-
Допустим, у нас есть с вами прямоугольник.
-
Вот такой прямоугольник.
-
Внутри него есть две диагонали.
-
Вот одна из них.
-
А вот вторая.
-
Высота данного прямоугольника равна h.
-
Это расстояние здесь – h.
-
А ширина прямоугольника - вот здесь.
-
Обозначим её буквой "w".
-
Мы докажем в этом видео, что все эти
-
4 треугольника имеют одинаковую площадь.
-
Сейчас, когда вы смотрите на них, очевидно,
-
что нижний треугольник занимает ту же площадь,
-
что и верхний.
-
Он такой же, только перевёрнутый.
-
О том, что они имеют одинаковую площадь,
-
нетрудно догадаться.
-
У них одинаковые основания,
-
это - ширина нашего прямоугольника,
-
и у них одинаковая высота,
-
поскольку вот это расстояние здесь
-
равно в точности половине высоты прямоугольника.
-
Они симметричны, они идентичны, равны.
-
У них одинаковые размеры.
-
Также просто понять, что эти два треугольника,
-
левый и правый, по площади одинаковы.
-
Они равны, это очевидно, да?
-
Что не очевидно, так это то, что эти треугольники,
-
которые я выделил оранжевым цветом,
-
по площади одинаковы с сине-зелеными треугольниками.
-
Вот., что мы сейчас и будем исследовать.
-
При этом всё, что мы должны сделать, –
-
это посчитать площадь разных треугольников.
-
Посчитаем сначала площадь для оранжевых.
-
Давайте вспомним, что площадь треугольника равна
-
½ основания треугольника
-
(обозначим его буквой "b"),
-
умноженного на высоту.
-
Это элементарная геометрия.
-
Вспомнили, теперь посчитаем
-
площадь оранжевого треугольника.
-
Она равна ½ от основания,
-
а основанием оранжевого треугольника
-
является эта сторона – она равна w.
-
Запишем: ½ умножить на w.
-
Я хочу выделить это другим цветом,
-
возьму цвет, которым я записал w.
-
А какова высота здесь?
-
Мы уже упоминали о ней.
-
Это - как раз половина высоты прямоугольника.
-
Т.е. умножаем ещё и на ½ высоты прямоугольника.
-
Итак, чему же будет равна площадь?
-
У нас получается: ½ умножить на ½,
-
что в итоге даёт нам ¼.
-
¼ умножить на высоту и умножить на основание.
-
Т.е. площадь данного треугольника равна
-
¼ на основание w и на высоту h.
-
А этот треугольник имеет такие же вводные данные,
-
т.е. имеет ту же площадь.
-
Давайте теперь рассмотрим площадь
-
этих зелёных треугольников.
-
Ещё раз запишем зелёным: площадь -
-
это ½ основания на высоту.
-
Эти треугольники – зеркальное отражение друг друга.
-
Основанием для них является:
-
эта сторона - для этого треугольника,
-
а для этого треугольника – эта сторона.
-
И это же высота прямоугольника.
-
Сейчас мы видим, что прежняя высота
-
теперь играет роль основания.
-
Надеюсь, вас это не сильно путает.
-
А что же теперь будет высотой?
-
Эти треугольники перевернуты на бок,
-
так какое же теперь здесь расстояние?
-
Это - в точности половина длины прямоугольника, так?
-
Мы проходим как раз половину
-
этого расстояния здесь.
-
Эта точка – в точности середина
-
между этими двумя сторонами,
-
и между этими двумя сторонами.
-
Т.е. это расстояние у нас получается ½ от длины.
-
Или высота этих треугольников –
-
это половина длины прямоугольника.
-
Высота равна ½ длины.
-
Немного сбивает с толку, да?
-
Если мы всё здесь посчитаем,
-
то площадь будет равняться ½ на ½ -
-
это ¼.
-
¼ на высоту h и на ширину w.
-
Или вы можете записать это как:
-
¼ умножить на ширину и на высоту.
-
Площадь здесь – ¼ ширины на высоту,
-
и здесь – ¼ ширины на высоту,
-
что является в точности такой же площадью,
-
как и площадь оранжевого треугольника.
-
И это верно,
-
поскольку каждый из этих треугольников
-
равен четверти площади прямоугольника.
-
Надеюсь, вам понравилось.
