-
Sirkelen er nok den mest grunnleggende formen i vårt univers.
-
Den er der når du ser på planetenes baner,
-
når du ser på hjulet, eller når du ser på figurer i den molekylære verden.
-
Sirkelen kommer opp igjen og igjen.
-
Det er derfor verdt å forstå noen av sirkelens egenskaper.
-
De første menneskene som oppdaget og studerte sirkelen spurte seg selv:
-
Hvilke egenskaper gjelder for alle sirkler?
-
En av de første tingene de oppdaget var at i en sirkel er alle punkter
-
like langt fra punktet i midten av sirkelen.
-
Alle disse punktene langs kanten er like langt fra sentrum.
-
En en av de første tingene du kanskje må spørre deg selv er:
-
Hva er avstanden der alle punkter er like langt fra sentrum?
-
Der.
-
Vi kaller det avstanden av radien av sirkelen.
-
Det er avstanden fra sentrum til kantene.
-
Hvis denne radiusen er 3 centimeter, så er denne radiusen også tre centimeter.
-
Og denne radiusen er 3 centimeter.
-
Det vil aldri forandre seg.
-
Per definisjon er en sirkel alle punktene som er like langt fra sentrum.
-
Den avstanden er radius.
-
Den neste interessante spørsmålet som en kan stille er:
-
Hvor stor er sirkelen?
-
Hvor bred er sirkelen på det bredeste punktet?
-
Hvis du ønsker å klippe sirkelen der den er bredest,
-
hva er avstanden du skal klippe?
-
Det trenger ikke å være akkurat der.
-
Vi kunne like så godt klippet langs det bredeste her.
-
Vi vil ikke klippe et sted som dette,
-
fordi det ikke ville være det bredeste punktet.
-
men det er mange steder hvor du kan klippe på det bredeste punktet.
-
Vi har sett på radius, og kan se at det bredeste punktet på sirkelen går gjennom sentrum
-
og fortsetter rett over.
-
Det er altså to radier.
-
En radius her og en radius her.
-
Vi kaller avstanden langs bredeste punktet på sirkelen til diameter.
-
Det er sirkelens diameter.
-
Den har et meget enkelt forhold til radien.
-
Diameter er lik det dobbelte av radien.
-
Det neste interessante man kan
-
lure på er: hvor langt er det rundt en sirkel?
-
Hvis vi skulle måle hele veien rundt sirkelen med et målebånd,
-
hva ville vært utfallet?
-
Vi kaller det omkretsen av sirkelen.
-
Vi vet nå forholdet mellom diameter og radius
-
men hvordan henger omkrets og diameter sammen?
-
Det kan vi finne ut.
-
Man har funnet ut hvordan disse tingene henger sammen.
-
For mange tusen år siden, tok folk målebåndene sine
-
frem og gikk videre og videre med måle sirklers omkrets og deres radier.
-
I starten var ikke målebåndene så presise..
-
Den målte kanskje at omkretsen av sirkelen var ca 3.
-
Når de så målte diameteren på samme sirkel,
-
de fant at den var omtrent 1.
-
La oss skrive dette ned.
-
Vi er interessert i forholdet
-
mellom omkrets og diameter.
-
Hvis vi har en sirkel her.
-
Vi har her en sirkel.
-
I ble det ikke målt så nøyaktig.
-
Man målte, at omkretsen var tilnærmet lik 3,
-
og diameteren av sirkelen var tilnærmet lik 1.
-
Det er interessant.
-
Forholdet mellom omkretsen og diameteren er nær 3.
-
Kanskje omkretsen alltid er 3 ganger diameteren.
-
På den tiden målte man en masse sirkler for å finne ut om det gjaldt for alle sirkler.
-
Dette kunne f.eks vært denne, som er litt mindre.
-
La oss si at de målte rundt sirkelen og fant ut
-
omkretsen er ca 6 centimeter.
-
De hadde en dårlig målebånd, så det var ikke helt nøyaktig.
-
Så fant de ut at diameteren var ca 2 centimeter.
-
Igjen er forholdet mellom omkrets og diameter ca 3.
-
Det ser ut som et mønster.
-
Kanskje er forholdet mellom omkrets og diameter det samme for alle sirkler
-
De undersøkte derfor enda mer.
-
Det var veldig spennende.
-
Da de fikk bedre målebånd, målte de
-
at diameteren var nøyaktig 1.
-
De var sikre på at diameteren var 1,
-
men omkretsen var faktisk nærmere 3.1.
-
Det samme skjedde her.
-
De la merke til at dette forholdet var nærmere 3.1.
-
De fortsatte å måle, og de ble bedre og bedre og bedre.
-
Den målte mer nøyaktig og kom til forholdet var:
-
3,14159
-
De tilføyde desimaler
-
men desimalene gjentok seg aldri.
-
Det var en merkelig fascinerende tall som alltid dukket opp i andre sammenhenger.
-
Det tallet er så grunnleggende for vårt univers,
-
fordi sirkelen er så grunnleggende for vårt univers.
-
Tallet er gjentatt i alle sirkler.
-
Forholdet av omkretsen til den diameter lik dette tallet.
-
Tallet fikk sitt eget spesielle navn.
-
Figuren ble kalt pi. Det er stavet "p" "i", men det er vanligvis skrevet med den greske bokstaven pi som dette.
-
Bokstaven representerer dette tallet, som trolig er det mest fascinerende tallet i vårt univers.
-
Det ble først oppdaget ved forholdet mellom omkrets og diameter,
-
men som du vil lære på reisen gjennom matematikk,
-
inngår tallet på mange forskjellige steder.
-
Det er en av de grunnleggende ting om universet,
-
som gjør at du tror at det må være en eller annen form for orden i universet.
-
Før det blir for filosofisk, la oss se på
-
hvordan vi kan bruke denne kunnskapen i vår grunnleggende matematikk?
-
Nå vet vi at
-
hvis vi deler omkretsen med diamteren,
-
vi får nummeret pi.
-
Pi er akkurat dette nummeret.
-
Vi kunne skrive 3,14159 og bare gå videre og videre og videre,
-
men det ville være en sløsing med plass, og det ville være vanskelig å stole på
-
så vi skriver den greske bokstaven.
-
Denne bokstaven.
-
Hvordan kan vi bruke det?
-
Vi kan multiplisere begge sider av denne med diameteren,
-
og vi si at omkretsen er lik
-
pi ganger diameteren.
-
Vi kan også si
-
omkrets er lik to ganger pi ganger radien.
-
Det blir ofte skrevet som
-
2 pi r.
-
La oss se om vi kan bruke den til å løse noen oppgaver:
-
La oss si at vi har en sirkel som dette.
-
Den har en radius på 3.
-
Radiusen er 3.
-
Det er kanskje 3 meter, la oss sette enheten m for meter.
-
Det er omkretsen av sirkelen?
-
Omkretsen er lik 2 ganger pi ganger radius.
-
Det er lik 2
-
x 3 meter, som er lik 6 meter, ganger pi.
-
Det er 6 pi meter.
-
6 pi meter.
-
Nå kan vi multipliserer det ut.
-
Husk pi er et tall.
-
Pi er 3,14159 med uendelig mange desimaler.
-
Hvis vi multipliserer 6 med pi, får vi 18 komma
-
mange desimaler.
-
Hvis du har kalkulatoren din, kan du finne det,
-
men å holde det enkelt her, skriver man som regel
-
svaret i enheter av pi.
-
Hvis du multipliserer 6 med 3,14159,
-
det må gi et tall mellom 18 og 19.
-
Det er 18 komma noen desimaler.
-
Vi har ikke kalkulator..
-
I stedet for å skrive desimaltall,
-
kan vi skrive 6 pi.
-
I virkeligheten er sannsynligvis svaret
-
litt under 19.
-
La oss stille et annet spørsmål.
-
Det er diameteren av sirkelen?
-
Hvis denne radiusen er 3, så er diameteren det dobbelte.
-
Det vil si 3 ganger 2, eller 3 pluss 3
-
som er lik 6 meter.
-
Omkretsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,
-
og radius er 3 meter.
-
La oss prøve å finne en annen måte.
-
Anta at vi har en annen sirkel.
-
Som har en omkrets på 10 meter.
-
Hvis du hadde hatt et målebånd og gått rundt den, ville man målt 10 meter.
-
Det er diameteren av sirkelen?
-
Vi vet at diameteren ganger pi
-
er lik omkretsen,
-
og omkretsen er 10 meter.
-
For å løse dette, må vi dele begge sider av denne ligningen ved pi.
-
Diameteren er lik 10 meter over pi
-
eller 10 over pi meter.
-
Det gir et tall.
-
Hvis du har din kalkulator, kan du dele 10 med 3,13159
-
og da vil du få 3 komma noe.
-
Det er vanskelig å regne i hodet.
-
Resultatet er imidlertid et tall.
-
For enkelhets skyld, skriver vi ofte svaret på denne måten.
-
Hva er radiusen da?
-
Radiusen er lik halvparten av diameteren.
-
Diameteren er altså 10 pi meter.
-
Hvis vi ønsker å finne radius,
-
må vi multiplisere det med en halv.
-
Vi har derfor en halv ganger 10 over pi, som er en halv ganger 10
-
Vi kan nå dele telleren og nevneren med 2.
-
Vi får 5 over pi.
-
Radius er altså 5 over pi.
-
Det er ganske enkelt når du har gjort noen av disse.
-
Det er viktig å huske at pi er et tall.
-
Pi er 3,14159 og et uendelig antall desimaler.
-
Det er faktisk skrevet mange bøker om pi.
-
De kan være spennende å lese.
-
Det er imidlertid viktig å huske
-
at pi er et tall.
-
Det er et meget spesielt tall.
-
Men det kan være skrevet som et vanlig tall.
-
Imidlertid er det ofte lettere å skrive det som pi.
-
Nå kan du selv finne ut noen eksempler på dette.
-
I neste video vil vi finne ut arealet av en sirkel.
