WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:04.880
De cirkel is misschien wel de meest
fundamentele vorm in ons universum.

00:00:04.880 --> 00:00:08.490
Of je nu kijkt naar de vorm 
van de banen van planeten,

00:00:08.490 --> 00:00:11.140
of je nu kijkt naar wielen,

00:00:11.140 --> 00:00:12.840
of je nu kijkt naar voorwerpen
op moleculair niveau.

00:00:12.840 --> 00:00:17.280
De cirkel blijf je maar tegenkomen.

00:00:17.280 --> 00:00:20.750
Daarom is het voor ons de moeite waard 


00:00:20.750 --> 00:00:23.330
om sommige eigenschappen van de cirkel 
beter te begrijpen.

00:00:23.330 --> 00:00:26.200
Het eerste wat men ontdekte over de cirkel,

00:00:26.200 --> 00:00:28.960
en je hoeft maar naar de maan te kijken
om een cirkel te zien,

00:00:28.960 --> 00:00:31.570
maar de eerste keer dat men zich afvroeg
wat zijn de eigenschappen

00:00:31.570 --> 00:00:32.910
van elke cirkel?

00:00:32.910 --> 00:00:36.150
Het eerste wat ze waarschijnlijk zeiden is

00:00:36.150 --> 00:00:38.690
dat elk punt op de cirkel een gelijke afstand heeft

00:00:38.690 --> 00:00:40.440
tot het middelpunt van de cirkel.

00:00:40.440 --> 00:00:43.710
Alle punten langs deze rand, 
staan op gelijke afstand

00:00:43.710 --> 00:00:45.210
van dit middelpunt.

00:00:45.210 --> 00:00:47.620
Een van de eerst dingen die iemand
zich af kan vragen is

00:00:47.620 --> 00:00:50.280
wat is dan die afstand, die gelijke afstand,

00:00:50.280 --> 00:00:51.770
dat alles afligt van het midden?

00:00:51.770 --> 00:00:52.950
Deze

00:00:52.950 --> 00:00:58.110
We noemen dat de radius van een cirkel.

00:00:58.110 --> 00:01:00.350
Het is gewoon de afstand van het 
middelpunt tot de rand.

00:01:00.350 --> 00:01:02.820
Als de radius 3 centimeter is, dan is deze radius

00:01:02.820 --> 00:01:04.490
gelijk aan 3 centimeter.

00:01:04.490 --> 00:01:07.170
En deze radius, 
zal ook 3 centimeter zijn.

00:01:07.170 --> 00:01:08.270
Dit zal nooit veranderen.

00:01:08.270 --> 00:01:11.440
Per definitie, een cirkel is alle punten

00:01:11.440 --> 00:01:13.400
die op gelijke afstand van het middelpunt liggen.

00:01:13.400 --> 00:01:17.050
En die afstand is de radius.

00:01:17.050 --> 00:01:19.880
Het volgende meest interessante ding,
waar iemand aan kan denken is

00:01:19.880 --> 00:01:22.040
hoe dik is de cirkel?

00:01:22.040 --> 00:01:26.360
Hoe breed is hij op het breedste punt?

00:01:26.360 --> 00:01:28.710
Of, als je hem doorknipt op het breedste punt,

00:01:28.710 --> 00:01:30.390
wat is dan de afstand?

00:01:30.390 --> 00:01:32.340
En het hoeft niet alleen hier te zijn,
ik zou hem ook

00:01:32.340 --> 00:01:35.490
net zo makkelijk hier kunnen knippen 
op het breedste punt.

00:01:35.490 --> 00:01:38.520
Ik zou hem alleen niet knippen
op een plek als deze

00:01:38.520 --> 00:01:40.120
want dat is niet op het breedste punt.

00:01:40.120 --> 00:01:41.810
Er zijn meerdere plekken waar ik kan knippen

00:01:41.810 --> 00:01:43.480
langs het breedste punt.

00:01:43.480 --> 00:01:46.730
Nou, we hebben net gezien wat de radius is,
en we zien het breedste punt

00:01:46.730 --> 00:01:49.580
door het middelpunt gaat zonder te stoppen.

00:01:49.580 --> 00:01:52.920
Dus eigenlijk is het twee radiussen.

00:01:52.920 --> 00:01:55.340
Hier heb je een radius

00:01:55.340 --> 00:01:57.240
en hier nog een.

00:01:57.240 --> 00:02:01.380
We noemen deze afstand
langs het breedste punt van de cirkel

00:02:01.380 --> 00:02:03.030
de diameter.

00:02:03.030 --> 00:02:06.390
Dus dit is de diameter van de cirkel.

00:02:06.390 --> 00:02:09.260
Het heeft een makkelijk 
verband met de radius.

00:02:09.260 --> 00:02:16.155
De diameter is gelijk aan
twee keer de radius.

00:02:19.060 --> 00:02:21.790
Het volgende wat je je misschien afvraagt is,

00:02:21.790 --> 00:02:24.560
hoe ver is de afstand rondom de cirkel.

00:02:24.560 --> 00:02:27.340
Als je met je meetlint om de cirkel heen zou meten,

00:02:27.340 --> 00:02:35.910
wat is dan de afstand?

00:02:35.910 --> 00:02:44.710
We noemen dit de omtrek van de cirkel.

00:02:44.710 --> 00:02:47.320
We weten wat het verband is
tussen de diameter en de radius,

00:02:47.320 --> 00:02:49.790
maar wat is het verband tussen de
omtrek en de diameter?

00:02:49.790 --> 00:02:51.550
En als je niet gewend bent aan 
het werken met de diameter,

00:02:51.550 --> 00:02:54.290
is het eenvoudig te bedenken
hoe dit verband met de radius is.

00:02:54.290 --> 00:02:57.130
Duizenden jaren geleden,
hebben mensen hun meetlint gepakt

00:02:57.130 --> 00:02:58.890
en zijn ze omtrekken

00:02:58.890 --> 00:03:00.430
en radiussen gaan meten.

00:03:00.430 --> 00:03:03.280
Wanneer de metingen niet precies waren,

00:03:03.280 --> 00:03:05.010
bijvoorbeeld wanneer ze de
omtrek van een cirkel op maten,

00:03:05.010 --> 00:03:07.960
zeiden ze: nou, het is ongeveer 3.

00:03:07.960 --> 00:03:11.600
En als ze dan de radius op maten,

00:03:11.600 --> 00:03:14.280
of de diameter van de cirkel, zeiden ze:

00:03:14.280 --> 00:03:16.290
nou, het is ongeveer 1.

00:03:16.290 --> 00:03:17.740
Ze zeiden dus
en ik zal het opschrijven

00:03:17.740 --> 00:03:21.750
We maken ons zorgen over de ratio,

00:03:22.660 --> 00:03:33.955
de ratio tussen omtrek en diameter.

00:03:37.560 --> 00:03:40.900
Stel iemand heeft hier een cirkel

00:03:40.900 --> 00:03:43.170
en de eerste keer meten ze,

00:03:43.170 --> 00:03:45.880
met een niet zo precies meetlint, 
rondom de cirkel.

00:03:45.880 --> 00:03:49.340
En ze vinden dat de omtrek ongeveer gelijk
is aan 3 meter.

00:03:50.490 --> 00:03:52.800
Als ik de diameter van deze cirkel op meet,

00:03:52.800 --> 00:03:55.050
is deze ongeveer gelijk aan 1.

00:03:55.050 --> 00:03:56.000
Oké, dat is interessant.

00:03:56.000 --> 00:03:57.520
Misschien is de ratio van de omtrek

00:03:57.520 --> 00:03:58.500
ten opzichte van de diameter,
gelijk aan 3.

00:03:58.500 --> 00:04:00.820
Misschien is de omtrek 
wel altijd gelijk aan

00:04:00.820 --> 00:04:02.020
3 keer de diameter.

00:04:02.020 --> 00:04:03.610
Nou, dat was alleen voor deze cirkel.

00:04:03.610 --> 00:04:05.720
Stel ze maten een andere cirkel op, hier.

00:04:05.720 --> 00:04:07.870
Hij ziet er zo uit,
ik teken hem iets kleiner.

00:04:07.870 --> 00:04:11.200
Stel dat ze bij deze cirkel
de omtrek maten

00:04:11.200 --> 00:04:14.960
en deze 6 centimeter was.

00:04:14.960 --> 00:04:18.210
Ongeveer, 
ze hadden toen geen precieze meetlinten.

00:04:18.210 --> 00:04:21.710
Daarna vonden ze
dat de diameter

00:04:21.710 --> 00:04:23.520
ongeveer 2 centimeter was.

00:04:23.520 --> 00:04:25.490
En ook nu weer, is de ratio
tussen de omtrek en de diameter,

00:04:25.490 --> 00:04:30.230
ongeveer 3.

00:04:30.230 --> 00:04:32.140
Oké, dit is een mooie eigenschap
van cirkels.

00:04:32.140 --> 00:04:35.430
Misschien is de ratio tussen de
omtrek en de diameter

00:04:35.430 --> 00:04:38.080
altijd constant, voor elke cirkel.

00:04:38.080 --> 00:04:40.260
Daarom zeiden ze,
we gaan dit verder bestuderen.

00:04:40.260 --> 00:04:42.510
Ze zorgden voor beter meetlinten.

00:04:42.510 --> 00:04:45.090
Opnieuw maten ze diameter op.

00:04:45.090 --> 00:04:47.630
De diameter is zeker 1.

00:04:47.630 --> 00:04:49.430
Dus zeiden ze, de diameter,
die is zeker 1.

00:04:49.430 --> 00:04:51.810
Maar als ik de omtrek meet,

00:04:51.810 --> 00:04:55.900
lijkt die dichter bij 3.1 te zitten.

00:04:55.930 --> 00:04:57.290
En het zelfde met de cirkel hier.

00:04:57.290 --> 00:04:59.370
Ze zagen dat deze ratio
ook dichter bij 3.1 lag.

00:04:59.370 --> 00:05:01.830
Ze bleven het meten beter
en beter en beter,

00:05:01.830 --> 00:05:05.200
tot ze er achter kwamen dat ze
steeds een nummer vonden,

00:05:05.200 --> 00:05:07.300
en ze bleven maar beter meten.
Ze vonden dit getal:

00:05:07.300 --> 00:05:10.850
3.14159

00:05:10.850 --> 00:05:12.550
Ze bleven maar decimalen toevoegen

00:05:12.550 --> 00:05:13.620
maar deze herhaalde zich nooit.

00:05:13.620 --> 00:05:16.640
Het was een raar, maar fascinerend getal,

00:05:16.640 --> 00:05:18.300
dat overal weer in voor bleef komen.

00:05:18.300 --> 00:05:20.940
Omdat dit getal zo fundamenteel was 
voor ons universum,

00:05:20.940 --> 00:05:23.500
omdat de cirkel zo fundamenteel is
voor ons universum,

00:05:23.500 --> 00:05:26.680
en het elke keer weer kwam opdagen
bij elke cirkel.

00:05:26.680 --> 00:05:28.865
De ratio tussen de omtrek en de diameter

00:05:28.865 --> 00:05:32.390
was een soort van, magische getal,
en daarom hebben ze het een naam gegeven.

00:05:32.390 --> 00:05:37.580
Ze noemden het pi, of je schrijft het als de Latijnse
of Griekse letter pi,

00:05:37.580 --> 00:05:41.880
zo dus.

00:05:41.880 --> 00:05:45.090
Dat staat voor dit getal,
dat waarschijnlijk het meest

00:05:45.090 --> 00:05:46.790
fascinerende getal in ons universum is.

00:05:46.790 --> 00:05:50.430
Het kwam als eerste opdagen als de ratio
tussen omtrek en diameter,

00:05:50.430 --> 00:05:54.070
maar je zult leren als je verder

00:05:54.070 --> 00:05:57.160
komt in de wiskunde, 
dat het overal voor blijft komen.

00:05:57.160 --> 00:05:59.500
Het is een van de fundamentele dingen
in het universum waardoor

00:05:59.500 --> 00:06:03.060
je denkt dat overal een logica achter zit.

00:06:03.060 --> 00:06:07.750
Maar goed, wat kunnen we
hier nu mee voor onze

00:06:07.750 --> 00:06:09.330
basis wiskunde?

00:06:09.330 --> 00:06:12.490
We weten nu, of ik heb jullie uitgelegd 
dat, de ratio

00:06:12.490 --> 00:06:19.420
tussen de omtrek en de diameter
-- als ik ratio zeg,

00:06:19.420 --> 00:06:27.090
zeg ik eigenlijk gewoon de omtrek
gedeeld door de diameter,

00:06:27.090 --> 00:06:28.400
gelijk is aan pi.

00:06:28.400 --> 00:06:29.500
Pi is gewoon een getal.

00:06:29.500 --> 00:06:33.570
Ik zou 3.14159 kunnen schrijven,
maar het getal gaat oneindig lang door.

00:06:33.570 --> 00:06:35.950
Het is zonde van de ruimte en moeilijk om mee te rekenen,

00:06:35.950 --> 00:06:38.570
dus schrijft men gewoon de Griekse letter

00:06:38.570 --> 00:06:40.330
pi hier.

00:06:40.330 --> 00:06:41.850
Goed, hoe kunnen we hier een verband van maken?

00:06:41.850 --> 00:06:44.920
We kunnen beide kanten
vermenigvuldigen met de diameter

00:06:44.920 --> 00:06:48.640
dan kunnen we stellen dat de omtrek
gelijk is aan pi

00:06:48.640 --> 00:06:50.820
keer de diameter.

00:06:50.820 --> 00:06:55.570
Of omdat de diameter gelijk staat
aan twee keer de radius,

00:06:55.570 --> 00:06:59.420
kunnen we zeggen dat de omtrek
gelijk is aan pi keer 2

00:06:59.420 --> 00:07:00.360
keer de radius.

00:07:00.360 --> 00:07:03.450
Of de vorm die jullie waarschijnlijk
het vaakst zullen zien:

00:07:03.450 --> 00:07:07.360
het staat gelijk aan 2 pi r.

00:07:07.360 --> 00:07:11.220
Laten we nu kijken of we dit kunnen
gebruiken om wat vragen op te lossen.

00:07:11.220 --> 00:07:17.240
Stel ik heb een cirkel, zoals deze,
en ik vertel jullie

00:07:17.240 --> 00:07:22.600
dat de radius -- deze radius, 3 is.

00:07:22.600 --> 00:07:28.820
3 dus -- ik schrijf het even op,
de radius is gelijk aan 3.

00:07:28.820 --> 00:07:32.310
Misschien is het 3 meter,
laten we wat eenheden toevoegen.

00:07:32.310 --> 00:07:34.660
Wat is de omtrek van de cirkel?

00:07:34.660 --> 00:07:38.180
De omtrek staat gelijk aan
2 keer pi keer de radius.

00:07:38.180 --> 00:07:42.090
Het wordt dus 2 keer pi, keer de radius

00:07:42.090 --> 00:07:47.280
keer 3 meter, wat gelijk staat aan 
6 meter keer pi

00:07:47.280 --> 00:07:49.520
of 6 pi meters.

00:07:49.520 --> 00:07:52.430
6 pi meters.

00:07:52.430 --> 00:07:53.740
Ik kan dit vermenigvuldigen.

00:07:53.740 --> 00:07:55.900
Onthoud, pi is gewoon een nummer.

00:07:55.900 --> 00:07:59.680
Pi is 3.14159 en gaat door en door

00:07:59.680 --> 00:08:03.040
Als ik dat met 6 vermenigvuldig,
krijg ik misschien wel

00:08:03.040 --> 00:08:05.600
18 punt iets

00:08:05.600 --> 00:08:07.850
Als je je rekenmachine hebt, 
kan je hier voor kiezen.

00:08:07.850 --> 00:08:10.490
Maar voor de eenvoud kiest men
er vaak voor dit

00:08:10.490 --> 00:08:12.120
in termen van pi te laten staan.

00:08:12.120 --> 00:08:14.020
Ik weet niet wat je krijgt,
wanneer je 6 vermenigvuldigd met

00:08:14.020 --> 00:08:18.510
3.14159, ik weet niet of het dicht
bij 19 in de buurt ligt of toch

00:08:18.510 --> 00:08:21.660
dichter bij 18, misschien is het
ongeveer 18 punt iets.

00:08:21.660 --> 00:08:23.450
Ik heb geen rekenmachine bij me.

00:08:23.450 --> 00:08:25.300
Dus in plaats van het getal op te schrijven,

00:08:25.300 --> 00:08:27.060
schrijf je nu gewoon 6 pi.

00:08:27.060 --> 00:08:29.770
Eigenlijk, denk ik niet dat het

00:08:29.770 --> 00:08:31.430
naar 19 afgerond wordt.

00:08:31.430 --> 00:08:33.770
Laten we nu een andere vraag stellen.

00:08:33.770 --> 00:08:35.270
Wat is de diameter van de cirkel?

00:08:38.580 --> 00:08:42.690
Als de radius gelijk staat aan 3, dan is
de diameter twee keer dat.

00:08:42.690 --> 00:08:45.730
Het wordt dus gewoon 3 keer 2,
of 3 plus 3, wat

00:08:45.730 --> 00:08:47.170
gelijk staat aan 6.

00:08:47.170 --> 00:08:50.750
De omtrek is dus 6 pi meters, 
de diameter is 6 meter,

00:08:50.750 --> 00:08:53.620
de radius is 3 meters.

00:08:53.620 --> 00:08:55.110
Laten we het nu is omdraaien.

00:08:55.110 --> 00:08:57.570
Stel ik heb een nieuwe cirkel,

00:08:59.640 --> 00:09:01.220
deze.

00:09:01.220 --> 00:09:04.620
En ik zou je vertellen dat de omtrek gelijk staat

00:09:04.620 --> 00:09:08.560
aan 10 meters. -- Dit is de omtrek.

00:09:08.560 --> 00:09:10.990
Als je er met een meetlint omheen zou gaan,

00:09:10.990 --> 00:09:18.370
en iemand zou je vragen
wat is de diameter van deze cirkel?

00:09:18.370 --> 00:09:22.810
Nou we weten dat de diameter keer pi,
we weten dat pi keer

00:09:22.810 --> 00:09:26.830
de diameter, gelijk staat aan de omtrek,

00:09:26.830 --> 00:09:28.700
die is 10 meter.

00:09:28.700 --> 00:09:31.020
Dus om dit op te lossen,
delen we beide kanten

00:09:31.020 --> 00:09:32.520
van de vergelijking door pi.

00:09:32.520 --> 00:09:35.860
De diameter staat gelijk aan 
10 meter gedeeld door pi, of

00:09:35.860 --> 00:09:38.710
10 gedeeld door pi meters.

00:09:38.710 --> 00:09:40.020
En dat is gewoon een getal.

00:09:40.020 --> 00:09:42.540
Als je je rekenmachine hebt,
kun je 10 gewoon delen

00:09:42.540 --> 00:09:46.030
door 3.14159, en krijg je

00:09:46.030 --> 00:09:47.500
3 punt iets meters.

00:09:47.500 --> 00:09:48.960
Ik kan het niet uit mijn hoofd.

00:09:48.960 --> 00:09:50.070
Maar het is gewoon een getal.

00:09:50.070 --> 00:09:53.320
Voor de eenvoud laten we het vaak zo staan.

00:09:53.320 --> 00:09:55.270
Wat is nu de radius?

00:09:55.270 --> 00:09:58.590
Nou, de radius staat gelijk aan 
de helft van de diameter.

00:09:58.590 --> 00:10:02.870
Dus deze hele afstand
staat gelijk aan 10 gedeeld door pi meters.

00:10:02.870 --> 00:10:06.230
Als we alleen de helft willen, 
als we de radius willen weten,

00:10:06.230 --> 00:10:07.580
vermenigvuldigen we het gewoon met 0.5

00:10:07.580 --> 00:10:13.160
We krijgen dus 0.5 keer 10 gedeeld door pi, 
wat gelijk staat aan 0.5 keer 10

00:10:13.160 --> 00:10:16.320
of je deelt gewoon de teller

00:10:16.320 --> 00:10:18.140
en de noemer door twee.

00:10:18.140 --> 00:10:21.130
Dan krijg je hier 5, 
je krijgt dus 5 gedeeld door pi.

00:10:21.130 --> 00:10:23.890
De radius is dus,
5 gedeeld door pi.

00:10:23.890 --> 00:10:25.690
Niks spannends dus.

00:10:25.690 --> 00:10:29.760
Ik denk dat mensen het meest
moeite hebben met het idee

00:10:29.760 --> 00:10:31.820
dat pi gewoon een getal is.

00:10:31.820 --> 00:10:38.640
Pi is gewoon 3.14159 
en gaat door en door en door.

00:10:38.640 --> 00:10:41.950
Er zijn duizenden boeken geschreven over pi.

00:10:41.950 --> 00:10:45.100
Nou ja, ik weet niet of het er duizenden zijn,

00:10:45.100 --> 00:10:48.340
ik overdrijf een beetje, maar je zou
een boek kunnen schrijven over dit getal.

00:10:48.340 --> 00:10:49.340
Maar het is gewoon een nummer.

00:10:49.340 --> 00:10:52.480
Het is een speciaal nummer, 
als je het wilt schrijven

00:10:52.480 --> 00:10:54.390
op de manier zoals je gewend bent, met cijfers,

00:10:54.390 --> 00:10:55.680
kan je dit gewoon vermenigvuldigen.

00:10:55.680 --> 00:10:58.530
Maar meestal komt men er achter
dat het makkelijker is om het als

00:10:58.530 --> 00:11:00.640
term van pi te laten staan.

00:11:00.640 --> 00:11:01.680
Hoe dan ook, hier stop ik.

00:11:01.680 --> 00:11:05.090
In de volgende video zullen we
de oppervlakte van een cirkel uitzoeken.