1
00:00:00,780 --> 00:00:05,720
Коло - це, мабуть, найбільш 
базова фігура в усьому світі,

2
00:00:05,720 --> 00:00:08,490
яку можна знайти і у формі орбіт

3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
планет, і у колесі,

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
і на молекулярному рівні.

5
00:00:12,840 --> 00:00:15,860
Коло з'являється знову

6
00:00:15,860 --> 00:00:17,350
і знову.

7
00:00:17,350 --> 00:00:21,110
Тож, мабуть, варто розуміти деякі

8
00:00:21,110 --> 00:00:23,330
властивості кола.

9
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Перше, що люди відкрили у колі,

10
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
а його можна, наприклад, 
побачити у Місяці,

11
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
але вперше вони сказали: 
а які властивості

12
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
притаманні усім колам?

13
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
Перше, що можна сказати, це те, що коло

14
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
це множина точок, розміщених на 
рівній відстані

15
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
від центру кола.

16
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Всі ці точки по краю 
однаково віддалені

17
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
від центру, що 
міститься ось тут.

18
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
Тож перше питання, котре 
може виникнути -

19
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
яка це відстань, на яку
рівновіддалені ці точки

20
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
від центру?

21
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Ось тут.

22
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Ми називаємо її радіусом кола.

23
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Це просто відстань від центру до краю.

24
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Якщо цей радіус рівний 3-м сантиметрам, 
то цей радіус

25
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
теж рівний 3-м сантиметрам.

26
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
І цей радіус рівний 3-м сантиметрам.

27
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Він не зміниться.

28
00:01:08,270 --> 00:01:12,220
За означенням, коло - це всі точки, 
розміщені на рівній відстані від

29
00:01:12,220 --> 00:01:13,400
центральної точки.

30
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
Ця відстань називається радіусом.

31
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Наступна цікава особливість кола,

32
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
це питання - наскільки широким є коло?

33
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Наскільки воно широке 
між найдальшими точками?

34
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Якщо розділити його по
найвіддаленіших точках,

35
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
якою буде відстань?

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
І не обов'язково саме 
ця відстань, можна

37
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
розділяти за найвіддаленішими точками
в цьому місці.

38
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Я просто не розділятиму коло
ось так,

39
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
бо це не будуть
найвіддаленіші точки.

40
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
А найвіддаленіших точок є

41
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
досить багато.

42
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Ми щойно розглядали радіус, 
і бачимо, що найвіддаленіші точки

43
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
сполучені лінією, що
проходить через центр кола.

44
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
По суті, це два радіуси.

45
00:01:52,920 --> 00:01:55,640
Один радіус ось тут,

46
00:01:55,640 --> 00:01:57,240
а тут - другий.

47
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
Ми називаємо цю відстань
між найвіддаленішими точками кола

48
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
діаметром.

49
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Тож це - діаметр кола.

50
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Він має легкий зв'язок з радіусом.

51
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
Діаметр дорівнює двом радіусам.

52
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Тепер, найцікавіша річ, яка може

53
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
зацікавити у колі - це те,
наскільки довгим є коло?

54
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Якщо взяти лінійку, і виміряти коло

55
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
приблизно так, якою буде відстань?

56
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Ми називаємо це довжиною кола.

57
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Тож ми знаємо, як зв'язані
діаметр та радіус, але як,

58
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
наприклад, довжина зв'язана з діаметром.

59
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
Якщо незручно зв'язувати з діаметром,

60
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
можна зв'язати з радіусом.

61
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Знаєте, тисячі років тому 
люди знімали мірки

62
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
і вимірювали довжину кола

63
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
та радіус.

64
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
Їхні прилади були, скажімо,
не надто точні,

65
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
і при вимірюванні довжини кола

66
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
отримували результат, близький до 3.

67
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
А при вимірюванні радіусу такого кола

68
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
чи діаметру цього кола, вони казали, що

69
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
діаметр близький до 1.

70
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Вони казали, що - запишемо це.

71
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
Нас цікавить зв'язок, відношення між -

72
00:03:21,750 --> 00:03:22,660
запишу це так.

73
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
Відношення між довжиною кола та діаметром.

74
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Тож, наприклад, ми мали коло - ось таке

75
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
і при першому не досить якісному

76
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
вимірюванні цього кола, отримували

77
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
результат, близький до 3 метрів,

78
00:03:49,340 --> 00:03:50,490
якщо міряти навколо.

79
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
А коли виміряти діаметр кола,

80
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
він рівний приблизно 1.

81
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Гаразд, це цікаво.

82
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Може, відношення між довжиною

83
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
і діаметром рівне 3.

84
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
Тож може довжина завжди становить

85
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
три діаметри.

86
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
Це справджується для цього кола,

87
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
але виміряємо інші кола.

88
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Наприклад, намалюю менше.

89
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Наприклад, для цього кола вимірювання

90
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
показало, що довжина становить 
6 сантиметрів,

91
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
приблизно - тоді була не дуже
точна лінійка.

92
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
А діаметр можна виміряти

93
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
приблизно у 2 сантиметри.

94
00:04:23,520 --> 00:04:27,520
Тож знову, відношення довжини до діаметра

95
00:04:27,520 --> 00:04:30,230
становить близько 3.

96
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
Що ж, це акуратна властивість кола.

97
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Може, відношення довжини до діаметра

98
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
є фіксованим для будь-якого кола.

99
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Тож, вирішили досліджувати і далі.

100
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Взяли кращу лінійку.

101
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
І з точнішою лінійкою, вони виміряли, що

102
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
діаметр точно рівний 1.

103
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Тож тепер вони точно знали діаметр.

104
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
Але вимірявши довжину, стало зрозуміло, що

105
00:04:51,810 --> 00:04:55,970
її величина ближча до 3,1

106
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
І тут так само.

107
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Відношення ближче до 3,1.

108
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
Міряли все краще і краще,

109
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
і стало зрозуміло, що отримуємо 
певне число,

110
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
і чим краще вимірювали, тим більше 


111
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
наближались до 3,14159.

112
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
Тож продовжували додавати цифри, і

113
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
вони не повторювались.

114
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
Дивне і захоплююче метафізичне число

115
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
поступово з'являлось.

116
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Тож, це число є настільки 
фундаментальним для нашого

117
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
світу, бо ж коло є фундаментальним
для нашого світу,

118
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
а це число є у кожному колі.

119
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Відношення довжини кола до діаметру було

120
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
цим магічним числом, якому дали ім'я.

121
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Його назвали Пі, або можна просто 
писати латиною чи

122
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
грецьку літеру пі - ось так.

123
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
Вона представляє це число, яке, ймовірно,

124
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
є найчарівнішим у цілому світі.

125
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
Воно, передусім, вказує на відношення 
довжини кола до

126
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
діаметру, але ви дізнаєтесь, 
на шляху нашої

127
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
математичної подорожі, що воно
з'являється всюди.

128
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
Це одна із фундаментальних 
основ нашого світу,

129
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
яка змушує повірити у 
його впорядкованість.

130
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
Але як же це використати для

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
базової математики?

132
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
Ми знаємо, ну або я повідомлю, що 
відношення довжини

133
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
до діаметру - і коли я кажу відношення,
насправді я маю на увазі,

134
00:06:19,420 --> 00:06:21,390
що якщо поділити довжину кола на

135
00:06:21,390 --> 00:06:28,400
діаметр, отримаємо Пі.

136
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Пі - це ось це число.

137
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Можна записати 3,14159 і продовжувати 
далі й далі,

138
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
але це буде марнуванням зусиль,
і далі з ним

139
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
буде складно працювати, тож люди
вирішили записувати

140
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
грецьку літеру Пі.

141
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Тож, як можна це використати?

142
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Можна помножити обидві сторони на діаметр

143
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
і тоді можна сказати, що довжина рівна

144
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
добутку Пі на діаметр.

145
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Або, оскільки діаметр 
дорівнює двом радіусам,

146
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
можна сказати, що довжина кола рівна 
Пі помножити

147
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
на 2 радіуси.

148
00:07:00,360 --> 00:07:04,080
Або, у тому вигляді, в якому ви
найімовірніше побачите запис,

149
00:07:04,080 --> 00:07:07,360
дорівнює 2 Пі r.

150
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Подивимось, чи можна це застосувати
до розв'язування наших задач.

151
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Наприклад, є коло, ось таке, і ми знаємо

152
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
його радіус - радіус дорівнює 3.

153
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Тож 3, запишемо, що радіус дорівнює 3.

154
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Нехай 3 метри -
додамо одиниці вимірювання.

155
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Яка довжина цього кола?

156
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Довжина дорівнює 2 Пі помножити на радіус.

157
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Тож вона дорівнює 2 на Пі на радіус,

158
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
що дорівнює 3-м метрам, 
що дає 6 метрів на Пі

159
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
або 6 Пі метрів.

160
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 Пі метрів.

161
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
А тепер можна помножити.

162
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Пам'ятайте, Пі - це просто число.

163
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Пі дорівнює 3,14159 і так далі і далі.

164
00:07:59,680 --> 00:08:03,700
Тож якщо я помножу 6 на це число,
може, я отримаю 18

165
00:08:03,700 --> 00:08:05,600
і щось там після коми.

166
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Якщо маєте калькулятор,
він зараз стане у нагоді

167
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
але для простоти можна залишати число

168
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
разом із Пі.

169
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Не знаю точно, скільки це буде, якщо 


170
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
помножити 6 на 3,14159, я не знаю
скільки ми отримаємо - ближче до 19, чи

171
00:08:18,510 --> 00:08:20,910
до 18, мабуть приблизно 18 з чимось

172
00:08:20,910 --> 00:08:21,720
після коми.

173
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
У мене немає калькулятора під рукою.

174
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Замість того, щоб писати це число,

175
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
можна записати тут 6 Пі.

176
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Власне, думаю, що
навряд-чи ми перевищимо

177
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
межу 19.

178
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Але задамо ще одне питання.

179
00:08:33,770 --> 00:08:38,590
Який діаметр цього кола?

180
00:08:38,590 --> 00:08:42,690
Ну, якщо радіус 3, діаметр 
удвічі більший.

181
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Тож 3 множимо на 2, або 3 додати 3, що

182
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
дорівнює 6 метрів.

183
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Отже, довжина 6 Пі метрів, 
діаметр 6 метрів,

184
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
радіус 3 метри.

185
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Спробуємо ще дещо.

186
00:08:55,110 --> 00:08:57,310
Наприклад, маємо інше коло.

187
00:08:57,310 --> 00:09:01,220
Намалюємо його ось тут.

188
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
Відомо, що довжина цього кола дорівнює

189
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
10 метрів - це довжина цього кола.

190
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
Якщо виміряти його навколо лінійкою.

191
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
Якщо потрібно з'ясувати,
який діаметр кола?

192
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Ми знаємо, що діаметр на Пі, тобто
Пі, помножене на

193
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
діаметр дорівнює довжині кола,

194
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
котра становить 10 метрів.

195
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Для розв'язання потрібно
поділити обидві частини

196
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
рівності на Пі.

197
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Діаметр тоді рівний 10 метрів 
поділити на Пі

198
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
або 10 на Пі метрів.

199
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
І це просто число.

200
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Якщо маєте калькулятор,
можете поділити 10

201
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
на 3,14159, і отримаєте щось 
близьке до 3 з чимось

202
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
після коми метрів.

203
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
В голові я такого не порахую.

204
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
Але це просто число.

205
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
Тож для простоти ми можемо його 
так і залишити.

206
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Тепер, який тут радіус?

207
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Що ж, радіус - це половина діаметру.

208
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Вся ця відстань ось тут - 
це 10 на Пі метрів.

209
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Якщо взяти 1/2, адже нам потрібен 
радіус, ми просто

210
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
помножимо це число на 1/2.

211
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Тож маємо 1/2 на 10 на Пі, 
що дорівнює 1/2 на 10

212
00:10:13,160 --> 00:10:16,770
або просто поділимо чисельник

213
00:10:16,770 --> 00:10:18,140
та знаменник на 2.

214
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Отримуємо тут 5,
тож 5 поділити на Пі.

215
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Тож радіус ось тут 
становить 5 поділити на Пі.

216
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Нічого особливого тут немає.

217
00:10:25,690 --> 00:10:30,680
Я думаю, що більшість людей
заплутує те, що вони не розуміють, що

218
00:10:30,680 --> 00:10:31,820
Пі - це число.

219
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Пі - це просто 3,14159 і далі 
йдуть наступні цифри.

220
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Про Пі написані тисячі книг,

221
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
хоча я не знаю чи є тисячі,

222
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
я трохи перебільшую, але можна
писати книги про це число.

223
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Це всього-лиш число.

224
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
Це особливе число, і якщо записувати його

225
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
так, як ми пишемо числа, можна

226
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
просто помножити.

227
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
Але здебільшого зручніше залишити

228
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
запис із Пі.

229
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
На цьому завершимо.

230
00:11:01,680 --> 00:11:03,684
У наступному відео дізнаємось,
як знайти площу кола.

231
00:11:03,684 --> 00:11:04,926
Переклад на українську: Оксана Пасічник, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"