WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:05.720
Коло - це, мабуть, найбільш 
базова фігура в усьому світі,

00:00:05.720 --> 00:00:08.490
яку можна знайти і у формі орбіт

00:00:08.490 --> 00:00:11.140
планет, і у колесі,

00:00:11.140 --> 00:00:12.840
і на молекулярному рівні.

00:00:12.840 --> 00:00:15.860
Коло з'являється знову

00:00:15.860 --> 00:00:17.350
і знову.

00:00:17.350 --> 00:00:21.110
Тож, мабуть, варто розуміти деякі

00:00:21.110 --> 00:00:23.330
властивості кола.

00:00:23.330 --> 00:00:26.200
Перше, що люди відкрили у колі,

00:00:26.200 --> 00:00:28.960
а його можна, наприклад, 
побачити у Місяці,

00:00:28.960 --> 00:00:31.570
але вперше вони сказали: 
а які властивості

00:00:31.570 --> 00:00:32.910
притаманні усім колам?

00:00:32.910 --> 00:00:36.150
Перше, що можна сказати, це те, що коло

00:00:36.150 --> 00:00:38.690
це множина точок, розміщених на 
рівній відстані

00:00:38.690 --> 00:00:40.440
від центру кола.

00:00:40.440 --> 00:00:43.710
Всі ці точки по краю 
однаково віддалені

00:00:43.710 --> 00:00:45.210
від центру, що 
міститься ось тут.

00:00:45.210 --> 00:00:47.620
Тож перше питання, котре 
може виникнути -

00:00:47.620 --> 00:00:50.280
яка це відстань, на яку
рівновіддалені ці точки

00:00:50.280 --> 00:00:51.770
від центру?

00:00:51.770 --> 00:00:52.950
Ось тут.

00:00:52.950 --> 00:00:58.110
Ми називаємо її радіусом кола.

00:00:58.110 --> 00:01:00.350
Це просто відстань від центру до краю.

00:01:00.350 --> 00:01:02.820
Якщо цей радіус рівний 3-м сантиметрам, 
то цей радіус

00:01:02.820 --> 00:01:04.490
теж рівний 3-м сантиметрам.

00:01:04.490 --> 00:01:07.170
І цей радіус рівний 3-м сантиметрам.

00:01:07.170 --> 00:01:08.270
Він не зміниться.

00:01:08.270 --> 00:01:12.220
За означенням, коло - це всі точки, 
розміщені на рівній відстані від

00:01:12.220 --> 00:01:13.400
центральної точки.

00:01:13.400 --> 00:01:17.050
Ця відстань називається радіусом.

00:01:17.050 --> 00:01:19.880
Наступна цікава особливість кола,

00:01:19.880 --> 00:01:22.040
це питання - наскільки широким є коло?

00:01:22.040 --> 00:01:26.360
Наскільки воно широке 
між найдальшими точками?

00:01:26.360 --> 00:01:28.710
Якщо розділити його по
найвіддаленіших точках,

00:01:28.710 --> 00:01:30.390
якою буде відстань?

00:01:30.390 --> 00:01:32.340
І не обов'язково саме 
ця відстань, можна

00:01:32.340 --> 00:01:35.490
розділяти за найвіддаленішими точками
в цьому місці.

00:01:35.490 --> 00:01:38.520
Я просто не розділятиму коло
ось так,

00:01:38.520 --> 00:01:40.120
бо це не будуть
найвіддаленіші точки.

00:01:40.120 --> 00:01:41.810
А найвіддаленіших точок є

00:01:41.810 --> 00:01:43.480
досить багато.

00:01:43.480 --> 00:01:46.730
Ми щойно розглядали радіус, 
і бачимо, що найвіддаленіші точки

00:01:46.730 --> 00:01:49.580
сполучені лінією, що
проходить через центр кола.

00:01:49.580 --> 00:01:52.920
По суті, це два радіуси.

00:01:52.920 --> 00:01:55.640
Один радіус ось тут,

00:01:55.640 --> 00:01:57.240
а тут - другий.

00:01:57.240 --> 00:02:01.380
Ми називаємо цю відстань
між найвіддаленішими точками кола

00:02:01.380 --> 00:02:03.030
діаметром.

00:02:03.030 --> 00:02:06.390
Тож це - діаметр кола.

00:02:06.390 --> 00:02:09.260
Він має легкий зв'язок з радіусом.

00:02:09.260 --> 00:02:16.155
Діаметр дорівнює двом радіусам.

00:02:19.060 --> 00:02:21.790
Тепер, найцікавіша річ, яка може

00:02:21.790 --> 00:02:24.560
зацікавити у колі - це те,
наскільки довгим є коло?

00:02:24.560 --> 00:02:27.340
Якщо взяти лінійку, і виміряти коло

00:02:27.340 --> 00:02:35.910
приблизно так, якою буде відстань?

00:02:35.910 --> 00:02:44.710
Ми називаємо це довжиною кола.

00:02:44.710 --> 00:02:47.440
Тож ми знаємо, як зв'язані
діаметр та радіус, але як,

00:02:47.440 --> 00:02:49.790
наприклад, довжина зв'язана з діаметром.

00:02:49.790 --> 00:02:51.550
Якщо незручно зв'язувати з діаметром,

00:02:51.550 --> 00:02:54.290
можна зв'язати з радіусом.

00:02:54.290 --> 00:02:57.130
Знаєте, тисячі років тому 
люди знімали мірки

00:02:57.130 --> 00:02:58.890
і вимірювали довжину кола

00:02:58.890 --> 00:03:00.430
та радіус.

00:03:00.430 --> 00:03:03.280
Їхні прилади були, скажімо,
не надто точні,

00:03:03.280 --> 00:03:05.010
і при вимірюванні довжини кола

00:03:05.010 --> 00:03:07.960
отримували результат, близький до 3.

00:03:07.960 --> 00:03:11.600
А при вимірюванні радіусу такого кола

00:03:11.600 --> 00:03:14.280
чи діаметру цього кола, вони казали, що

00:03:14.280 --> 00:03:16.290
діаметр близький до 1.

00:03:16.290 --> 00:03:17.740
Вони казали, що - запишемо це.

00:03:17.740 --> 00:03:21.750
Нас цікавить зв'язок, відношення між -

00:03:21.750 --> 00:03:22.660
запишу це так.

00:03:22.660 --> 00:03:33.955
Відношення між довжиною кола та діаметром.

00:03:37.560 --> 00:03:40.900
Тож, наприклад, ми мали коло - ось таке

00:03:40.900 --> 00:03:43.170
і при першому не досить якісному

00:03:43.170 --> 00:03:45.880
вимірюванні цього кола, отримували

00:03:45.880 --> 00:03:49.340
результат, близький до 3 метрів,

00:03:49.340 --> 00:03:50.490
якщо міряти навколо.

00:03:50.490 --> 00:03:52.800
А коли виміряти діаметр кола,

00:03:52.800 --> 00:03:55.050
він рівний приблизно 1.

00:03:55.050 --> 00:03:56.000
Гаразд, це цікаво.

00:03:56.000 --> 00:03:57.520
Може, відношення між довжиною

00:03:57.520 --> 00:03:58.500
і діаметром рівне 3.

00:03:58.500 --> 00:04:00.820
Тож може довжина завжди становить

00:04:00.820 --> 00:04:02.020
три діаметри.

00:04:02.020 --> 00:04:03.610
Це справджується для цього кола,

00:04:03.610 --> 00:04:05.720
але виміряємо інші кола.

00:04:05.720 --> 00:04:07.870
Наприклад, намалюю менше.

00:04:07.870 --> 00:04:11.200
Наприклад, для цього кола вимірювання

00:04:11.200 --> 00:04:14.960
показало, що довжина становить 
6 сантиметрів,

00:04:14.960 --> 00:04:18.210
приблизно - тоді була не дуже
точна лінійка.

00:04:18.210 --> 00:04:21.710
А діаметр можна виміряти

00:04:21.710 --> 00:04:23.520
приблизно у 2 сантиметри.

00:04:23.520 --> 00:04:27.520
Тож знову, відношення довжини до діаметра

00:04:27.520 --> 00:04:30.230
становить близько 3.

00:04:30.230 --> 00:04:32.140
Що ж, це акуратна властивість кола.

00:04:32.140 --> 00:04:35.430
Може, відношення довжини до діаметра

00:04:35.430 --> 00:04:38.080
є фіксованим для будь-якого кола.

00:04:38.080 --> 00:04:40.260
Тож, вирішили досліджувати і далі.

00:04:40.260 --> 00:04:42.510
Взяли кращу лінійку.

00:04:42.510 --> 00:04:45.090
І з точнішою лінійкою, вони виміряли, що

00:04:45.090 --> 00:04:47.630
діаметр точно рівний 1.

00:04:47.630 --> 00:04:49.430
Тож тепер вони точно знали діаметр.

00:04:49.430 --> 00:04:51.810
Але вимірявши довжину, стало зрозуміло, що

00:04:51.810 --> 00:04:55.970
її величина ближча до 3,1

00:04:56.000 --> 00:04:57.290
І тут так само.

00:04:57.290 --> 00:04:59.370
Відношення ближче до 3,1.

00:04:59.370 --> 00:05:01.830
Міряли все краще і краще,

00:05:01.830 --> 00:05:05.200
і стало зрозуміло, що отримуємо 
певне число,

00:05:05.200 --> 00:05:07.300
і чим краще вимірювали, тим більше 


00:05:07.300 --> 00:05:10.850
наближались до 3,14159.

00:05:10.850 --> 00:05:12.550
Тож продовжували додавати цифри, і

00:05:12.550 --> 00:05:13.620
вони не повторювались.

00:05:13.620 --> 00:05:16.640
Дивне і захоплююче метафізичне число

00:05:16.640 --> 00:05:18.300
поступово з'являлось.

00:05:18.300 --> 00:05:20.940
Тож, це число є настільки 
фундаментальним для нашого

00:05:20.940 --> 00:05:23.500
світу, бо ж коло є фундаментальним
для нашого світу,

00:05:23.500 --> 00:05:26.680
а це число є у кожному колі.

00:05:26.680 --> 00:05:28.865
Відношення довжини кола до діаметру було

00:05:28.865 --> 00:05:32.390
цим магічним числом, якому дали ім'я.

00:05:32.390 --> 00:05:37.580
Його назвали Пі, або можна просто 
писати латиною чи

00:05:37.580 --> 00:05:41.880
грецьку літеру пі - ось так.

00:05:41.880 --> 00:05:45.090
Вона представляє це число, яке, ймовірно,

00:05:45.090 --> 00:05:46.790
є найчарівнішим у цілому світі.

00:05:46.790 --> 00:05:50.430
Воно, передусім, вказує на відношення 
довжини кола до

00:05:50.430 --> 00:05:54.070
діаметру, але ви дізнаєтесь, 
на шляху нашої

00:05:54.070 --> 00:05:57.160
математичної подорожі, що воно
з'являється всюди.

00:05:57.160 --> 00:05:59.500
Це одна із фундаментальних 
основ нашого світу,

00:05:59.500 --> 00:06:03.060
яка змушує повірити у 
його впорядкованість.

00:06:03.060 --> 00:06:07.750
Але як же це використати для

00:06:07.750 --> 00:06:09.330
базової математики?

00:06:09.330 --> 00:06:12.490
Ми знаємо, ну або я повідомлю, що 
відношення довжини

00:06:12.490 --> 00:06:19.420
до діаметру - і коли я кажу відношення,
насправді я маю на увазі,

00:06:19.420 --> 00:06:21.390
що якщо поділити довжину кола на

00:06:21.390 --> 00:06:28.400
діаметр, отримаємо Пі.

00:06:28.400 --> 00:06:29.500
Пі - це ось це число.

00:06:29.500 --> 00:06:33.570
Можна записати 3,14159 і продовжувати 
далі й далі,

00:06:33.570 --> 00:06:35.950
але це буде марнуванням зусиль,
і далі з ним

00:06:35.950 --> 00:06:38.570
буде складно працювати, тож люди
вирішили записувати

00:06:38.570 --> 00:06:40.330
грецьку літеру Пі.

00:06:40.330 --> 00:06:41.850
Тож, як можна це використати?

00:06:41.850 --> 00:06:44.920
Можна помножити обидві сторони на діаметр

00:06:44.920 --> 00:06:48.640
і тоді можна сказати, що довжина рівна

00:06:48.640 --> 00:06:50.820
добутку Пі на діаметр.

00:06:50.820 --> 00:06:55.570
Або, оскільки діаметр 
дорівнює двом радіусам,

00:06:55.570 --> 00:06:59.420
можна сказати, що довжина кола рівна 
Пі помножити

00:06:59.420 --> 00:07:00.360
на 2 радіуси.

00:07:00.360 --> 00:07:04.080
Або, у тому вигляді, в якому ви
найімовірніше побачите запис,

00:07:04.080 --> 00:07:07.360
дорівнює 2 Пі r.

00:07:07.360 --> 00:07:11.220
Подивимось, чи можна це застосувати
до розв'язування наших задач.

00:07:11.220 --> 00:07:17.240
Наприклад, є коло, ось таке, і ми знаємо

00:07:17.240 --> 00:07:22.600
його радіус - радіус дорівнює 3.

00:07:22.600 --> 00:07:28.820
Тож 3, запишемо, що радіус дорівнює 3.

00:07:28.820 --> 00:07:32.310
Нехай 3 метри -
додамо одиниці вимірювання.

00:07:32.310 --> 00:07:34.660
Яка довжина цього кола?

00:07:34.660 --> 00:07:38.180
Довжина дорівнює 2 Пі помножити на радіус.

00:07:38.180 --> 00:07:42.090
Тож вона дорівнює 2 на Пі на радіус,

00:07:42.090 --> 00:07:47.280
що дорівнює 3-м метрам, 
що дає 6 метрів на Пі

00:07:47.280 --> 00:07:49.520
або 6 Пі метрів.

00:07:49.520 --> 00:07:52.430
6 Пі метрів.

00:07:52.430 --> 00:07:53.740
А тепер можна помножити.

00:07:53.740 --> 00:07:55.900
Пам'ятайте, Пі - це просто число.

00:07:55.900 --> 00:07:59.680
Пі дорівнює 3,14159 і так далі і далі.

00:07:59.680 --> 00:08:03.700
Тож якщо я помножу 6 на це число,
може, я отримаю 18

00:08:03.700 --> 00:08:05.600
і щось там після коми.

00:08:05.600 --> 00:08:07.850
Якщо маєте калькулятор,
він зараз стане у нагоді

00:08:07.850 --> 00:08:10.490
але для простоти можна залишати число

00:08:10.490 --> 00:08:12.120
разом із Пі.

00:08:12.120 --> 00:08:14.020
Не знаю точно, скільки це буде, якщо 


00:08:14.020 --> 00:08:18.510
помножити 6 на 3,14159, я не знаю
скільки ми отримаємо - ближче до 19, чи

00:08:18.510 --> 00:08:20.910
до 18, мабуть приблизно 18 з чимось

00:08:20.910 --> 00:08:21.720
після коми.

00:08:21.720 --> 00:08:23.450
У мене немає калькулятора під рукою.

00:08:23.450 --> 00:08:25.300
Замість того, щоб писати це число,

00:08:25.300 --> 00:08:27.060
можна записати тут 6 Пі.

00:08:27.060 --> 00:08:29.770
Власне, думаю, що
навряд-чи ми перевищимо

00:08:29.770 --> 00:08:31.430
межу 19.

00:08:31.430 --> 00:08:33.770
Але задамо ще одне питання.

00:08:33.770 --> 00:08:38.590
Який діаметр цього кола?

00:08:38.590 --> 00:08:42.690
Ну, якщо радіус 3, діаметр 
удвічі більший.

00:08:42.690 --> 00:08:45.730
Тож 3 множимо на 2, або 3 додати 3, що

00:08:45.730 --> 00:08:47.170
дорівнює 6 метрів.

00:08:47.170 --> 00:08:50.750
Отже, довжина 6 Пі метрів, 
діаметр 6 метрів,

00:08:50.750 --> 00:08:53.620
радіус 3 метри.

00:08:53.620 --> 00:08:55.110
Спробуємо ще дещо.

00:08:55.110 --> 00:08:57.310
Наприклад, маємо інше коло.

00:08:57.310 --> 00:09:01.220
Намалюємо його ось тут.

00:09:01.220 --> 00:09:04.620
Відомо, що довжина цього кола дорівнює

00:09:04.620 --> 00:09:08.560
10 метрів - це довжина цього кола.

00:09:08.560 --> 00:09:10.990
Якщо виміряти його навколо лінійкою.

00:09:10.990 --> 00:09:18.370
Якщо потрібно з'ясувати,
який діаметр кола?

00:09:18.370 --> 00:09:22.810
Ми знаємо, що діаметр на Пі, тобто
Пі, помножене на

00:09:22.810 --> 00:09:26.830
діаметр дорівнює довжині кола,

00:09:26.830 --> 00:09:28.700
котра становить 10 метрів.

00:09:28.700 --> 00:09:31.020
Для розв'язання потрібно
поділити обидві частини

00:09:31.020 --> 00:09:32.520
рівності на Пі.

00:09:32.520 --> 00:09:35.860
Діаметр тоді рівний 10 метрів 
поділити на Пі

00:09:35.860 --> 00:09:38.710
або 10 на Пі метрів.

00:09:38.710 --> 00:09:40.020
І це просто число.

00:09:40.020 --> 00:09:42.540
Якщо маєте калькулятор,
можете поділити 10

00:09:42.540 --> 00:09:46.030
на 3,14159, і отримаєте щось 
близьке до 3 з чимось

00:09:46.030 --> 00:09:47.500
після коми метрів.

00:09:47.500 --> 00:09:48.960
В голові я такого не порахую.

00:09:48.960 --> 00:09:50.070
Але це просто число.

00:09:50.070 --> 00:09:53.320
Тож для простоти ми можемо його 
так і залишити.

00:09:53.320 --> 00:09:55.270
Тепер, який тут радіус?

00:09:55.270 --> 00:09:58.590
Що ж, радіус - це половина діаметру.

00:09:58.590 --> 00:10:02.870
Вся ця відстань ось тут - 
це 10 на Пі метрів.

00:10:02.870 --> 00:10:06.230
Якщо взяти 1/2, адже нам потрібен 
радіус, ми просто

00:10:06.230 --> 00:10:07.580
помножимо це число на 1/2.

00:10:07.580 --> 00:10:13.160
Тож маємо 1/2 на 10 на Пі, 
що дорівнює 1/2 на 10

00:10:13.160 --> 00:10:16.770
або просто поділимо чисельник

00:10:16.770 --> 00:10:18.140
та знаменник на 2.

00:10:18.140 --> 00:10:21.130
Отримуємо тут 5,
тож 5 поділити на Пі.

00:10:21.130 --> 00:10:23.890
Тож радіус ось тут 
становить 5 поділити на Пі.

00:10:23.890 --> 00:10:25.690
Нічого особливого тут немає.

00:10:25.690 --> 00:10:30.680
Я думаю, що більшість людей
заплутує те, що вони не розуміють, що

00:10:30.680 --> 00:10:31.820
Пі - це число.

00:10:31.820 --> 00:10:38.640
Пі - це просто 3,14159 і далі 
йдуть наступні цифри.

00:10:38.640 --> 00:10:41.950
Про Пі написані тисячі книг,

00:10:41.950 --> 00:10:45.100
хоча я не знаю чи є тисячі,

00:10:45.100 --> 00:10:48.340
я трохи перебільшую, але можна
писати книги про це число.

00:10:48.340 --> 00:10:49.340
Це всього-лиш число.

00:10:49.340 --> 00:10:52.480
Це особливе число, і якщо записувати його

00:10:52.480 --> 00:10:54.390
так, як ми пишемо числа, можна

00:10:54.390 --> 00:10:55.680
просто помножити.

00:10:55.680 --> 00:10:58.530
Але здебільшого зручніше залишити

00:10:58.530 --> 00:11:00.640
запис із Пі.

00:11:00.640 --> 00:11:01.680
На цьому завершимо.

00:11:01.680 --> 00:11:03.684
У наступному відео дізнаємось,
як знайти площу кола.

00:11:03.684 --> 00:11:04.926
Переклад на українську: Оксана Пасічник, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"