Допустим, у нас есть с вами прямоугольник.

Вот такой прямоугольник.

Внутри него есть две диагонали.

Вот одна из них.

А вот вторая.

Высота данного прямоугольника равна h.

Это расстояние здесь – h.

А ширина прямоугольника - вот здесь.

Обозначим её буквой "w".

Мы докажем в этом видео, что все эти

4 треугольника имеют одинаковую площадь.

Сейчас, когда вы смотрите на них, очевидно,

что нижний треугольник занимает ту же площадь,

что и верхний.

Он такой же, только перевёрнутый.

О том, что они имеют одинаковую площадь,

нетрудно догадаться.

У них одинаковые основания,

это - ширина нашего прямоугольника,

и у них одинаковая высота,

поскольку вот это расстояние здесь

равно в точности половине высоты прямоугольника.

Они симметричны, они идентичны, равны.

У них одинаковые размеры.

Также просто понять, что эти два треугольника,

левый и правый, по площади одинаковы.

Они равны, это очевидно, да?

Что не очевидно, так это то, что эти треугольники,

которые я выделил оранжевым цветом,

по площади одинаковы с сине-зелеными треугольниками.

Вот., что мы сейчас и будем исследовать.

При этом всё, что мы должны сделать, –

это посчитать площадь разных треугольников.

Посчитаем сначала площадь для оранжевых.

Давайте вспомним, что площадь треугольника равна

½ основания треугольника

(обозначим его буквой "b"),

умноженного на высоту.

Это элементарная геометрия.

Вспомнили, теперь посчитаем

площадь оранжевого треугольника.

Она равна ½ от основания,

а основанием оранжевого треугольника

является эта сторона – она равна w.

Запишем: ½ умножить на w.

Я хочу выделить это другим цветом,

возьму цвет, которым я записал w.

А какова высота здесь?

Мы уже упоминали о ней.

Это - как раз половина высоты прямоугольника.

Т.е. умножаем ещё и на ½ высоты прямоугольника.

Итак, чему же будет равна площадь?

У нас получается: ½ умножить на ½,

что в итоге даёт нам ¼.

¼ умножить на высоту и умножить на основание.

Т.е. площадь данного треугольника равна

¼ на основание w и на высоту h.

А этот треугольник имеет такие же вводные данные,

т.е. имеет ту же площадь.

Давайте теперь рассмотрим площадь

этих зелёных треугольников.

Ещё раз запишем зелёным: площадь -

это ½ основания на высоту.

Эти треугольники – зеркальное отражение друг друга.

Основанием для них является:

эта сторона - для этого треугольника,

а для этого треугольника – эта сторона.

И это же высота прямоугольника.

Сейчас мы видим, что прежняя высота

теперь играет роль основания.

Надеюсь, вас это не сильно путает.

А что же теперь будет высотой?

Эти треугольники перевернуты на бок,

так какое же теперь здесь расстояние?

Это - в точности половина длины прямоугольника, так?

Мы проходим как раз половину

этого расстояния здесь.

Эта точка – в точности середина

между этими двумя сторонами,

и между этими двумя сторонами.

Т.е. это расстояние у нас получается ½ от длины.

Или высота этих треугольников –

это половина длины прямоугольника.

Высота равна ½ длины.

Немного сбивает с толку, да?

Если мы всё здесь посчитаем,

то площадь будет равняться ½ на ½ -

это ¼.

¼ на высоту h и на ширину w.

Или вы можете записать это как:

¼ умножить на ширину и на высоту.

Площадь здесь – ¼ ширины на высоту,

и здесь – ¼ ширины на высоту,

что является в точности такой же площадью,

как и площадь оранжевого треугольника.

И это верно,

поскольку каждый из этих треугольников

равен четверти площади прямоугольника.

Надеюсь, вам понравилось.