WEBVTT 00:00:00.333 --> 00:00:05.572 Sirkelen er nok den mest grunnleggende formen i vårt univers. 00:00:05.572 --> 00:00:08.690 Den er der når du ser på planetenes baner, 00:00:08.690 --> 00:00:12.724 når du ser på hjulet, eller når du ser på figurer i den molekylære verden. 00:00:12.840 --> 00:00:17.244 Sirkelen kommer opp igjen og igjen. 00:00:17.275 --> 00:00:23.263 Det er derfor verdt å forstå noen av sirkelens egenskaper. 00:00:23.330 --> 00:00:28.907 De første menneskene som oppdaget og studerte sirkelen spurte seg selv: 00:00:28.960 --> 00:00:32.831 Hvilke egenskaper gjelder for alle sirkler? 00:00:32.910 --> 00:00:37.672 En av de første tingene de oppdaget var at i en sirkel er alle punkter 00:00:37.672 --> 00:00:40.397 like langt fra punktet i midten av sirkelen. 00:00:40.440 --> 00:00:45.125 Alle disse punktene langs kanten er like langt fra sentrum. 00:00:45.210 --> 00:00:47.620 En en av de første tingene du kanskje må spørre deg selv er: 00:00:47.620 --> 00:00:51.633 Hva er avstanden der alle punkter er like langt fra sentrum? 00:00:51.770 --> 00:00:52.950 Der. 00:00:52.950 --> 00:00:58.110 Vi kaller det avstanden av radien av sirkelen. 00:00:58.110 --> 00:01:00.350 Det er avstanden fra sentrum til kantene. 00:01:00.350 --> 00:01:04.420 Hvis denne radiusen er 3 centimeter, så er denne radiusen også tre centimeter. 00:01:04.490 --> 00:01:07.170 Og denne radiusen er 3 centimeter. 00:01:07.170 --> 00:01:08.270 Det vil aldri forandre seg. 00:01:08.270 --> 00:01:13.336 Per definisjon er en sirkel alle punktene som er like langt fra sentrum. 00:01:13.400 --> 00:01:17.050 Den avstanden er radius. 00:01:17.050 --> 00:01:20.110 Den neste interessante spørsmålet som en kan stille er: 00:01:20.110 --> 00:01:22.040 Hvor stor er sirkelen? 00:01:22.040 --> 00:01:26.360 Hvor bred er sirkelen på det bredeste punktet? 00:01:26.360 --> 00:01:28.386 Hvis du ønsker å klippe sirkelen der den er bredest, 00:01:28.386 --> 00:01:30.390 hva er avstanden du skal klippe? 00:01:30.390 --> 00:01:32.016 Det trenger ikke å være akkurat der. 00:01:32.016 --> 00:01:35.490 Vi kunne like så godt klippet langs det bredeste her. 00:01:35.490 --> 00:01:38.520 Vi vil ikke klippe et sted som dette, 00:01:38.520 --> 00:01:40.120 fordi det ikke ville være det bredeste punktet. 00:01:40.120 --> 00:01:43.379 men det er mange steder hvor du kan klippe på det bredeste punktet. 00:01:43.480 --> 00:01:48.145 Vi har sett på radius, og kan se at det bredeste punktet på sirkelen går gjennom sentrum 00:01:48.145 --> 00:01:49.580 og fortsetter rett over. 00:01:49.580 --> 00:01:52.920 Det er altså to radier. 00:01:52.920 --> 00:01:57.163 En radius her og en radius her. 00:01:57.240 --> 00:02:02.949 Vi kaller avstanden langs bredeste punktet på sirkelen til diameter. 00:02:03.030 --> 00:02:06.390 Det er sirkelens diameter. 00:02:06.390 --> 00:02:09.260 Den har et meget enkelt forhold til radien. 00:02:09.260 --> 00:02:18.970 Diameter er lik det dobbelte av radien. 00:02:19.060 --> 00:02:21.790 Det neste interessante man kan 00:02:21.790 --> 00:02:24.560 lure på er: hvor langt er det rundt en sirkel? 00:02:24.560 --> 00:02:32.785 Hvis vi skulle måle hele veien rundt sirkelen med et målebånd, 00:02:32.785 --> 00:02:35.910 hva ville vært utfallet? 00:02:35.910 --> 00:02:44.710 Vi kaller det omkretsen av sirkelen. 00:02:44.710 --> 00:02:47.440 Vi vet nå forholdet mellom diameter og radius 00:02:47.440 --> 00:02:49.790 men hvordan henger omkrets og diameter sammen? 00:02:49.790 --> 00:02:51.550 Det kan vi finne ut. 00:02:51.550 --> 00:02:54.290 Man har funnet ut hvordan disse tingene henger sammen. 00:02:54.290 --> 00:02:57.130 For mange tusen år siden, tok folk målebåndene sine 00:02:57.130 --> 00:03:00.274 frem og gikk videre og videre med måle sirklers omkrets og deres radier. 00:03:00.430 --> 00:03:03.280 I starten var ikke målebåndene så presise.. 00:03:03.280 --> 00:03:07.902 Den målte kanskje at omkretsen av sirkelen var ca 3. 00:03:07.960 --> 00:03:11.600 Når de så målte diameteren på samme sirkel, 00:03:11.600 --> 00:03:16.187 de fant at den var omtrent 1. 00:03:16.290 --> 00:03:17.740 La oss skrive dette ned. 00:03:17.740 --> 00:03:22.550 Vi er interessert i forholdet 00:03:22.660 --> 00:03:37.462 mellom omkrets og diameter. 00:03:37.560 --> 00:03:40.900 Hvis vi har en sirkel her. 00:03:40.900 --> 00:03:43.170 Vi har her en sirkel. 00:03:43.170 --> 00:03:45.880 I ble det ikke målt så nøyaktig. 00:03:45.880 --> 00:03:50.401 Man målte, at omkretsen var tilnærmet lik 3, 00:03:50.490 --> 00:03:54.953 og diameteren av sirkelen var tilnærmet lik 1. 00:03:55.050 --> 00:03:56.000 Det er interessant. 00:03:56.000 --> 00:03:58.396 Forholdet mellom omkretsen og diameteren er nær 3. 00:03:58.500 --> 00:04:01.927 Kanskje omkretsen alltid er 3 ganger diameteren. 00:04:02.020 --> 00:04:05.579 På den tiden målte man en masse sirkler for å finne ut om det gjaldt for alle sirkler. 00:04:05.720 --> 00:04:07.870 Dette kunne f.eks vært denne, som er litt mindre. 00:04:07.870 --> 00:04:11.200 La oss si at de målte rundt sirkelen og fant ut 00:04:11.200 --> 00:04:14.960 omkretsen er ca 6 centimeter. 00:04:14.960 --> 00:04:18.210 De hadde en dårlig målebånd, så det var ikke helt nøyaktig. 00:04:18.210 --> 00:04:23.448 Så fant de ut at diameteren var ca 2 centimeter. 00:04:23.520 --> 00:04:30.105 Igjen er forholdet mellom omkrets og diameter ca 3. 00:04:30.230 --> 00:04:32.140 Det ser ut som et mønster. 00:04:32.140 --> 00:04:37.983 Kanskje er forholdet mellom omkrets og diameter det samme for alle sirkler 00:04:38.080 --> 00:04:40.260 De undersøkte derfor enda mer. 00:04:40.260 --> 00:04:42.510 Det var veldig spennende. 00:04:42.510 --> 00:04:45.090 Da de fikk bedre målebånd, målte de 00:04:45.090 --> 00:04:47.630 at diameteren var nøyaktig 1. 00:04:47.630 --> 00:04:49.430 De var sikre på at diameteren var 1, 00:04:49.430 --> 00:04:55.871 men omkretsen var faktisk nærmere 3.1. 00:04:56.000 --> 00:04:57.290 Det samme skjedde her. 00:04:57.290 --> 00:04:59.370 De la merke til at dette forholdet var nærmere 3.1. 00:04:59.370 --> 00:05:01.830 De fortsatte å måle, og de ble bedre og bedre og bedre. 00:05:01.876 --> 00:05:07.864 Den målte mer nøyaktig og kom til forholdet var: 00:05:07.956 --> 00:05:10.807 3,14159 00:05:10.807 --> 00:05:12.550 De tilføyde desimaler 00:05:12.550 --> 00:05:14.096 men desimalene gjentok seg aldri. 00:05:14.096 --> 00:05:18.193 Det var en merkelig fascinerende tall som alltid dukket opp i andre sammenhenger. 00:05:18.300 --> 00:05:20.940 Det tallet er så grunnleggende for vårt univers, 00:05:20.940 --> 00:05:23.500 fordi sirkelen er så grunnleggende for vårt univers. 00:05:23.500 --> 00:05:26.680 Tallet er gjentatt i alle sirkler. 00:05:26.680 --> 00:05:28.865 Forholdet av omkretsen til den diameter lik dette tallet. 00:05:28.865 --> 00:05:32.390 Tallet fikk sitt eget spesielle navn. 00:05:32.390 --> 00:05:41.810 Figuren ble kalt pi. Det er stavet "p" "i", men det er vanligvis skrevet med den greske bokstaven pi som dette. 00:05:41.880 --> 00:05:46.705 Bokstaven representerer dette tallet, som trolig er det mest fascinerende tallet i vårt univers. 00:05:46.790 --> 00:05:51.383 Det ble først oppdaget ved forholdet mellom omkrets og diameter, 00:05:51.383 --> 00:05:55.916 men som du vil lære på reisen gjennom matematikk, 00:05:55.916 --> 00:05:57.160 inngår tallet på mange forskjellige steder. 00:05:57.160 --> 00:05:59.130 Det er en av de grunnleggende ting om universet, 00:05:59.130 --> 00:06:02.121 som gjør at du tror at det må være en eller annen form for orden i universet. 00:06:02.121 --> 00:06:05.180 Før det blir for filosofisk, la oss se på 00:06:05.180 --> 00:06:09.330 hvordan vi kan bruke denne kunnskapen i vår grunnleggende matematikk? 00:06:09.330 --> 00:06:16.104 Nå vet vi at 00:06:16.104 --> 00:06:25.172 hvis vi deler omkretsen med diamteren, 00:06:25.172 --> 00:06:28.400 vi får nummeret pi. 00:06:28.400 --> 00:06:29.500 Pi er akkurat dette nummeret. 00:06:29.500 --> 00:06:33.570 Vi kunne skrive 3,14159 og bare gå videre og videre og videre, 00:06:33.570 --> 00:06:35.950 men det ville være en sløsing med plass, og det ville være vanskelig å stole på 00:06:35.950 --> 00:06:38.570 så vi skriver den greske bokstaven. 00:06:38.570 --> 00:06:40.330 Denne bokstaven. 00:06:40.330 --> 00:06:41.850 Hvordan kan vi bruke det? 00:06:41.850 --> 00:06:44.920 Vi kan multiplisere begge sider av denne med diameteren, 00:06:44.920 --> 00:06:48.640 og vi si at omkretsen er lik 00:06:48.640 --> 00:06:50.820 pi ganger diameteren. 00:06:50.820 --> 00:06:55.570 Vi kan også si 00:06:55.570 --> 00:07:00.266 omkrets er lik to ganger pi ganger radien. 00:07:00.360 --> 00:07:03.450 Det blir ofte skrevet som 00:07:03.450 --> 00:07:07.360 2 pi r. 00:07:07.360 --> 00:07:11.220 La oss se om vi kan bruke den til å løse noen oppgaver: 00:07:11.220 --> 00:07:17.240 La oss si at vi har en sirkel som dette. 00:07:17.240 --> 00:07:22.600 Den har en radius på 3. 00:07:22.600 --> 00:07:28.820 Radiusen er 3. 00:07:28.820 --> 00:07:32.310 Det er kanskje 3 meter, la oss sette enheten m for meter. 00:07:32.310 --> 00:07:34.660 Det er omkretsen av sirkelen? 00:07:34.660 --> 00:07:38.180 Omkretsen er lik 2 ganger pi ganger radius. 00:07:38.180 --> 00:07:42.090 Det er lik 2 00:07:42.090 --> 00:07:47.280 x 3 meter, som er lik 6 meter, ganger pi. 00:07:47.280 --> 00:07:49.520 Det er 6 pi meter. 00:07:49.520 --> 00:07:52.430 6 pi meter. 00:07:52.430 --> 00:07:53.740 Nå kan vi multipliserer det ut. 00:07:53.740 --> 00:07:55.900 Husk pi er et tall. 00:07:55.900 --> 00:07:59.680 Pi er 3,14159 med uendelig mange desimaler. 00:07:59.680 --> 00:08:03.460 Hvis vi multipliserer 6 med pi, får vi 18 komma 00:08:03.460 --> 00:08:05.600 mange desimaler. 00:08:05.600 --> 00:08:07.850 Hvis du har kalkulatoren din, kan du finne det, 00:08:07.850 --> 00:08:10.490 men å holde det enkelt her, skriver man som regel 00:08:10.490 --> 00:08:12.120 svaret i enheter av pi. 00:08:12.120 --> 00:08:14.020 Hvis du multipliserer 6 med 3,14159, 00:08:14.020 --> 00:08:18.510 det må gi et tall mellom 18 og 19. 00:08:18.510 --> 00:08:21.648 Det er 18 komma noen desimaler. 00:08:21.720 --> 00:08:23.450 Vi har ikke kalkulator.. 00:08:23.450 --> 00:08:25.300 I stedet for å skrive desimaltall, 00:08:25.300 --> 00:08:27.060 kan vi skrive 6 pi. 00:08:27.060 --> 00:08:29.770 I virkeligheten er sannsynligvis svaret 00:08:29.770 --> 00:08:31.430 litt under 19. 00:08:31.430 --> 00:08:33.770 La oss stille et annet spørsmål. 00:08:33.770 --> 00:08:38.454 Det er diameteren av sirkelen? 00:08:38.580 --> 00:08:42.690 Hvis denne radiusen er 3, så er diameteren det dobbelte. 00:08:42.690 --> 00:08:45.730 Det vil si 3 ganger 2, eller 3 pluss 3 00:08:45.730 --> 00:08:47.170 som er lik 6 meter. 00:08:47.170 --> 00:08:50.750 Omkretsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter, 00:08:50.750 --> 00:08:53.620 og radius er 3 meter. 00:08:53.620 --> 00:08:55.110 La oss prøve å finne en annen måte. 00:08:55.110 --> 00:09:01.171 Anta at vi har en annen sirkel. 00:09:01.220 --> 00:09:08.466 Som har en omkrets på 10 meter. 00:09:08.560 --> 00:09:12.990 Hvis du hadde hatt et målebånd og gått rundt den, ville man målt 10 meter. 00:09:12.990 --> 00:09:18.370 Det er diameteren av sirkelen? 00:09:18.370 --> 00:09:22.810 Vi vet at diameteren ganger pi 00:09:22.810 --> 00:09:26.830 er lik omkretsen, 00:09:26.830 --> 00:09:28.700 og omkretsen er 10 meter. 00:09:28.700 --> 00:09:32.466 For å løse dette, må vi dele begge sider av denne ligningen ved pi. 00:09:32.520 --> 00:09:35.860 Diameteren er lik 10 meter over pi 00:09:35.860 --> 00:09:38.710 eller 10 over pi meter. 00:09:38.710 --> 00:09:40.020 Det gir et tall. 00:09:40.020 --> 00:09:42.540 Hvis du har din kalkulator, kan du dele 10 med 3,13159 00:09:42.540 --> 00:09:47.445 og da vil du få 3 komma noe. 00:09:47.500 --> 00:09:48.960 Det er vanskelig å regne i hodet. 00:09:48.960 --> 00:09:50.070 Resultatet er imidlertid et tall. 00:09:50.070 --> 00:09:53.320 For enkelhets skyld, skriver vi ofte svaret på denne måten. 00:09:53.320 --> 00:09:55.270 Hva er radiusen da? 00:09:55.270 --> 00:09:58.590 Radiusen er lik halvparten av diameteren. 00:09:58.590 --> 00:10:02.870 Diameteren er altså 10 pi meter. 00:10:02.870 --> 00:10:06.230 Hvis vi ønsker å finne radius, 00:10:06.230 --> 00:10:07.580 må vi multiplisere det med en halv. 00:10:07.580 --> 00:10:13.160 Vi har derfor en halv ganger 10 over pi, som er en halv ganger 10 00:10:13.160 --> 00:10:18.031 Vi kan nå dele telleren og nevneren med 2. 00:10:18.140 --> 00:10:21.130 Vi får 5 over pi. 00:10:21.130 --> 00:10:23.890 Radius er altså 5 over pi. 00:10:23.890 --> 00:10:25.690 Det er ganske enkelt når du har gjort noen av disse. 00:10:25.690 --> 00:10:31.760 Det er viktig å huske at pi er et tall. 00:10:31.820 --> 00:10:38.640 Pi er 3,14159 og et uendelig antall desimaler. 00:10:38.640 --> 00:10:41.950 Det er faktisk skrevet mange bøker om pi. 00:10:41.950 --> 00:10:45.100 De kan være spennende å lese. 00:10:45.100 --> 00:10:48.340 Det er imidlertid viktig å huske 00:10:48.340 --> 00:10:49.340 at pi er et tall. 00:10:49.340 --> 00:10:54.372 Det er et meget spesielt tall. 00:10:54.372 --> 00:10:55.636 Men det kan være skrevet som et vanlig tall. 00:10:55.680 --> 00:11:00.530 Imidlertid er det ofte lettere å skrive det som pi. 00:11:00.640 --> 00:11:01.680 Nå kan du selv finne ut noen eksempler på dette. 00:11:01.680 --> 00:11:04.843 I neste video vil vi finne ut arealet av en sirkel.