nu har vi længden af den nye del.
Vi kan ikke kalde det en linje mere, da den har et lille bump.
Længden af den her del herovre, den her side,
har nu ikke mere længden S.
Den er nu S/3 gange 4.
Før var den S/3 gange 3,
men nu har vi 1, 2, 3, 4 segmenter, som hedder S/3.
Efter en enkelt gang, efter ét skridt,
efter vi en enkelt gang har tilføjet trekanter
til vores nye side,
efter vi har fået bumpet, har vi nu 4 gange S/3 eller 4/3s.
Hvis den originale omkreds, når den er en trekant er lig med P minus 0,
efter første trin, efter vi har et sæt bump,
er vores omkreds lig med
4/3 gange den originale omkreds,
da alle siderne nu vil være 4/3 større.
Hvis den her er lavet af tre sider,
er alle siderne nu 4/3 større.
Så er den nye omkreds 4/3 gange det.
Nu skal vi lave det næste skridt.
Det er 4/3 gange det første skridt.
For hvert skridt vi tager, bliver den 4/3 større.
Den bliver altså 4/3 større
i forhold til det sidste skridt.
Hvis vi gør det et uendeligt antal gange,
hvis vi altså ganger ethvert tal med 4/3 et uendeligt antal gange,
får vi et uendeligt tal, der beskriver en uendelig længde.
P uendelig
er omkredsen, som hvis vi gør det et uendeligt antal gange, er uendelig.
I sig selv er det ret sejt
bare at tænke på noget, som har en uendelig omkreds.
Hvad der er endnu bedre er, at den rent faktisk har et begrænset areal.
Når vi siger et begrænset areal,
dækker det over et afgrænset omfang af plads.
Vi kan rent faktisk tegne en figur rundt om det her,
og så vil den aldrig udvide sig mere end figuren.
Vi laver ikke et formelt bevis.
Vi tænker bare over, hvad der sker på hvilken som helst af de her sider.
I det første skridt har vi den her trekant, som bliver delt.
Vi tegner lige, hvad der sker,
så er den næste gentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter herovre
og de her 2 tegn herovre.
Så indsætter vi nogle trekanter herovre
og her, og her, og her, og her, og så videre.
Vi skal lægge mærke til, at vi kan blive ved med at lægge flere og flere til.
Vi kan altså lægge et uendeligt antal af de her bump til,
men vi kommer aldrig videre end udgangspunktet.
Det samme er gældende på den side lige her.
Det gælder også på den side her
og også på den her
og den side herovre.
Også den side vi har her.
Selvom vi gør det et uendeligt antal gange,
vil den her figur, Kochs Snefnug,
aldrig have et større areal end den afgrænsende sekskant,
og den vil heller ikke have et større areal
end en figur, som ligner noget som den her.
Vi tegner en vilkårlig cirkel.
Vi vil gerne tegne den uden for sekskanten.
.
Det vi lige har tegnet i blå, eller den sekskant, som er tegnet i lilla,
de har tydeligvis et areal.
Kochs Snefnug vil altid være afgrænset,
også selvom vi kan tilføje de her bump et uendeligt antal gange.
Vi har altså set en masse seje ting.
For det første er det en fraktal.
Vi kan zoome ind, og den vil stadig se ud som det samme.
Endnu en ting, en ubestemt omkreds og et bestemt areal.
Det kan godt være, at vi tænker, at det er meget abstrakt.
Ting som dem her eksisterer ikke i den virkelige verden.
Det er et eksperiment,
som folk taler om i fraktalverdenen.
Det er at finde omkredsen af England
eller hvilken som helst ø.
England ligner lidt,
ikke at vi er geografieksperter,
men det ligner noget i stil med det her.
Først gætter vi måske omkredsen
og måler den her afstand.
Vi kan også måle den her afstand plus den her afstand
plus den her afstand plus den her afstand plus den her anstand plus den her afstand.
.
Den har en begrænset omkreds.
Den har tydeligvis også et begrænset areal.
.
Det kan godt være vi tænker, at det ikke er lige så godt,
og at vi er nødt til at gætte omkredsen en smule bedre end det.
I stedet for at gøre det så groft
er vi nødt til at lave en masse små linjer,
.
så vi kan komme tæt på kystlinjen, og så synes vi,
at det er et meget bedre gæt.
Men lad os sige, at hvis vi zoomer nok ind,
.
vil kystlinjen ligne noget i stil med det her.
Kystlinjen vil altså have alle de her små buler i den.
Da vi tog det første skridt,
målte vi bare det her.
Nu tænker vi, at det jo ikke er omkredsen af kystlinjen.
Vi er nødt til at gøre det på mange flere sider.
Vi skal gøre noget i stil med det her
for rent faktisk at finde omkredsen af kystlinjen.
Det kan godt være, at vi tænker, at det var en godt gæt af omkredsen,
men hvis vi zoomer endnu mere ind på den her del af kystlinjen,
finder vi ud af, at det rent faktisk ikke helt ser sådan ud.
Det vil gå ind og ud sådan her.
.
I stedet for at have de her grove linjer, der bare måler det sådan her,
.
er vi nødt til at komme endnu tættere på.
Det kan vi blive ved med,
indtil vi kommer ned på det atomare niveau.
Den faktiske omkreds af en ø,
eller et kontinent, eller hvad som helst, er rent faktisk lidt i samme kategori som fraktaler.
Vi kan tænke på det som noget,
der har en næsten bestemt omkreds.
På et eller andet tidspunkt
kommer vi ned på et atomart niveau,
og så vil det ikke være helt det samme,
men det er lidt det samme fænomen.
Det er interessant at tænke over.