Return to Video

Кола: радіус, діаметр та довжина кола

  • 0:01 - 0:06
    Коло - це, мабуть, найбільш
    базова фігура в усьому світі,
  • 0:06 - 0:08
    яку можна знайти і у формі орбіт
  • 0:08 - 0:11
    планет, і у колесі,
  • 0:11 - 0:13
    і на молекулярному рівні.
  • 0:13 - 0:16
    Коло з'являється знову
  • 0:16 - 0:17
    і знову.
  • 0:17 - 0:21
    Тож, мабуть, варто розуміти деякі
  • 0:21 - 0:23
    властивості кола.
  • 0:23 - 0:26
    Перше, що люди відкрили у колі,
  • 0:26 - 0:29
    а його можна, наприклад,
    побачити у Місяці,
  • 0:29 - 0:32
    але вперше вони сказали:
    а які властивості
  • 0:32 - 0:33
    притаманні усім колам?
  • 0:33 - 0:36
    Перше, що можна сказати, це те, що коло
  • 0:36 - 0:39
    це множина точок, розміщених на
    рівній відстані
  • 0:39 - 0:40
    від центру кола.
  • 0:40 - 0:44
    Всі ці точки по краю
    однаково віддалені
  • 0:44 - 0:45
    від центру, що
    міститься ось тут.
  • 0:45 - 0:48
    Тож перше питання, котре
    може виникнути -
  • 0:48 - 0:50
    яка це відстань, на яку
    рівновіддалені ці точки
  • 0:50 - 0:52
    від центру?
  • 0:52 - 0:53
    Ось тут.
  • 0:53 - 0:58
    Ми називаємо її радіусом кола.
  • 0:58 - 1:00
    Це просто відстань від центру до краю.
  • 1:00 - 1:03
    Якщо цей радіус рівний 3-м сантиметрам,
    то цей радіус
  • 1:03 - 1:04
    теж рівний 3-м сантиметрам.
  • 1:04 - 1:07
    І цей радіус рівний 3-м сантиметрам.
  • 1:07 - 1:08
    Він не зміниться.
  • 1:08 - 1:12
    За означенням, коло - це всі точки,
    розміщені на рівній відстані від
  • 1:12 - 1:13
    центральної точки.
  • 1:13 - 1:17
    Ця відстань називається радіусом.
  • 1:17 - 1:20
    Наступна цікава особливість кола,
  • 1:20 - 1:22
    це питання - наскільки широким є коло?
  • 1:22 - 1:26
    Наскільки воно широке
    між найдальшими точками?
  • 1:26 - 1:29
    Якщо розділити його по
    найвіддаленіших точках,
  • 1:29 - 1:30
    якою буде відстань?
  • 1:30 - 1:32
    І не обов'язково саме
    ця відстань, можна
  • 1:32 - 1:35
    розділяти за найвіддаленішими точками
    в цьому місці.
  • 1:35 - 1:39
    Я просто не розділятиму коло
    ось так,
  • 1:39 - 1:40
    бо це не будуть
    найвіддаленіші точки.
  • 1:40 - 1:42
    А найвіддаленіших точок є
  • 1:42 - 1:43
    досить багато.
  • 1:43 - 1:47
    Ми щойно розглядали радіус,
    і бачимо, що найвіддаленіші точки
  • 1:47 - 1:50
    сполучені лінією, що
    проходить через центр кола.
  • 1:50 - 1:53
    По суті, це два радіуси.
  • 1:53 - 1:56
    Один радіус ось тут,
  • 1:56 - 1:57
    а тут - другий.
  • 1:57 - 2:01
    Ми називаємо цю відстань
    між найвіддаленішими точками кола
  • 2:01 - 2:03
    діаметром.
  • 2:03 - 2:06
    Тож це - діаметр кола.
  • 2:06 - 2:09
    Він має легкий зв'язок з радіусом.
  • 2:09 - 2:16
    Діаметр дорівнює двом радіусам.
  • 2:19 - 2:22
    Тепер, найцікавіша річ, яка може
  • 2:22 - 2:25
    зацікавити у колі - це те,
    наскільки довгим є коло?
  • 2:25 - 2:27
    Якщо взяти лінійку, і виміряти коло
  • 2:27 - 2:36
    приблизно так, якою буде відстань?
  • 2:36 - 2:45
    Ми називаємо це довжиною кола.
  • 2:45 - 2:47
    Тож ми знаємо, як зв'язані
    діаметр та радіус, але як,
  • 2:47 - 2:50
    наприклад, довжина зв'язана з діаметром.
  • 2:50 - 2:52
    Якщо незручно зв'язувати з діаметром,
  • 2:52 - 2:54
    можна зв'язати з радіусом.
  • 2:54 - 2:57
    Знаєте, тисячі років тому
    люди знімали мірки
  • 2:57 - 2:59
    і вимірювали довжину кола
  • 2:59 - 3:00
    та радіус.
  • 3:00 - 3:03
    Їхні прилади були, скажімо,
    не надто точні,
  • 3:03 - 3:05
    і при вимірюванні довжини кола
  • 3:05 - 3:08
    отримували результат, близький до 3.
  • 3:08 - 3:12
    А при вимірюванні радіусу такого кола
  • 3:12 - 3:14
    чи діаметру цього кола, вони казали, що
  • 3:14 - 3:16
    діаметр близький до 1.
  • 3:16 - 3:18
    Вони казали, що - запишемо це.
  • 3:18 - 3:22
    Нас цікавить зв'язок, відношення між -
  • 3:22 - 3:23
    запишу це так.
  • 3:23 - 3:34
    Відношення між довжиною кола та діаметром.
  • 3:38 - 3:41
    Тож, наприклад, ми мали коло - ось таке
  • 3:41 - 3:43
    і при першому не досить якісному
  • 3:43 - 3:46
    вимірюванні цього кола, отримували
  • 3:46 - 3:49
    результат, близький до 3 метрів,
  • 3:49 - 3:50
    якщо міряти навколо.
  • 3:50 - 3:53
    А коли виміряти діаметр кола,
  • 3:53 - 3:55
    він рівний приблизно 1.
  • 3:55 - 3:56
    Гаразд, це цікаво.
  • 3:56 - 3:58
    Може, відношення між довжиною
  • 3:58 - 3:58
    і діаметром рівне 3.
  • 3:58 - 4:01
    Тож може довжина завжди становить
  • 4:01 - 4:02
    три діаметри.
  • 4:02 - 4:04
    Це справджується для цього кола,
  • 4:04 - 4:06
    але виміряємо інші кола.
  • 4:06 - 4:08
    Наприклад, намалюю менше.
  • 4:08 - 4:11
    Наприклад, для цього кола вимірювання
  • 4:11 - 4:15
    показало, що довжина становить
    6 сантиметрів,
  • 4:15 - 4:18
    приблизно - тоді була не дуже
    точна лінійка.
  • 4:18 - 4:22
    А діаметр можна виміряти
  • 4:22 - 4:24
    приблизно у 2 сантиметри.
  • 4:24 - 4:28
    Тож знову, відношення довжини до діаметра
  • 4:28 - 4:30
    становить близько 3.
  • 4:30 - 4:32
    Що ж, це акуратна властивість кола.
  • 4:32 - 4:35
    Може, відношення довжини до діаметра
  • 4:35 - 4:38
    є фіксованим для будь-якого кола.
  • 4:38 - 4:40
    Тож, вирішили досліджувати і далі.
  • 4:40 - 4:43
    Взяли кращу лінійку.
  • 4:43 - 4:45
    І з точнішою лінійкою, вони виміряли, що
  • 4:45 - 4:48
    діаметр точно рівний 1.
  • 4:48 - 4:49
    Тож тепер вони точно знали діаметр.
  • 4:49 - 4:52
    Але вимірявши довжину, стало зрозуміло, що
  • 4:52 - 4:56
    її величина ближча до 3,1
  • 4:56 - 4:57
    І тут так само.
  • 4:57 - 4:59
    Відношення ближче до 3,1.
  • 4:59 - 5:02
    Міряли все краще і краще,
  • 5:02 - 5:05
    і стало зрозуміло, що отримуємо
    певне число,
  • 5:05 - 5:07
    і чим краще вимірювали, тим більше
  • 5:07 - 5:11
    наближались до 3,14159.
  • 5:11 - 5:13
    Тож продовжували додавати цифри, і
  • 5:13 - 5:14
    вони не повторювались.
  • 5:14 - 5:17
    Дивне і захоплююче метафізичне число
  • 5:17 - 5:18
    поступово з'являлось.
  • 5:18 - 5:21
    Тож, це число є настільки
    фундаментальним для нашого
  • 5:21 - 5:24
    світу, бо ж коло є фундаментальним
    для нашого світу,
  • 5:24 - 5:27
    а це число є у кожному колі.
  • 5:27 - 5:29
    Відношення довжини кола до діаметру було
  • 5:29 - 5:32
    цим магічним числом, якому дали ім'я.
  • 5:32 - 5:38
    Його назвали Пі, або можна просто
    писати латиною чи
  • 5:38 - 5:42
    грецьку літеру пі - ось так.
  • 5:42 - 5:45
    Вона представляє це число, яке, ймовірно,
  • 5:45 - 5:47
    є найчарівнішим у цілому світі.
  • 5:47 - 5:50
    Воно, передусім, вказує на відношення
    довжини кола до
  • 5:50 - 5:54
    діаметру, але ви дізнаєтесь,
    на шляху нашої
  • 5:54 - 5:57
    математичної подорожі, що воно
    з'являється всюди.
  • 5:57 - 6:00
    Це одна із фундаментальних
    основ нашого світу,
  • 6:00 - 6:03
    яка змушує повірити у
    його впорядкованість.
  • 6:03 - 6:08
    Але як же це використати для
  • 6:08 - 6:09
    базової математики?
  • 6:09 - 6:12
    Ми знаємо, ну або я повідомлю, що
    відношення довжини
  • 6:12 - 6:19
    до діаметру - і коли я кажу відношення,
    насправді я маю на увазі,
  • 6:19 - 6:21
    що якщо поділити довжину кола на
  • 6:21 - 6:28
    діаметр, отримаємо Пі.
  • 6:28 - 6:30
    Пі - це ось це число.
  • 6:30 - 6:34
    Можна записати 3,14159 і продовжувати
    далі й далі,
  • 6:34 - 6:36
    але це буде марнуванням зусиль,
    і далі з ним
  • 6:36 - 6:39
    буде складно працювати, тож люди
    вирішили записувати
  • 6:39 - 6:40
    грецьку літеру Пі.
  • 6:40 - 6:42
    Тож, як можна це використати?
  • 6:42 - 6:45
    Можна помножити обидві сторони на діаметр
  • 6:45 - 6:49
    і тоді можна сказати, що довжина рівна
  • 6:49 - 6:51
    добутку Пі на діаметр.
  • 6:51 - 6:56
    Або, оскільки діаметр
    дорівнює двом радіусам,
  • 6:56 - 6:59
    можна сказати, що довжина кола рівна
    Пі помножити
  • 6:59 - 7:00
    на 2 радіуси.
  • 7:00 - 7:04
    Або, у тому вигляді, в якому ви
    найімовірніше побачите запис,
  • 7:04 - 7:07
    дорівнює 2 Пі r.
  • 7:07 - 7:11
    Подивимось, чи можна це застосувати
    до розв'язування наших задач.
  • 7:11 - 7:17
    Наприклад, є коло, ось таке, і ми знаємо
  • 7:17 - 7:23
    його радіус - радіус дорівнює 3.
  • 7:23 - 7:29
    Тож 3, запишемо, що радіус дорівнює 3.
  • 7:29 - 7:32
    Нехай 3 метри -
    додамо одиниці вимірювання.
  • 7:32 - 7:35
    Яка довжина цього кола?
  • 7:35 - 7:38
    Довжина дорівнює 2 Пі помножити на радіус.
  • 7:38 - 7:42
    Тож вона дорівнює 2 на Пі на радіус,
  • 7:42 - 7:47
    що дорівнює 3-м метрам,
    що дає 6 метрів на Пі
  • 7:47 - 7:50
    або 6 Пі метрів.
  • 7:50 - 7:52
    6 Пі метрів.
  • 7:52 - 7:54
    А тепер можна помножити.
  • 7:54 - 7:56
    Пам'ятайте, Пі - це просто число.
  • 7:56 - 8:00
    Пі дорівнює 3,14159 і так далі і далі.
  • 8:00 - 8:04
    Тож якщо я помножу 6 на це число,
    може, я отримаю 18
  • 8:04 - 8:06
    і щось там після коми.
  • 8:06 - 8:08
    Якщо маєте калькулятор,
    він зараз стане у нагоді
  • 8:08 - 8:10
    але для простоти можна залишати число
  • 8:10 - 8:12
    разом із Пі.
  • 8:12 - 8:14
    Не знаю точно, скільки це буде, якщо
  • 8:14 - 8:19
    помножити 6 на 3,14159, я не знаю
    скільки ми отримаємо - ближче до 19, чи
  • 8:19 - 8:21
    до 18, мабуть приблизно 18 з чимось
  • 8:21 - 8:22
    після коми.
  • 8:22 - 8:23
    У мене немає калькулятора під рукою.
  • 8:23 - 8:25
    Замість того, щоб писати це число,
  • 8:25 - 8:27
    можна записати тут 6 Пі.
  • 8:27 - 8:30
    Власне, думаю, що
    навряд-чи ми перевищимо
  • 8:30 - 8:31
    межу 19.
  • 8:31 - 8:34
    Але задамо ще одне питання.
  • 8:34 - 8:39
    Який діаметр цього кола?
  • 8:39 - 8:43
    Ну, якщо радіус 3, діаметр
    удвічі більший.
  • 8:43 - 8:46
    Тож 3 множимо на 2, або 3 додати 3, що
  • 8:46 - 8:47
    дорівнює 6 метрів.
  • 8:47 - 8:51
    Отже, довжина 6 Пі метрів,
    діаметр 6 метрів,
  • 8:51 - 8:54
    радіус 3 метри.
  • 8:54 - 8:55
    Спробуємо ще дещо.
  • 8:55 - 8:57
    Наприклад, маємо інше коло.
  • 8:57 - 9:01
    Намалюємо його ось тут.
  • 9:01 - 9:05
    Відомо, що довжина цього кола дорівнює
  • 9:05 - 9:09
    10 метрів - це довжина цього кола.
  • 9:09 - 9:11
    Якщо виміряти його навколо лінійкою.
  • 9:11 - 9:18
    Якщо потрібно з'ясувати,
    який діаметр кола?
  • 9:18 - 9:23
    Ми знаємо, що діаметр на Пі, тобто
    Пі, помножене на
  • 9:23 - 9:27
    діаметр дорівнює довжині кола,
  • 9:27 - 9:29
    котра становить 10 метрів.
  • 9:29 - 9:31
    Для розв'язання потрібно
    поділити обидві частини
  • 9:31 - 9:33
    рівності на Пі.
  • 9:33 - 9:36
    Діаметр тоді рівний 10 метрів
    поділити на Пі
  • 9:36 - 9:39
    або 10 на Пі метрів.
  • 9:39 - 9:40
    І це просто число.
  • 9:40 - 9:43
    Якщо маєте калькулятор,
    можете поділити 10
  • 9:43 - 9:46
    на 3,14159, і отримаєте щось
    близьке до 3 з чимось
  • 9:46 - 9:48
    після коми метрів.
  • 9:48 - 9:49
    В голові я такого не порахую.
  • 9:49 - 9:50
    Але це просто число.
  • 9:50 - 9:53
    Тож для простоти ми можемо його
    так і залишити.
  • 9:53 - 9:55
    Тепер, який тут радіус?
  • 9:55 - 9:59
    Що ж, радіус - це половина діаметру.
  • 9:59 - 10:03
    Вся ця відстань ось тут -
    це 10 на Пі метрів.
  • 10:03 - 10:06
    Якщо взяти 1/2, адже нам потрібен
    радіус, ми просто
  • 10:06 - 10:08
    помножимо це число на 1/2.
  • 10:08 - 10:13
    Тож маємо 1/2 на 10 на Пі,
    що дорівнює 1/2 на 10
  • 10:13 - 10:17
    або просто поділимо чисельник
  • 10:17 - 10:18
    та знаменник на 2.
  • 10:18 - 10:21
    Отримуємо тут 5,
    тож 5 поділити на Пі.
  • 10:21 - 10:24
    Тож радіус ось тут
    становить 5 поділити на Пі.
  • 10:24 - 10:26
    Нічого особливого тут немає.
  • 10:26 - 10:31
    Я думаю, що більшість людей
    заплутує те, що вони не розуміють, що
  • 10:31 - 10:32
    Пі - це число.
  • 10:32 - 10:39
    Пі - це просто 3,14159 і далі
    йдуть наступні цифри.
  • 10:39 - 10:42
    Про Пі написані тисячі книг,
  • 10:42 - 10:45
    хоча я не знаю чи є тисячі,
  • 10:45 - 10:48
    я трохи перебільшую, але можна
    писати книги про це число.
  • 10:48 - 10:49
    Це всього-лиш число.
  • 10:49 - 10:52
    Це особливе число, і якщо записувати його
  • 10:52 - 10:54
    так, як ми пишемо числа, можна
  • 10:54 - 10:56
    просто помножити.
  • 10:56 - 10:59
    Але здебільшого зручніше залишити
  • 10:59 - 11:01
    запис із Пі.
  • 11:01 - 11:02
    На цьому завершимо.
  • 11:02 - 11:04
    У наступному відео дізнаємось,
    як знайти площу кола.
  • 11:04 - 11:05
    Переклад на українську: Оксана Пасічник, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"
Title:
Кола: радіус, діаметр та довжина кола
Description:
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:05

Ukrainian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.