0:00:00.000,0:00:03.090
Vi har en ligesidet trekant.

0:00:03.090,0:00:05.050
Vi vil gerne lave andre figurer

0:00:05.050,0:00:06.540
ud af den ligesidede trekant.

0:00:06.540,0:00:08.980
Det gør vi ved at at tage alle trekantens sider

0:00:09.000,0:00:14.540
og dele dem i 3 lige store dele.

0:00:14.540,0:00:18.790
Selvom trekanten ikke er tegnet helt lige,

0:00:18.790,0:00:20.110
skal vi bare forstå meningen med formlen.

0:00:20.110,0:00:21.430
I den midterste del

0:00:21.450,0:00:23.290
konstruerer vi endnu en ligesidet trekant.

0:00:23.290,0:00:25.510
I den midterste del, som vi har herovre,

0:00:25.540,0:00:28.640
konstruerer vi en ligesidet trekant.

0:00:28.640,0:00:31.550
Det ser sådan her ud.

0:00:31.550,0:00:33.860
Nu indsætter vi herovre

0:00:33.860,0:00:37.130
endnu en ligesidet trekant.

0:00:37.130,0:00:40.320
Vi er nu gået fra en ligesidet trekant

0:00:40.340,0:00:43.320
til noget, der ligner en stjerne.

0:00:43.370,0:00:45.420
Det gør vi igen.

0:00:45.420,0:00:48.390
Alle sider deler vi altså ind i 3 lige store dele.

0:00:48.390,0:00:51.490
I det midterste linjestykke indsætter vi en ligesidet trekant.

0:00:51.490,0:00:54.150
.

0:00:54.150,0:00:59.280
Vi indsætter en ligesidet trekant her.

0:00:59.280,0:01:01.660
Det gør vi på alle trekantens sider.

0:01:01.660,0:01:04.560
.

0:01:04.560,0:01:10.860
Nu har vi forstået meningen, og trekanten vil nu

0:01:10.860,0:01:16.270
se sådan her ud.

0:01:16.270,0:01:20.850
For lige at repetere, så forsvinder den her.

0:01:20.850,0:01:22.950
Nu ser den sådan ud.

0:01:22.990,0:01:24.210
Så kan vi gøre det igen.

0:01:24.210,0:01:27.020
Alle linjestykkerne deler vi op i 3 lige store dele

0:01:27.020,0:01:28.340
og tegner endnu en ligesidet trekant.

0:01:28.340,0:01:32.210
Ligesom der, der, der, der, der og der.

0:01:32.210,0:01:33.270
Nu kan vi godt forstå, hvad det er, der sker.

0:01:33.270,0:01:37.020
Det her kan vi blive ved med at gøre.

0:01:37.020,0:01:39.710
Det vi skal lave i den her video er derfor at tænke over,

0:01:39.710,0:01:40.860
hvad det er, der sker,

0:01:40.860,0:01:42.490
og hvad det er, vi tegner.

0:01:42.490,0:01:45.090
Vi kan blive ved med at gøre det.

0:01:45.090,0:01:48.100
Ved hver gentagelse kigger vi på alle sider

0:01:48.130,0:01:49.520
og deler dem i 3 lige store dele,

0:01:49.520,0:01:52.460
og så vil den næste gentagelse være 3 lige store dele,

0:01:52.460,0:01:53.320
og i den næste gentagelse

0:01:53.320,0:01:55.480
gør vi igen det midterste linjestykke til endnu en ligesidet trekant.

0:01:55.480,0:01:58.240
Den figur, vi beskriver her,

0:01:58.240,0:02:00.200
kalder vi Kochs Snefnug.

0:02:00.200,0:02:02.890
.

0:02:02.890,0:02:05.180
Kochs Snefnug

0:02:05.230,0:02:07.810
blev først beskrevet af manden, vi ser her,

0:02:07.810,0:02:12.490
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.

0:02:12.490,0:02:14.640
.

0:02:14.670,0:02:17.250
Det her er en af de første beskrevne fraktaler.

0:02:17.270,0:02:19.850
Det her er altså en fraktal.

0:02:19.850,0:02:22.000
Grunden til, at det er en fraktal,

0:02:22.000,0:02:23.790
er at den ligner sig selv

0:02:23.810,0:02:26.340
ligemeget i hvilket målestoksforhold, vi ser den.

0:02:26.340,0:02:29.890
Hvis vi kigger på den i det her målestoksforhold,

0:02:29.910,0:02:32.410
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.

0:02:32.410,0:02:34.890
Hvis vi zoomer ind,

0:02:34.910,0:02:37.860
vil vi se det samme slags mønster.

0:02:37.860,0:02:39.840
Zoomer vi endnu længere ind,

0:02:39.860,0:02:41.520
ser vi det igen og igen.

0:02:41.580,0:02:43.470
En fraktal er altså noget, som i alle målestoksforhold

0:02:43.470,0:02:46.810
ser nogenlunde ser ens ud.

0:02:46.810,0:02:48.700
Det er derfor, at det kaldes en fraktal.

0:02:48.720,0:02:50.150
Det som er interessant

0:02:50.200,0:02:53.530
og er grunden til, at den hører under den her kategori af geometri er,

0:02:53.530,0:02:56.790
at figuren rent faktisk har en ubegrænset omkreds.

0:02:56.790,0:02:58.330
Hvis vi bliver ved med at gøre det,

0:02:58.370,0:02:59.900
altså hvis vi vil lave Kochs Snefnug,

0:02:59.900,0:03:03.260
skal vi gøre det et uendeligt antal gange

0:03:03.280,0:03:05.240
på hver enkelt mindre trekant her,

0:03:05.280,0:03:09.910
vi bliver ved med at tilføje endnu en ligesidet trekant på dens side.

0:03:09.930,0:03:11.680
For at vise,

0:03:11.680,0:03:13.440
at den har en ubegrænset omkreds, kigger vi på den side herovre.

0:03:13.440,0:03:16.000
.

0:03:16.000,0:03:18.550
Vi starter her, hvor vi begyndte

0:03:18.550,0:03:20.050
med den originale trekant. Det er den her side.

0:03:20.080,0:03:21.480
Vi siger, at den har længden S.

0:03:21.520,0:03:23.930
Vi deler den ind i 3 lige store dele.

0:03:23.960,0:03:26.290
.

0:03:26.310,0:03:30.810
Vi har S/3, og det kan vi skrive som

0:03:30.810,0:03:35.940
S/3, S/3 og S/3.

0:03:35.940,0:03:38.820
I den midterste del laver vi en ligesiden trekant.

0:03:38.820,0:03:41.910
.

0:03:41.910,0:03:44.090
Alle de her sider er lig med S/3.

0:03:44.090,0:03:47.000
S/3, S/3.

0:03:47.000,0:03:50.700
Nu har vi længden af den nye del.

0:03:50.700,0:03:53.270
Vi kan ikke kalde det en linje mere, da den har et lille bump.

0:03:53.290,0:03:56.880
Længden af den her del herovre, den her side,

0:03:56.880,0:03:59.110
har nu ikke mere længden S.

0:03:59.150,0:04:01.620
Den er nu S/3 gange 4.

0:04:01.620,0:04:03.360
Før var den S/3 gange 3,

0:04:03.360,0:04:07.550
men nu har vi 1, 2, 3, 4 segmenter, som hedder S/3.

0:04:07.550,0:04:10.500
Efter en enkelt gang, efter ét skridt,

0:04:10.500,0:04:14.930
efter vi en enkelt gang har tilføjet trekanter

0:04:14.930,0:04:16.300
til vores nye side,

0:04:16.340,0:04:23.560
efter vi har fået bumpet, har vi nu 4 gange S/3 eller 4/3s.

0:04:23.560,0:04:30.950
Hvis den originale omkreds, når den er en trekant er lig med P minus 0,

0:04:30.950,0:04:34.230
efter første trin, efter vi har et sæt bump,

0:04:34.230,0:04:35.670
er vores omkreds lig med

0:04:35.710,0:04:39.880
4/3 gange den originale omkreds,

0:04:39.880,0:04:42.660
da alle siderne nu vil være 4/3 større.

0:04:42.660,0:04:44.270
Hvis den her er lavet af tre sider,

0:04:44.290,0:04:46.690
er alle siderne nu 4/3 større.

0:04:46.690,0:04:48.950
Så er den nye omkreds 4/3 gange det.

0:04:48.950,0:04:51.980
Nu skal vi lave det næste skridt.

0:04:51.980,0:04:54.470
Det er 4/3 gange det første skridt.

0:04:54.470,0:04:57.740
For hvert skridt vi tager, bliver den 4/3 større.

0:04:57.790,0:05:00.190
Den bliver altså 4/3 større

0:05:00.190,0:05:03.550
i forhold til det sidste skridt.

0:05:03.610,0:05:05.590
Hvis vi gør det et uendeligt antal gange,

0:05:05.590,0:05:10.740
hvis vi altså ganger ethvert tal med 4/3 et uendeligt antal gange,

0:05:10.740,0:05:13.760
får vi et uendeligt tal, der beskriver en uendelig længde.

0:05:13.760,0:05:16.340
P uendelig

0:05:16.360,0:05:19.910
er omkredsen, som hvis vi gør det et uendeligt antal gange, er uendelig.

0:05:19.940,0:05:22.140
I sig selv er det ret sejt

0:05:22.190,0:05:24.300
bare at tænke på noget, som har en uendelig omkreds.

0:05:24.300,0:05:28.260
Hvad der er endnu bedre er, at den rent faktisk har et begrænset areal.

0:05:28.260,0:05:30.120
Når vi siger et begrænset areal,

0:05:30.120,0:05:32.480
dækker det over et afgrænset omfang af plads.

0:05:32.480,0:05:34.490
Vi kan rent faktisk tegne en figur rundt om det her,

0:05:34.490,0:05:36.340
og så vil den aldrig udvide sig mere end figuren.

0:05:36.340,0:05:38.960
Vi laver ikke et formelt bevis.

0:05:38.960,0:05:41.600
Vi tænker bare over, hvad der sker på hvilken som helst af de her sider.

0:05:41.600,0:05:45.550
I det første skridt har vi den her trekant, som bliver delt.

0:05:45.550,0:05:49.540
Vi tegner lige, hvad der sker,

0:05:49.540,0:05:52.280
så er den næste gentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter herovre

0:05:52.310,0:05:53.940
og de her 2 tegn herovre.

0:05:53.940,0:05:56.230
Så indsætter vi nogle trekanter herovre

0:05:56.260,0:05:59.600
og her, og her, og her, og her, og så videre.

0:05:59.630,0:06:02.520
Vi skal lægge mærke til, at vi kan blive ved med at lægge flere og flere til.

0:06:02.520,0:06:04.980
Vi kan altså lægge et uendeligt antal af de her bump til,

0:06:05.020,0:06:07.070
men vi kommer aldrig videre end udgangspunktet.

0:06:07.070,0:06:11.220
Det samme er gældende på den side lige her.

0:06:11.220,0:06:13.840
Det gælder også på den side her

0:06:13.870,0:06:17.540
og også på den her

0:06:17.540,0:06:19.550
og den side herovre.

0:06:19.550,0:06:22.330
Også den side vi har her.

0:06:22.350,0:06:24.590
Selvom vi gør det et uendeligt antal gange,

0:06:24.590,0:06:27.120
vil den her figur, Kochs Snefnug,

0:06:27.160,0:06:30.130
aldrig have et større areal end den afgrænsende sekskant,

0:06:30.130,0:06:32.070
og den vil heller ikke have et større areal

0:06:32.070,0:06:34.530
end en figur, som ligner noget som den her.

0:06:34.530,0:06:36.450
Vi tegner en vilkårlig cirkel.

0:06:36.450,0:06:38.200
Vi vil gerne tegne den uden for sekskanten.

0:06:38.200,0:06:39.780
.

0:06:39.780,0:06:44.630
Det vi lige har tegnet i blå, eller den sekskant, som er tegnet i lilla,

0:06:44.630,0:06:46.820
de har tydeligvis et areal.

0:06:46.820,0:06:49.480
Kochs Snefnug vil altid være afgrænset,

0:06:49.480,0:06:52.450
også selvom vi kan tilføje de her bump et uendeligt antal gange.

0:06:52.450,0:06:55.380
Vi har altså set en masse seje ting.

0:06:55.420,0:06:56.330
For det første er det en fraktal.

0:06:56.330,0:06:58.760
Vi kan zoome ind, og den vil stadig se ud som det samme.

0:06:58.780,0:07:04.950
Endnu en ting, en ubestemt omkreds og et bestemt areal.

0:07:04.950,0:07:07.830
Det kan godt være, at vi tænker, at det er meget abstrakt.

0:07:07.830,0:07:10.120
Ting som dem her eksisterer ikke i den virkelige verden.

0:07:10.120,0:07:13.240
Det er et eksperiment,

0:07:13.240,0:07:14.820
som folk taler om i fraktalverdenen.

0:07:14.870,0:07:17.770
Det er at finde omkredsen af England

0:07:17.820,0:07:19.200
eller hvilken som helst ø.

0:07:19.200,0:07:21.170
England ligner lidt,

0:07:21.170,0:07:22.730
ikke at vi er geografieksperter,

0:07:22.730,0:07:24.230
men det ligner noget i stil med det her.

0:07:24.230,0:07:26.230
Først gætter vi måske omkredsen

0:07:26.230,0:07:27.480
og måler den her afstand.

0:07:27.550,0:07:32.350
Vi kan også måle den her afstand plus den her afstand

0:07:32.350,0:07:36.070
plus den her afstand plus den her afstand plus den her anstand plus den her afstand.

0:07:36.070,0:07:37.660
.

0:07:37.660,0:07:38.590
Den har en begrænset omkreds.

0:07:38.620,0:07:40.300
Den har tydeligvis også et begrænset areal.

0:07:40.300,0:07:42.300
.

0:07:42.340,0:07:43.720
Det kan godt være vi tænker, at det ikke er lige så godt,

0:07:43.750,0:07:45.380
og at vi er nødt til at gætte omkredsen en smule bedre end det.

0:07:45.400,0:07:46.960
I stedet for at gøre det så groft

0:07:46.980,0:07:48.680
er vi nødt til at lave en masse små linjer,

0:07:48.680,0:07:50.740
.

0:07:50.770,0:07:52.570
så vi kan komme tæt på kystlinjen, og så synes vi,

0:07:52.620,0:07:55.010
at det er et meget bedre gæt.

0:07:55.010,0:07:58.730
Men lad os sige, at hvis vi zoomer nok ind,

0:07:58.760,0:08:01.780
.

0:08:01.780,0:08:03.980
vil kystlinjen ligne noget i stil med det her.

0:08:04.020,0:08:08.190
Kystlinjen vil altså have alle de her små buler i den.

0:08:08.260,0:08:11.150
Da vi tog det første skridt,

0:08:11.150,0:08:13.580
målte vi bare det her.

0:08:13.580,0:08:15.740
Nu tænker vi, at det jo ikke er omkredsen af kystlinjen.

0:08:15.740,0:08:17.620
Vi er nødt til at gøre det på mange flere sider.

0:08:17.650,0:08:18.850
Vi skal gøre noget i stil med det her

0:08:18.900,0:08:25.660
for rent faktisk at finde omkredsen af kystlinjen.

0:08:25.660,0:08:29.150
Det kan godt være, at vi tænker, at det var en godt gæt af omkredsen,

0:08:29.150,0:08:32.190
men hvis vi zoomer endnu mere ind på den her del af kystlinjen,

0:08:32.190,0:08:35.050
finder vi ud af, at det rent faktisk ikke helt ser sådan ud.

0:08:35.050,0:08:37.330
Det vil gå ind og ud sådan her.

0:08:37.360,0:08:39.450
.

0:08:39.450,0:08:42.810
I stedet for at have de her grove linjer, der bare måler det sådan her,

0:08:42.890,0:08:43.850
.

0:08:43.900,0:08:46.170
er vi nødt til at komme endnu tættere på.

0:08:46.220,0:08:48.270
Det kan vi blive ved med,

0:08:48.310,0:08:50.150
indtil vi kommer ned på det atomare niveau.

0:08:50.150,0:08:54.730
Den faktiske omkreds af en ø,

0:08:54.770,0:08:58.790
eller et kontinent, eller hvad som helst, er rent faktisk lidt i samme kategori som fraktaler.

0:08:58.840,0:09:01.210
Vi kan tænke på det som noget,

0:09:01.210,0:09:03.130
der har en næsten bestemt omkreds.

0:09:03.180,0:09:04.150
På et eller andet tidspunkt

0:09:04.220,0:09:05.480
kommer vi ned på et atomart niveau,

0:09:05.520,0:09:06.610
og så vil det ikke være helt det samme,

0:09:06.660,0:09:08.510
men det er lidt det samme fænomen.

0:09:08.540,0:09:10.390
Det er interessant at tænke over.