1
00:00:00,780 --> 00:00:04,880
De cirkel is misschien wel de meest
fundamentele vorm in ons universum.

2
00:00:04,880 --> 00:00:08,490
Of je nu kijkt naar de vorm 
van de banen van planeten,

3
00:00:08,490 --> 00:00:11,140
of je nu kijkt naar wielen,

4
00:00:11,140 --> 00:00:12,840
of je nu kijkt naar voorwerpen
op moleculair niveau.

5
00:00:12,840 --> 00:00:17,280
De cirkel blijf je maar tegenkomen.

6
00:00:17,280 --> 00:00:20,750
Daarom is het voor ons de moeite waard 


7
00:00:20,750 --> 00:00:23,330
om sommige eigenschappen van de cirkel 
beter te begrijpen.

8
00:00:23,330 --> 00:00:26,200
Het eerste wat men ontdekte over de cirkel,

9
00:00:26,200 --> 00:00:28,960
en je hoeft maar naar de maan te kijken
om een cirkel te zien,

10
00:00:28,960 --> 00:00:31,570
maar de eerste keer dat men zich afvroeg
wat zijn de eigenschappen

11
00:00:31,570 --> 00:00:32,910
van elke cirkel?

12
00:00:32,910 --> 00:00:36,150
Het eerste wat ze waarschijnlijk zeiden is

13
00:00:36,150 --> 00:00:38,690
dat elk punt op de cirkel een gelijke afstand heeft

14
00:00:38,690 --> 00:00:40,440
tot het middelpunt van de cirkel.

15
00:00:40,440 --> 00:00:43,710
Alle punten langs deze rand, 
staan op gelijke afstand

16
00:00:43,710 --> 00:00:45,210
van dit middelpunt.

17
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
Een van de eerst dingen die iemand
zich af kan vragen is

18
00:00:47,620 --> 00:00:50,280
wat is dan die afstand, die gelijke afstand,

19
00:00:50,280 --> 00:00:51,770
dat alles afligt van het midden?

20
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Deze

21
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
We noemen dat de radius van een cirkel.

22
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Het is gewoon de afstand van het 
middelpunt tot de rand.

23
00:01:00,350 --> 00:01:02,820
Als de radius 3 centimeter is, dan is deze radius

24
00:01:02,820 --> 00:01:04,490
gelijk aan 3 centimeter.

25
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
En deze radius, 
zal ook 3 centimeter zijn.

26
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Dit zal nooit veranderen.

27
00:01:08,270 --> 00:01:11,440
Per definitie, een cirkel is alle punten

28
00:01:11,440 --> 00:01:13,400
die op gelijke afstand van het middelpunt liggen.

29
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
En die afstand is de radius.

30
00:01:17,050 --> 00:01:19,880
Het volgende meest interessante ding,
waar iemand aan kan denken is

31
00:01:19,880 --> 00:01:22,040
hoe dik is de cirkel?

32
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Hoe breed is hij op het breedste punt?

33
00:01:26,360 --> 00:01:28,710
Of, als je hem doorknipt op het breedste punt,

34
00:01:28,710 --> 00:01:30,390
wat is dan de afstand?

35
00:01:30,390 --> 00:01:32,340
En het hoeft niet alleen hier te zijn,
ik zou hem ook

36
00:01:32,340 --> 00:01:35,490
net zo makkelijk hier kunnen knippen 
op het breedste punt.

37
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Ik zou hem alleen niet knippen
op een plek als deze

38
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
want dat is niet op het breedste punt.

39
00:01:40,120 --> 00:01:41,810
Er zijn meerdere plekken waar ik kan knippen

40
00:01:41,810 --> 00:01:43,480
langs het breedste punt.

41
00:01:43,480 --> 00:01:46,730
Nou, we hebben net gezien wat de radius is,
en we zien het breedste punt

42
00:01:46,730 --> 00:01:49,580
door het middelpunt gaat zonder te stoppen.

43
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Dus eigenlijk is het twee radiussen.

44
00:01:52,920 --> 00:01:55,340
Hier heb je een radius

45
00:01:55,340 --> 00:01:57,240
en hier nog een.

46
00:01:57,240 --> 00:02:01,380
We noemen deze afstand
langs het breedste punt van de cirkel

47
00:02:01,380 --> 00:02:03,030
de diameter.

48
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Dus dit is de diameter van de cirkel.

49
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Het heeft een makkelijk 
verband met de radius.

50
00:02:09,260 --> 00:02:16,155
De diameter is gelijk aan
twee keer de radius.

51
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Het volgende wat je je misschien afvraagt is,

52
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
hoe ver is de afstand rondom de cirkel.

53
00:02:24,560 --> 00:02:27,340
Als je met je meetlint om de cirkel heen zou meten,

54
00:02:27,340 --> 00:02:35,910
wat is dan de afstand?

55
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
We noemen dit de omtrek van de cirkel.

56
00:02:44,710 --> 00:02:47,320
We weten wat het verband is
tussen de diameter en de radius,

57
00:02:47,320 --> 00:02:49,790
maar wat is het verband tussen de
omtrek en de diameter?

58
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
En als je niet gewend bent aan 
het werken met de diameter,

59
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
is het eenvoudig te bedenken
hoe dit verband met de radius is.

60
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
Duizenden jaren geleden,
hebben mensen hun meetlint gepakt

61
00:02:57,130 --> 00:02:58,890
en zijn ze omtrekken

62
00:02:58,890 --> 00:03:00,430
en radiussen gaan meten.

63
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
Wanneer de metingen niet precies waren,

64
00:03:03,280 --> 00:03:05,010
bijvoorbeeld wanneer ze de
omtrek van een cirkel op maten,

65
00:03:05,010 --> 00:03:07,960
zeiden ze: nou, het is ongeveer 3.

66
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
En als ze dan de radius op maten,

67
00:03:11,600 --> 00:03:14,280
of de diameter van de cirkel, zeiden ze:

68
00:03:14,280 --> 00:03:16,290
nou, het is ongeveer 1.

69
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Ze zeiden dus
en ik zal het opschrijven

70
00:03:17,740 --> 00:03:21,750
We maken ons zorgen over de ratio,

71
00:03:22,660 --> 00:03:33,955
de ratio tussen omtrek en diameter.

72
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Stel iemand heeft hier een cirkel

73
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
en de eerste keer meten ze,

74
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
met een niet zo precies meetlint, 
rondom de cirkel.

75
00:03:45,880 --> 00:03:49,340
En ze vinden dat de omtrek ongeveer gelijk
is aan 3 meter.

76
00:03:50,490 --> 00:03:52,800
Als ik de diameter van deze cirkel op meet,

77
00:03:52,800 --> 00:03:55,050
is deze ongeveer gelijk aan 1.

78
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Oké, dat is interessant.

79
00:03:56,000 --> 00:03:57,520
Misschien is de ratio van de omtrek

80
00:03:57,520 --> 00:03:58,500
ten opzichte van de diameter,
gelijk aan 3.

81
00:03:58,500 --> 00:04:00,820
Misschien is de omtrek 
wel altijd gelijk aan

82
00:04:00,820 --> 00:04:02,020
3 keer de diameter.

83
00:04:02,020 --> 00:04:03,610
Nou, dat was alleen voor deze cirkel.

84
00:04:03,610 --> 00:04:05,720
Stel ze maten een andere cirkel op, hier.

85
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Hij ziet er zo uit,
ik teken hem iets kleiner.

86
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Stel dat ze bij deze cirkel
de omtrek maten

87
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
en deze 6 centimeter was.

88
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
Ongeveer, 
ze hadden toen geen precieze meetlinten.

89
00:04:18,210 --> 00:04:21,710
Daarna vonden ze
dat de diameter

90
00:04:21,710 --> 00:04:23,520
ongeveer 2 centimeter was.

91
00:04:23,520 --> 00:04:25,490
En ook nu weer, is de ratio
tussen de omtrek en de diameter,

92
00:04:25,490 --> 00:04:30,230
ongeveer 3.

93
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
Oké, dit is een mooie eigenschap
van cirkels.

94
00:04:32,140 --> 00:04:35,430
Misschien is de ratio tussen de
omtrek en de diameter

95
00:04:35,430 --> 00:04:38,080
altijd constant, voor elke cirkel.

96
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
Daarom zeiden ze,
we gaan dit verder bestuderen.

97
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Ze zorgden voor beter meetlinten.

98
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Opnieuw maten ze diameter op.

99
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
De diameter is zeker 1.

100
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
Dus zeiden ze, de diameter,
die is zeker 1.

101
00:04:49,430 --> 00:04:51,810
Maar als ik de omtrek meet,

102
00:04:51,810 --> 00:04:55,900
lijkt die dichter bij 3.1 te zitten.

103
00:04:55,930 --> 00:04:57,290
En het zelfde met de cirkel hier.

104
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
Ze zagen dat deze ratio
ook dichter bij 3.1 lag.

105
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
Ze bleven het meten beter
en beter en beter,

106
00:05:01,830 --> 00:05:05,200
tot ze er achter kwamen dat ze
steeds een nummer vonden,

107
00:05:05,200 --> 00:05:07,300
en ze bleven maar beter meten.
Ze vonden dit getal:

108
00:05:07,300 --> 00:05:10,850
3.14159

109
00:05:10,850 --> 00:05:12,550
Ze bleven maar decimalen toevoegen

110
00:05:12,550 --> 00:05:13,620
maar deze herhaalde zich nooit.

111
00:05:13,620 --> 00:05:16,640
Het was een raar, maar fascinerend getal,

112
00:05:16,640 --> 00:05:18,300
dat overal weer in voor bleef komen.

113
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Omdat dit getal zo fundamenteel was 
voor ons universum,

114
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
omdat de cirkel zo fundamenteel is
voor ons universum,

115
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
en het elke keer weer kwam opdagen
bij elke cirkel.

116
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
De ratio tussen de omtrek en de diameter

117
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
was een soort van, magische getal,
en daarom hebben ze het een naam gegeven.

118
00:05:32,390 --> 00:05:37,580
Ze noemden het pi, of je schrijft het als de Latijnse
of Griekse letter pi,

119
00:05:37,580 --> 00:05:41,880
zo dus.

120
00:05:41,880 --> 00:05:45,090
Dat staat voor dit getal,
dat waarschijnlijk het meest

121
00:05:45,090 --> 00:05:46,790
fascinerende getal in ons universum is.

122
00:05:46,790 --> 00:05:50,430
Het kwam als eerste opdagen als de ratio
tussen omtrek en diameter,

123
00:05:50,430 --> 00:05:54,070
maar je zult leren als je verder

124
00:05:54,070 --> 00:05:57,160
komt in de wiskunde, 
dat het overal voor blijft komen.

125
00:05:57,160 --> 00:05:59,500
Het is een van de fundamentele dingen
in het universum waardoor

126
00:05:59,500 --> 00:06:03,060
je denkt dat overal een logica achter zit.

127
00:06:03,060 --> 00:06:07,750
Maar goed, wat kunnen we
hier nu mee voor onze

128
00:06:07,750 --> 00:06:09,330
basis wiskunde?

129
00:06:09,330 --> 00:06:12,490
We weten nu, of ik heb jullie uitgelegd 
dat, de ratio

130
00:06:12,490 --> 00:06:19,420
tussen de omtrek en de diameter
-- als ik ratio zeg,

131
00:06:19,420 --> 00:06:27,090
zeg ik eigenlijk gewoon de omtrek
gedeeld door de diameter,

132
00:06:27,090 --> 00:06:28,400
gelijk is aan pi.

133
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Pi is gewoon een getal.

134
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Ik zou 3.14159 kunnen schrijven,
maar het getal gaat oneindig lang door.

135
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
Het is zonde van de ruimte en moeilijk om mee te rekenen,

136
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
dus schrijft men gewoon de Griekse letter

137
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
pi hier.

138
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Goed, hoe kunnen we hier een verband van maken?

139
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
We kunnen beide kanten
vermenigvuldigen met de diameter

140
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
dan kunnen we stellen dat de omtrek
gelijk is aan pi

141
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
keer de diameter.

142
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Of omdat de diameter gelijk staat
aan twee keer de radius,

143
00:06:55,570 --> 00:06:59,420
kunnen we zeggen dat de omtrek
gelijk is aan pi keer 2

144
00:06:59,420 --> 00:07:00,360
keer de radius.

145
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Of de vorm die jullie waarschijnlijk
het vaakst zullen zien:

146
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
het staat gelijk aan 2 pi r.

147
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Laten we nu kijken of we dit kunnen
gebruiken om wat vragen op te lossen.

148
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Stel ik heb een cirkel, zoals deze,
en ik vertel jullie

149
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
dat de radius -- deze radius, 3 is.

150
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
3 dus -- ik schrijf het even op,
de radius is gelijk aan 3.

151
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Misschien is het 3 meter,
laten we wat eenheden toevoegen.

152
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Wat is de omtrek van de cirkel?

153
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
De omtrek staat gelijk aan
2 keer pi keer de radius.

154
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Het wordt dus 2 keer pi, keer de radius

155
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
keer 3 meter, wat gelijk staat aan 
6 meter keer pi

156
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
of 6 pi meters.

157
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 pi meters.

158
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
Ik kan dit vermenigvuldigen.

159
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Onthoud, pi is gewoon een nummer.

160
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pi is 3.14159 en gaat door en door

161
00:07:59,680 --> 00:08:03,040
Als ik dat met 6 vermenigvuldig,
krijg ik misschien wel

162
00:08:03,040 --> 00:08:05,600
18 punt iets

163
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Als je je rekenmachine hebt, 
kan je hier voor kiezen.

164
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
Maar voor de eenvoud kiest men
er vaak voor dit

165
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
in termen van pi te laten staan.

166
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Ik weet niet wat je krijgt,
wanneer je 6 vermenigvuldigd met

167
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
3.14159, ik weet niet of het dicht
bij 19 in de buurt ligt of toch

168
00:08:18,510 --> 00:08:21,660
dichter bij 18, misschien is het
ongeveer 18 punt iets.

169
00:08:21,660 --> 00:08:23,450
Ik heb geen rekenmachine bij me.

170
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
Dus in plaats van het getal op te schrijven,

171
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
schrijf je nu gewoon 6 pi.

172
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
Eigenlijk, denk ik niet dat het

173
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
naar 19 afgerond wordt.

174
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Laten we nu een andere vraag stellen.

175
00:08:33,770 --> 00:08:35,270
Wat is de diameter van de cirkel?

176
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
Als de radius gelijk staat aan 3, dan is
de diameter twee keer dat.

177
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Het wordt dus gewoon 3 keer 2,
of 3 plus 3, wat

178
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
gelijk staat aan 6.

179
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
De omtrek is dus 6 pi meters, 
de diameter is 6 meter,

180
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
de radius is 3 meters.

181
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Laten we het nu is omdraaien.

182
00:08:55,110 --> 00:08:57,570
Stel ik heb een nieuwe cirkel,

183
00:08:59,640 --> 00:09:01,220
deze.

184
00:09:01,220 --> 00:09:04,620
En ik zou je vertellen dat de omtrek gelijk staat

185
00:09:04,620 --> 00:09:08,560
aan 10 meters. -- Dit is de omtrek.

186
00:09:08,560 --> 00:09:10,990
Als je er met een meetlint omheen zou gaan,

187
00:09:10,990 --> 00:09:18,370
en iemand zou je vragen
wat is de diameter van deze cirkel?

188
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Nou we weten dat de diameter keer pi,
we weten dat pi keer

189
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
de diameter, gelijk staat aan de omtrek,

190
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
die is 10 meter.

191
00:09:28,700 --> 00:09:31,020
Dus om dit op te lossen,
delen we beide kanten

192
00:09:31,020 --> 00:09:32,520
van de vergelijking door pi.

193
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
De diameter staat gelijk aan 
10 meter gedeeld door pi, of

194
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
10 gedeeld door pi meters.

195
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
En dat is gewoon een getal.

196
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Als je je rekenmachine hebt,
kun je 10 gewoon delen

197
00:09:42,540 --> 00:09:46,030
door 3.14159, en krijg je

198
00:09:46,030 --> 00:09:47,500
3 punt iets meters.

199
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Ik kan het niet uit mijn hoofd.

200
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
Maar het is gewoon een getal.

201
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
Voor de eenvoud laten we het vaak zo staan.

202
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Wat is nu de radius?

203
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Nou, de radius staat gelijk aan 
de helft van de diameter.

204
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Dus deze hele afstand
staat gelijk aan 10 gedeeld door pi meters.

205
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Als we alleen de helft willen, 
als we de radius willen weten,

206
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
vermenigvuldigen we het gewoon met 0.5

207
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
We krijgen dus 0.5 keer 10 gedeeld door pi, 
wat gelijk staat aan 0.5 keer 10

208
00:10:13,160 --> 00:10:16,320
of je deelt gewoon de teller

209
00:10:16,320 --> 00:10:18,140
en de noemer door twee.

210
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Dan krijg je hier 5, 
je krijgt dus 5 gedeeld door pi.

211
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
De radius is dus,
5 gedeeld door pi.

212
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Niks spannends dus.

213
00:10:25,690 --> 00:10:29,760
Ik denk dat mensen het meest
moeite hebben met het idee

214
00:10:29,760 --> 00:10:31,820
dat pi gewoon een getal is.

215
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Pi is gewoon 3.14159 
en gaat door en door en door.

216
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Er zijn duizenden boeken geschreven over pi.

217
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
Nou ja, ik weet niet of het er duizenden zijn,

218
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
ik overdrijf een beetje, maar je zou
een boek kunnen schrijven over dit getal.

219
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
Maar het is gewoon een nummer.

220
00:10:49,340 --> 00:10:52,480
Het is een speciaal nummer, 
als je het wilt schrijven

221
00:10:52,480 --> 00:10:54,390
op de manier zoals je gewend bent, met cijfers,

222
00:10:54,390 --> 00:10:55,680
kan je dit gewoon vermenigvuldigen.

223
00:10:55,680 --> 00:10:58,530
Maar meestal komt men er achter
dat het makkelijker is om het als

224
00:10:58,530 --> 00:11:00,640
term van pi te laten staan.

225
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Hoe dan ook, hier stop ik.

226
00:11:01,680 --> 00:11:05,090
In de volgende video zullen we
de oppervlakte van een cirkel uitzoeken.