-
De cirkel is misschien wel de meest
fundamentele vorm in ons universum.
-
Of je nu kijkt naar de vorm
van de banen van planeten,
-
of je nu kijkt naar wielen,
-
of je nu kijkt naar voorwerpen
op moleculair niveau.
-
De cirkel blijf je maar tegenkomen.
-
Daarom is het voor ons de moeite waard
-
om sommige eigenschappen van de cirkel
beter te begrijpen.
-
Het eerste wat men ontdekte over de cirkel,
-
en je hoeft maar naar de maan te kijken
om een cirkel te zien,
-
maar de eerste keer dat men zich afvroeg
wat zijn de eigenschappen
-
van elke cirkel?
-
Het eerste wat ze waarschijnlijk zeiden is
-
dat elk punt op de cirkel een gelijke afstand heeft
-
tot het middelpunt van de cirkel.
-
Alle punten langs deze rand,
staan op gelijke afstand
-
van dit middelpunt.
-
Een van de eerst dingen die iemand
zich af kan vragen is
-
wat is dan die afstand, die gelijke afstand,
-
dat alles afligt van het midden?
-
Deze
-
We noemen dat de radius van een cirkel.
-
Het is gewoon de afstand van het
middelpunt tot de rand.
-
Als de radius 3 centimeter is, dan is deze radius
-
gelijk aan 3 centimeter.
-
En deze radius,
zal ook 3 centimeter zijn.
-
Dit zal nooit veranderen.
-
Per definitie, een cirkel is alle punten
-
die op gelijke afstand van het middelpunt liggen.
-
En die afstand is de radius.
-
Het volgende meest interessante ding,
waar iemand aan kan denken is
-
hoe dik is de cirkel?
-
Hoe breed is hij op het breedste punt?
-
Of, als je hem doorknipt op het breedste punt,
-
wat is dan de afstand?
-
En het hoeft niet alleen hier te zijn,
ik zou hem ook
-
net zo makkelijk hier kunnen knippen
op het breedste punt.
-
Ik zou hem alleen niet knippen
op een plek als deze
-
want dat is niet op het breedste punt.
-
Er zijn meerdere plekken waar ik kan knippen
-
langs het breedste punt.
-
Nou, we hebben net gezien wat de radius is,
en we zien het breedste punt
-
door het middelpunt gaat zonder te stoppen.
-
Dus eigenlijk is het twee radiussen.
-
Hier heb je een radius
-
en hier nog een.
-
We noemen deze afstand
langs het breedste punt van de cirkel
-
de diameter.
-
Dus dit is de diameter van de cirkel.
-
Het heeft een makkelijk
verband met de radius.
-
De diameter is gelijk aan
twee keer de radius.
-
Het volgende wat je je misschien afvraagt is,
-
hoe ver is de afstand rondom de cirkel.
-
Als je met je meetlint om de cirkel heen zou meten,
-
wat is dan de afstand?
-
We noemen dit de omtrek van de cirkel.
-
We weten wat het verband is
tussen de diameter en de radius,
-
maar wat is het verband tussen de
omtrek en de diameter?
-
En als je niet gewend bent aan
het werken met de diameter,
-
is het eenvoudig te bedenken
hoe dit verband met de radius is.
-
Duizenden jaren geleden,
hebben mensen hun meetlint gepakt
-
en zijn ze omtrekken
-
en radiussen gaan meten.
-
Wanneer de metingen niet precies waren,
-
bijvoorbeeld wanneer ze de
omtrek van een cirkel op maten,
-
zeiden ze: nou, het is ongeveer 3.
-
En als ze dan de radius op maten,
-
of de diameter van de cirkel, zeiden ze:
-
nou, het is ongeveer 1.
-
Ze zeiden dus
en ik zal het opschrijven
-
We maken ons zorgen over de ratio,
-
de ratio tussen omtrek en diameter.
-
Stel iemand heeft hier een cirkel
-
en de eerste keer meten ze,
-
met een niet zo precies meetlint,
rondom de cirkel.
-
En ze vinden dat de omtrek ongeveer gelijk
is aan 3 meter.
-
Als ik de diameter van deze cirkel op meet,
-
is deze ongeveer gelijk aan 1.
-
Oké, dat is interessant.
-
Misschien is de ratio van de omtrek
-
ten opzichte van de diameter,
gelijk aan 3.
-
Misschien is de omtrek
wel altijd gelijk aan
-
3 keer de diameter.
-
Nou, dat was alleen voor deze cirkel.
-
Stel ze maten een andere cirkel op, hier.
-
Hij ziet er zo uit,
ik teken hem iets kleiner.
-
Stel dat ze bij deze cirkel
de omtrek maten
-
en deze 6 centimeter was.
-
Ongeveer,
ze hadden toen geen precieze meetlinten.
-
Daarna vonden ze
dat de diameter
-
ongeveer 2 centimeter was.
-
En ook nu weer, is de ratio
tussen de omtrek en de diameter,
-
ongeveer 3.
-
Oké, dit is een mooie eigenschap
van cirkels.
-
Misschien is de ratio tussen de
omtrek en de diameter
-
altijd constant, voor elke cirkel.
-
Daarom zeiden ze,
we gaan dit verder bestuderen.
-
Ze zorgden voor beter meetlinten.
-
Opnieuw maten ze diameter op.
-
De diameter is zeker 1.
-
Dus zeiden ze, de diameter,
die is zeker 1.
-
Maar als ik de omtrek meet,
-
lijkt die dichter bij 3.1 te zitten.
-
En het zelfde met de cirkel hier.
-
Ze zagen dat deze ratio
ook dichter bij 3.1 lag.
-
Ze bleven het meten beter
en beter en beter,
-
tot ze er achter kwamen dat ze
steeds een nummer vonden,
-
en ze bleven maar beter meten.
Ze vonden dit getal:
-
3.14159
-
Ze bleven maar decimalen toevoegen
-
maar deze herhaalde zich nooit.
-
Het was een raar, maar fascinerend getal,
-
dat overal weer in voor bleef komen.
-
Omdat dit getal zo fundamenteel was
voor ons universum,
-
omdat de cirkel zo fundamenteel is
voor ons universum,
-
en het elke keer weer kwam opdagen
bij elke cirkel.
-
De ratio tussen de omtrek en de diameter
-
was een soort van, magische getal,
en daarom hebben ze het een naam gegeven.
-
Ze noemden het pi, of je schrijft het als de Latijnse
of Griekse letter pi,
-
zo dus.
-
Dat staat voor dit getal,
dat waarschijnlijk het meest
-
fascinerende getal in ons universum is.
-
Het kwam als eerste opdagen als de ratio
tussen omtrek en diameter,
-
maar je zult leren als je verder
-
komt in de wiskunde,
dat het overal voor blijft komen.
-
Het is een van de fundamentele dingen
in het universum waardoor
-
je denkt dat overal een logica achter zit.
-
Maar goed, wat kunnen we
hier nu mee voor onze
-
basis wiskunde?
-
We weten nu, of ik heb jullie uitgelegd
dat, de ratio
-
tussen de omtrek en de diameter
-- als ik ratio zeg,
-
zeg ik eigenlijk gewoon de omtrek
gedeeld door de diameter,
-
gelijk is aan pi.
-
Pi is gewoon een getal.
-
Ik zou 3.14159 kunnen schrijven,
maar het getal gaat oneindig lang door.
-
Het is zonde van de ruimte en moeilijk om mee te rekenen,
-
dus schrijft men gewoon de Griekse letter
-
pi hier.
-
Goed, hoe kunnen we hier een verband van maken?
-
We kunnen beide kanten
vermenigvuldigen met de diameter
-
dan kunnen we stellen dat de omtrek
gelijk is aan pi
-
keer de diameter.
-
Of omdat de diameter gelijk staat
aan twee keer de radius,
-
kunnen we zeggen dat de omtrek
gelijk is aan pi keer 2
-
keer de radius.
-
Of de vorm die jullie waarschijnlijk
het vaakst zullen zien:
-
het staat gelijk aan 2 pi r.
-
Laten we nu kijken of we dit kunnen
gebruiken om wat vragen op te lossen.
-
Stel ik heb een cirkel, zoals deze,
en ik vertel jullie
-
dat de radius -- deze radius, 3 is.
-
3 dus -- ik schrijf het even op,
de radius is gelijk aan 3.
-
Misschien is het 3 meter,
laten we wat eenheden toevoegen.
-
Wat is de omtrek van de cirkel?
-
De omtrek staat gelijk aan
2 keer pi keer de radius.
-
Het wordt dus 2 keer pi, keer de radius
-
keer 3 meter, wat gelijk staat aan
6 meter keer pi
-
of 6 pi meters.
-
6 pi meters.
-
Ik kan dit vermenigvuldigen.
-
Onthoud, pi is gewoon een nummer.
-
Pi is 3.14159 en gaat door en door
-
Als ik dat met 6 vermenigvuldig,
krijg ik misschien wel
-
18 punt iets
-
Als je je rekenmachine hebt,
kan je hier voor kiezen.
-
Maar voor de eenvoud kiest men
er vaak voor dit
-
in termen van pi te laten staan.
-
Ik weet niet wat je krijgt,
wanneer je 6 vermenigvuldigd met
-
3.14159, ik weet niet of het dicht
bij 19 in de buurt ligt of toch
-
dichter bij 18, misschien is het
ongeveer 18 punt iets.
-
Ik heb geen rekenmachine bij me.
-
Dus in plaats van het getal op te schrijven,
-
schrijf je nu gewoon 6 pi.
-
Eigenlijk, denk ik niet dat het
-
naar 19 afgerond wordt.
-
Laten we nu een andere vraag stellen.
-
Wat is de diameter van de cirkel?
-
Als de radius gelijk staat aan 3, dan is
de diameter twee keer dat.
-
Het wordt dus gewoon 3 keer 2,
of 3 plus 3, wat
-
gelijk staat aan 6.
-
De omtrek is dus 6 pi meters,
de diameter is 6 meter,
-
de radius is 3 meters.
-
Laten we het nu is omdraaien.
-
Stel ik heb een nieuwe cirkel,
-
deze.
-
En ik zou je vertellen dat de omtrek gelijk staat
-
aan 10 meters. -- Dit is de omtrek.
-
Als je er met een meetlint omheen zou gaan,
-
en iemand zou je vragen
wat is de diameter van deze cirkel?
-
Nou we weten dat de diameter keer pi,
we weten dat pi keer
-
de diameter, gelijk staat aan de omtrek,
-
die is 10 meter.
-
Dus om dit op te lossen,
delen we beide kanten
-
van de vergelijking door pi.
-
De diameter staat gelijk aan
10 meter gedeeld door pi, of
-
10 gedeeld door pi meters.
-
En dat is gewoon een getal.
-
Als je je rekenmachine hebt,
kun je 10 gewoon delen
-
door 3.14159, en krijg je
-
3 punt iets meters.
-
Ik kan het niet uit mijn hoofd.
-
Maar het is gewoon een getal.
-
Voor de eenvoud laten we het vaak zo staan.
-
Wat is nu de radius?
-
Nou, de radius staat gelijk aan
de helft van de diameter.
-
Dus deze hele afstand
staat gelijk aan 10 gedeeld door pi meters.
-
Als we alleen de helft willen,
als we de radius willen weten,
-
vermenigvuldigen we het gewoon met 0.5
-
We krijgen dus 0.5 keer 10 gedeeld door pi,
wat gelijk staat aan 0.5 keer 10
-
of je deelt gewoon de teller
-
en de noemer door twee.
-
Dan krijg je hier 5,
je krijgt dus 5 gedeeld door pi.
-
De radius is dus,
5 gedeeld door pi.
-
Niks spannends dus.
-
Ik denk dat mensen het meest
moeite hebben met het idee
-
dat pi gewoon een getal is.
-
Pi is gewoon 3.14159
en gaat door en door en door.
-
Er zijn duizenden boeken geschreven over pi.
-
Nou ja, ik weet niet of het er duizenden zijn,
-
ik overdrijf een beetje, maar je zou
een boek kunnen schrijven over dit getal.
-
Maar het is gewoon een nummer.
-
Het is een speciaal nummer,
als je het wilt schrijven
-
op de manier zoals je gewend bent, met cijfers,
-
kan je dit gewoon vermenigvuldigen.
-
Maar meestal komt men er achter
dat het makkelijker is om het als
-
term van pi te laten staan.
-
Hoe dan ook, hier stop ik.
-
In de volgende video zullen we
de oppervlakte van een cirkel uitzoeken.
