0:00:00.780,0:00:04.880
De cirkel is misschien wel de meest[br]fundamentele vorm in ons universum.

0:00:04.880,0:00:08.490
Of je nu kijkt naar de vorm [br]van de banen van planeten,

0:00:08.490,0:00:11.140
of je nu kijkt naar wielen,

0:00:11.140,0:00:12.840
of je nu kijkt naar voorwerpen[br]op moleculair niveau.

0:00:12.840,0:00:17.280
De cirkel blijf je maar tegenkomen.

0:00:17.280,0:00:20.750
Daarom is het voor ons de moeite waard [br]

0:00:20.750,0:00:23.330
om sommige eigenschappen van de cirkel [br]beter te begrijpen.

0:00:23.330,0:00:26.200
Het eerste wat men ontdekte over de cirkel,

0:00:26.200,0:00:28.960
en je hoeft maar naar de maan te kijken[br]om een cirkel te zien,

0:00:28.960,0:00:31.570
maar de eerste keer dat men zich afvroeg[br]wat zijn de eigenschappen

0:00:31.570,0:00:32.910
van elke cirkel?

0:00:32.910,0:00:36.150
Het eerste wat ze waarschijnlijk zeiden is

0:00:36.150,0:00:38.690
dat elk punt op de cirkel een gelijke afstand heeft

0:00:38.690,0:00:40.440
tot het middelpunt van de cirkel.

0:00:40.440,0:00:43.710
Alle punten langs deze rand, [br]staan op gelijke afstand

0:00:43.710,0:00:45.210
van dit middelpunt.

0:00:45.210,0:00:47.620
Een van de eerst dingen die iemand[br]zich af kan vragen is

0:00:47.620,0:00:50.280
wat is dan die afstand, die gelijke afstand,

0:00:50.280,0:00:51.770
dat alles afligt van het midden?

0:00:51.770,0:00:52.950
Deze

0:00:52.950,0:00:58.110
We noemen dat de radius van een cirkel.

0:00:58.110,0:01:00.350
Het is gewoon de afstand van het [br]middelpunt tot de rand.

0:01:00.350,0:01:02.820
Als de radius 3 centimeter is, dan is deze radius

0:01:02.820,0:01:04.490
gelijk aan 3 centimeter.

0:01:04.490,0:01:07.170
En deze radius, [br]zal ook 3 centimeter zijn.

0:01:07.170,0:01:08.270
Dit zal nooit veranderen.

0:01:08.270,0:01:11.440
Per definitie, een cirkel is alle punten

0:01:11.440,0:01:13.400
die op gelijke afstand van het middelpunt liggen.

0:01:13.400,0:01:17.050
En die afstand is de radius.

0:01:17.050,0:01:19.880
Het volgende meest interessante ding,[br]waar iemand aan kan denken is

0:01:19.880,0:01:22.040
hoe dik is de cirkel?

0:01:22.040,0:01:26.360
Hoe breed is hij op het breedste punt?

0:01:26.360,0:01:28.710
Of, als je hem doorknipt op het breedste punt,

0:01:28.710,0:01:30.390
wat is dan de afstand?

0:01:30.390,0:01:32.340
En het hoeft niet alleen hier te zijn,[br]ik zou hem ook

0:01:32.340,0:01:35.490
net zo makkelijk hier kunnen knippen [br]op het breedste punt.

0:01:35.490,0:01:38.520
Ik zou hem alleen niet knippen[br]op een plek als deze

0:01:38.520,0:01:40.120
want dat is niet op het breedste punt.

0:01:40.120,0:01:41.810
Er zijn meerdere plekken waar ik kan knippen

0:01:41.810,0:01:43.480
langs het breedste punt.

0:01:43.480,0:01:46.730
Nou, we hebben net gezien wat de radius is,[br]en we zien het breedste punt

0:01:46.730,0:01:49.580
door het middelpunt gaat zonder te stoppen.

0:01:49.580,0:01:52.920
Dus eigenlijk is het twee radiussen.

0:01:52.920,0:01:55.340
Hier heb je een radius

0:01:55.340,0:01:57.240
en hier nog een.

0:01:57.240,0:02:01.380
We noemen deze afstand[br]langs het breedste punt van de cirkel

0:02:01.380,0:02:03.030
de diameter.

0:02:03.030,0:02:06.390
Dus dit is de diameter van de cirkel.

0:02:06.390,0:02:09.260
Het heeft een makkelijk [br]verband met de radius.

0:02:09.260,0:02:16.155
De diameter is gelijk aan[br]twee keer de radius.

0:02:19.060,0:02:21.790
Het volgende wat je je misschien afvraagt is,

0:02:21.790,0:02:24.560
hoe ver is de afstand rondom de cirkel.

0:02:24.560,0:02:27.340
Als je met je meetlint om de cirkel heen zou meten,

0:02:27.340,0:02:35.910
wat is dan de afstand?

0:02:35.910,0:02:44.710
We noemen dit de omtrek van de cirkel.

0:02:44.710,0:02:47.320
We weten wat het verband is[br]tussen de diameter en de radius,

0:02:47.320,0:02:49.790
maar wat is het verband tussen de[br]omtrek en de diameter?

0:02:49.790,0:02:51.550
En als je niet gewend bent aan [br]het werken met de diameter,

0:02:51.550,0:02:54.290
is het eenvoudig te bedenken[br]hoe dit verband met de radius is.

0:02:54.290,0:02:57.130
Duizenden jaren geleden,[br]hebben mensen hun meetlint gepakt

0:02:57.130,0:02:58.890
en zijn ze omtrekken

0:02:58.890,0:03:00.430
en radiussen gaan meten.

0:03:00.430,0:03:03.280
Wanneer de metingen niet precies waren,

0:03:03.280,0:03:05.010
bijvoorbeeld wanneer ze de[br]omtrek van een cirkel op maten,

0:03:05.010,0:03:07.960
zeiden ze: nou, het is ongeveer 3.

0:03:07.960,0:03:11.600
En als ze dan de radius op maten,

0:03:11.600,0:03:14.280
of de diameter van de cirkel, zeiden ze:

0:03:14.280,0:03:16.290
nou, het is ongeveer 1.

0:03:16.290,0:03:17.740
Ze zeiden dus[br]en ik zal het opschrijven

0:03:17.740,0:03:21.750
We maken ons zorgen over de ratio,

0:03:22.660,0:03:33.955
de ratio tussen omtrek en diameter.

0:03:37.560,0:03:40.900
Stel iemand heeft hier een cirkel

0:03:40.900,0:03:43.170
en de eerste keer meten ze,

0:03:43.170,0:03:45.880
met een niet zo precies meetlint, [br]rondom de cirkel.

0:03:45.880,0:03:49.340
En ze vinden dat de omtrek ongeveer gelijk[br]is aan 3 meter.

0:03:50.490,0:03:52.800
Als ik de diameter van deze cirkel op meet,

0:03:52.800,0:03:55.050
is deze ongeveer gelijk aan 1.

0:03:55.050,0:03:56.000
Oké, dat is interessant.

0:03:56.000,0:03:57.520
Misschien is de ratio van de omtrek

0:03:57.520,0:03:58.500
ten opzichte van de diameter,[br]gelijk aan 3.

0:03:58.500,0:04:00.820
Misschien is de omtrek [br]wel altijd gelijk aan

0:04:00.820,0:04:02.020
3 keer de diameter.

0:04:02.020,0:04:03.610
Nou, dat was alleen voor deze cirkel.

0:04:03.610,0:04:05.720
Stel ze maten een andere cirkel op, hier.

0:04:05.720,0:04:07.870
Hij ziet er zo uit,[br]ik teken hem iets kleiner.

0:04:07.870,0:04:11.200
Stel dat ze bij deze cirkel[br]de omtrek maten

0:04:11.200,0:04:14.960
en deze 6 centimeter was.

0:04:14.960,0:04:18.210
Ongeveer, [br]ze hadden toen geen precieze meetlinten.

0:04:18.210,0:04:21.710
Daarna vonden ze[br]dat de diameter

0:04:21.710,0:04:23.520
ongeveer 2 centimeter was.

0:04:23.520,0:04:25.490
En ook nu weer, is de ratio[br]tussen de omtrek en de diameter,

0:04:25.490,0:04:30.230
ongeveer 3.

0:04:30.230,0:04:32.140
Oké, dit is een mooie eigenschap[br]van cirkels.

0:04:32.140,0:04:35.430
Misschien is de ratio tussen de[br]omtrek en de diameter

0:04:35.430,0:04:38.080
altijd constant, voor elke cirkel.

0:04:38.080,0:04:40.260
Daarom zeiden ze,[br]we gaan dit verder bestuderen.

0:04:40.260,0:04:42.510
Ze zorgden voor beter meetlinten.

0:04:42.510,0:04:45.090
Opnieuw maten ze diameter op.

0:04:45.090,0:04:47.630
De diameter is zeker 1.

0:04:47.630,0:04:49.430
Dus zeiden ze, de diameter,[br]die is zeker 1.

0:04:49.430,0:04:51.810
Maar als ik de omtrek meet,

0:04:51.810,0:04:55.900
lijkt die dichter bij 3.1 te zitten.

0:04:55.930,0:04:57.290
En het zelfde met de cirkel hier.

0:04:57.290,0:04:59.370
Ze zagen dat deze ratio[br]ook dichter bij 3.1 lag.

0:04:59.370,0:05:01.830
Ze bleven het meten beter[br]en beter en beter,

0:05:01.830,0:05:05.200
tot ze er achter kwamen dat ze[br]steeds een nummer vonden,

0:05:05.200,0:05:07.300
en ze bleven maar beter meten.[br]Ze vonden dit getal:

0:05:07.300,0:05:10.850
3.14159

0:05:10.850,0:05:12.550
Ze bleven maar decimalen toevoegen

0:05:12.550,0:05:13.620
maar deze herhaalde zich nooit.

0:05:13.620,0:05:16.640
Het was een raar, maar fascinerend getal,

0:05:16.640,0:05:18.300
dat overal weer in voor bleef komen.

0:05:18.300,0:05:20.940
Omdat dit getal zo fundamenteel was [br]voor ons universum,

0:05:20.940,0:05:23.500
omdat de cirkel zo fundamenteel is[br]voor ons universum,

0:05:23.500,0:05:26.680
en het elke keer weer kwam opdagen[br]bij elke cirkel.

0:05:26.680,0:05:28.865
De ratio tussen de omtrek en de diameter

0:05:28.865,0:05:32.390
was een soort van, magische getal,[br]en daarom hebben ze het een naam gegeven.

0:05:32.390,0:05:37.580
Ze noemden het pi, of je schrijft het als de Latijnse[br]of Griekse letter pi,

0:05:37.580,0:05:41.880
zo dus.

0:05:41.880,0:05:45.090
Dat staat voor dit getal,[br]dat waarschijnlijk het meest

0:05:45.090,0:05:46.790
fascinerende getal in ons universum is.

0:05:46.790,0:05:50.430
Het kwam als eerste opdagen als de ratio[br]tussen omtrek en diameter,

0:05:50.430,0:05:54.070
maar je zult leren als je verder

0:05:54.070,0:05:57.160
komt in de wiskunde, [br]dat het overal voor blijft komen.

0:05:57.160,0:05:59.500
Het is een van de fundamentele dingen[br]in het universum waardoor

0:05:59.500,0:06:03.060
je denkt dat overal een logica achter zit.

0:06:03.060,0:06:07.750
Maar goed, wat kunnen we[br]hier nu mee voor onze

0:06:07.750,0:06:09.330
basis wiskunde?

0:06:09.330,0:06:12.490
We weten nu, of ik heb jullie uitgelegd [br]dat, de ratio

0:06:12.490,0:06:19.420
tussen de omtrek en de diameter[br]-- als ik ratio zeg,

0:06:19.420,0:06:27.090
zeg ik eigenlijk gewoon de omtrek[br]gedeeld door de diameter,

0:06:27.090,0:06:28.400
gelijk is aan pi.

0:06:28.400,0:06:29.500
Pi is gewoon een getal.

0:06:29.500,0:06:33.570
Ik zou 3.14159 kunnen schrijven,[br]maar het getal gaat oneindig lang door.

0:06:33.570,0:06:35.950
Het is zonde van de ruimte en moeilijk om mee te rekenen,

0:06:35.950,0:06:38.570
dus schrijft men gewoon de Griekse letter

0:06:38.570,0:06:40.330
pi hier.

0:06:40.330,0:06:41.850
Goed, hoe kunnen we hier een verband van maken?

0:06:41.850,0:06:44.920
We kunnen beide kanten[br]vermenigvuldigen met de diameter

0:06:44.920,0:06:48.640
dan kunnen we stellen dat de omtrek[br]gelijk is aan pi

0:06:48.640,0:06:50.820
keer de diameter.

0:06:50.820,0:06:55.570
Of omdat de diameter gelijk staat[br]aan twee keer de radius,

0:06:55.570,0:06:59.420
kunnen we zeggen dat de omtrek[br]gelijk is aan pi keer 2

0:06:59.420,0:07:00.360
keer de radius.

0:07:00.360,0:07:03.450
Of de vorm die jullie waarschijnlijk[br]het vaakst zullen zien:

0:07:03.450,0:07:07.360
het staat gelijk aan 2 pi r.

0:07:07.360,0:07:11.220
Laten we nu kijken of we dit kunnen[br]gebruiken om wat vragen op te lossen.

0:07:11.220,0:07:17.240
Stel ik heb een cirkel, zoals deze,[br]en ik vertel jullie

0:07:17.240,0:07:22.600
dat de radius -- deze radius, 3 is.

0:07:22.600,0:07:28.820
3 dus -- ik schrijf het even op,[br]de radius is gelijk aan 3.

0:07:28.820,0:07:32.310
Misschien is het 3 meter,[br]laten we wat eenheden toevoegen.

0:07:32.310,0:07:34.660
Wat is de omtrek van de cirkel?

0:07:34.660,0:07:38.180
De omtrek staat gelijk aan[br]2 keer pi keer de radius.

0:07:38.180,0:07:42.090
Het wordt dus 2 keer pi, keer de radius

0:07:42.090,0:07:47.280
keer 3 meter, wat gelijk staat aan [br]6 meter keer pi

0:07:47.280,0:07:49.520
of 6 pi meters.

0:07:49.520,0:07:52.430
6 pi meters.

0:07:52.430,0:07:53.740
Ik kan dit vermenigvuldigen.

0:07:53.740,0:07:55.900
Onthoud, pi is gewoon een nummer.

0:07:55.900,0:07:59.680
Pi is 3.14159 en gaat door en door

0:07:59.680,0:08:03.040
Als ik dat met 6 vermenigvuldig,[br]krijg ik misschien wel

0:08:03.040,0:08:05.600
18 punt iets

0:08:05.600,0:08:07.850
Als je je rekenmachine hebt, [br]kan je hier voor kiezen.

0:08:07.850,0:08:10.490
Maar voor de eenvoud kiest men[br]er vaak voor dit

0:08:10.490,0:08:12.120
in termen van pi te laten staan.

0:08:12.120,0:08:14.020
Ik weet niet wat je krijgt,[br]wanneer je 6 vermenigvuldigd met

0:08:14.020,0:08:18.510
3.14159, ik weet niet of het dicht[br]bij 19 in de buurt ligt of toch

0:08:18.510,0:08:21.660
dichter bij 18, misschien is het[br]ongeveer 18 punt iets.

0:08:21.660,0:08:23.450
Ik heb geen rekenmachine bij me.

0:08:23.450,0:08:25.300
Dus in plaats van het getal op te schrijven,

0:08:25.300,0:08:27.060
schrijf je nu gewoon 6 pi.

0:08:27.060,0:08:29.770
Eigenlijk, denk ik niet dat het

0:08:29.770,0:08:31.430
naar 19 afgerond wordt.

0:08:31.430,0:08:33.770
Laten we nu een andere vraag stellen.

0:08:33.770,0:08:35.270
Wat is de diameter van de cirkel?

0:08:38.580,0:08:42.690
Als de radius gelijk staat aan 3, dan is[br]de diameter twee keer dat.

0:08:42.690,0:08:45.730
Het wordt dus gewoon 3 keer 2,[br]of 3 plus 3, wat

0:08:45.730,0:08:47.170
gelijk staat aan 6.

0:08:47.170,0:08:50.750
De omtrek is dus 6 pi meters, [br]de diameter is 6 meter,

0:08:50.750,0:08:53.620
de radius is 3 meters.

0:08:53.620,0:08:55.110
Laten we het nu is omdraaien.

0:08:55.110,0:08:57.570
Stel ik heb een nieuwe cirkel,

0:08:59.640,0:09:01.220
deze.

0:09:01.220,0:09:04.620
En ik zou je vertellen dat de omtrek gelijk staat

0:09:04.620,0:09:08.560
aan 10 meters. -- Dit is de omtrek.

0:09:08.560,0:09:10.990
Als je er met een meetlint omheen zou gaan,

0:09:10.990,0:09:18.370
en iemand zou je vragen[br]wat is de diameter van deze cirkel?

0:09:18.370,0:09:22.810
Nou we weten dat de diameter keer pi,[br]we weten dat pi keer

0:09:22.810,0:09:26.830
de diameter, gelijk staat aan de omtrek,

0:09:26.830,0:09:28.700
die is 10 meter.

0:09:28.700,0:09:31.020
Dus om dit op te lossen,[br]delen we beide kanten

0:09:31.020,0:09:32.520
van de vergelijking door pi.

0:09:32.520,0:09:35.860
De diameter staat gelijk aan [br]10 meter gedeeld door pi, of

0:09:35.860,0:09:38.710
10 gedeeld door pi meters.

0:09:38.710,0:09:40.020
En dat is gewoon een getal.

0:09:40.020,0:09:42.540
Als je je rekenmachine hebt,[br]kun je 10 gewoon delen

0:09:42.540,0:09:46.030
door 3.14159, en krijg je

0:09:46.030,0:09:47.500
3 punt iets meters.

0:09:47.500,0:09:48.960
Ik kan het niet uit mijn hoofd.

0:09:48.960,0:09:50.070
Maar het is gewoon een getal.

0:09:50.070,0:09:53.320
Voor de eenvoud laten we het vaak zo staan.

0:09:53.320,0:09:55.270
Wat is nu de radius?

0:09:55.270,0:09:58.590
Nou, de radius staat gelijk aan [br]de helft van de diameter.

0:09:58.590,0:10:02.870
Dus deze hele afstand[br]staat gelijk aan 10 gedeeld door pi meters.

0:10:02.870,0:10:06.230
Als we alleen de helft willen, [br]als we de radius willen weten,

0:10:06.230,0:10:07.580
vermenigvuldigen we het gewoon met 0.5

0:10:07.580,0:10:13.160
We krijgen dus 0.5 keer 10 gedeeld door pi, [br]wat gelijk staat aan 0.5 keer 10

0:10:13.160,0:10:16.320
of je deelt gewoon de teller

0:10:16.320,0:10:18.140
en de noemer door twee.

0:10:18.140,0:10:21.130
Dan krijg je hier 5, [br]je krijgt dus 5 gedeeld door pi.

0:10:21.130,0:10:23.890
De radius is dus,[br]5 gedeeld door pi.

0:10:23.890,0:10:25.690
Niks spannends dus.

0:10:25.690,0:10:29.760
Ik denk dat mensen het meest[br]moeite hebben met het idee

0:10:29.760,0:10:31.820
dat pi gewoon een getal is.

0:10:31.820,0:10:38.640
Pi is gewoon 3.14159 [br]en gaat door en door en door.

0:10:38.640,0:10:41.950
Er zijn duizenden boeken geschreven over pi.

0:10:41.950,0:10:45.100
Nou ja, ik weet niet of het er duizenden zijn,

0:10:45.100,0:10:48.340
ik overdrijf een beetje, maar je zou[br]een boek kunnen schrijven over dit getal.

0:10:48.340,0:10:49.340
Maar het is gewoon een nummer.

0:10:49.340,0:10:52.480
Het is een speciaal nummer, [br]als je het wilt schrijven

0:10:52.480,0:10:54.390
op de manier zoals je gewend bent, met cijfers,

0:10:54.390,0:10:55.680
kan je dit gewoon vermenigvuldigen.

0:10:55.680,0:10:58.530
Maar meestal komt men er achter[br]dat het makkelijker is om het als

0:10:58.530,0:11:00.640
term van pi te laten staan.

0:11:00.640,0:11:01.680
Hoe dan ook, hier stop ik.

0:11:01.680,0:11:05.090
In de volgende video zullen we[br]de oppervlakte van een cirkel uitzoeken.