0:00:00.333,0:00:05.572
Sirkelen er nok den mest grunnleggende formen i vårt univers.

0:00:05.572,0:00:08.690
Den er der når du ser på planetenes baner,

0:00:08.690,0:00:12.724
når du ser på hjulet, eller når du ser på figurer i den molekylære verden.

0:00:12.840,0:00:17.244
Sirkelen kommer opp igjen og igjen.

0:00:17.275,0:00:23.263
Det er derfor verdt å forstå noen av sirkelens egenskaper.

0:00:23.330,0:00:28.907
De første menneskene som oppdaget og studerte sirkelen spurte seg selv:

0:00:28.960,0:00:32.831
Hvilke egenskaper gjelder for alle sirkler?

0:00:32.910,0:00:37.672
En av de første tingene de oppdaget var at i en sirkel er alle punkter

0:00:37.672,0:00:40.397
like langt fra punktet i midten av sirkelen.

0:00:40.440,0:00:45.125
Alle disse punktene langs kanten er like langt fra sentrum.

0:00:45.210,0:00:47.620
En en av de første tingene du kanskje må spørre deg selv er:

0:00:47.620,0:00:51.633
Hva er avstanden der alle punkter er like langt fra sentrum?

0:00:51.770,0:00:52.950
Der.

0:00:52.950,0:00:58.110
Vi kaller det avstanden av radien av sirkelen.

0:00:58.110,0:01:00.350
Det er avstanden fra sentrum til kantene.

0:01:00.350,0:01:04.420
Hvis denne radiusen er 3 centimeter, så er denne radiusen også tre centimeter.

0:01:04.490,0:01:07.170
Og denne radiusen er 3 centimeter.

0:01:07.170,0:01:08.270
Det vil aldri forandre seg.

0:01:08.270,0:01:13.336
Per definisjon er en sirkel alle punktene som er like langt fra sentrum.

0:01:13.400,0:01:17.050
Den avstanden er radius.

0:01:17.050,0:01:20.110
Den neste interessante spørsmålet som en kan stille er:

0:01:20.110,0:01:22.040
Hvor stor er sirkelen?

0:01:22.040,0:01:26.360
Hvor bred er sirkelen på det bredeste punktet?

0:01:26.360,0:01:28.386
Hvis du ønsker å klippe sirkelen der den er bredest,

0:01:28.386,0:01:30.390
hva er avstanden du skal klippe?

0:01:30.390,0:01:32.016
Det trenger ikke å være akkurat der.

0:01:32.016,0:01:35.490
Vi kunne like så godt klippet langs det bredeste her.

0:01:35.490,0:01:38.520
Vi vil ikke klippe et sted som dette,

0:01:38.520,0:01:40.120
fordi det ikke ville være det bredeste punktet.

0:01:40.120,0:01:43.379
men det er mange steder hvor du kan klippe på det bredeste punktet.

0:01:43.480,0:01:48.145
Vi har sett på radius, og kan se at det bredeste punktet på sirkelen går gjennom sentrum

0:01:48.145,0:01:49.580
og fortsetter rett over.

0:01:49.580,0:01:52.920
Det er altså to radier.

0:01:52.920,0:01:57.163
En radius her og en radius her.

0:01:57.240,0:02:02.949
Vi kaller avstanden langs bredeste punktet på sirkelen til diameter.

0:02:03.030,0:02:06.390
Det er sirkelens diameter.

0:02:06.390,0:02:09.260
Den har et meget enkelt forhold til radien.

0:02:09.260,0:02:18.970
Diameter er lik det dobbelte av radien.

0:02:19.060,0:02:21.790
Det neste interessante man kan

0:02:21.790,0:02:24.560
lure på er: hvor langt er det rundt en sirkel?

0:02:24.560,0:02:32.785
Hvis vi skulle måle hele veien rundt sirkelen med et målebånd,

0:02:32.785,0:02:35.910
hva ville vært utfallet?

0:02:35.910,0:02:44.710
Vi kaller det omkretsen av sirkelen.

0:02:44.710,0:02:47.440
Vi vet nå forholdet mellom diameter og radius

0:02:47.440,0:02:49.790
men hvordan henger omkrets og diameter sammen?

0:02:49.790,0:02:51.550
Det kan vi finne ut.

0:02:51.550,0:02:54.290
Man har funnet ut hvordan disse tingene henger sammen.

0:02:54.290,0:02:57.130
For mange tusen år siden, tok folk målebåndene sine

0:02:57.130,0:03:00.274
frem og gikk videre og videre med måle sirklers omkrets og deres radier.

0:03:00.430,0:03:03.280
I starten var ikke målebåndene så presise..

0:03:03.280,0:03:07.902
Den målte kanskje at omkretsen av sirkelen var ca 3.

0:03:07.960,0:03:11.600
Når de så målte diameteren på samme sirkel,

0:03:11.600,0:03:16.187
de fant at den var omtrent 1.

0:03:16.290,0:03:17.740
La oss skrive dette ned.

0:03:17.740,0:03:22.550
Vi er interessert i forholdet

0:03:22.660,0:03:37.462
mellom omkrets og diameter.

0:03:37.560,0:03:40.900
Hvis vi har en sirkel her.

0:03:40.900,0:03:43.170
Vi har her en sirkel.

0:03:43.170,0:03:45.880
I ble det ikke målt så nøyaktig.

0:03:45.880,0:03:50.401
Man målte, at omkretsen var tilnærmet lik 3,

0:03:50.490,0:03:54.953
og diameteren av sirkelen var tilnærmet lik 1.

0:03:55.050,0:03:56.000
Det er interessant.

0:03:56.000,0:03:58.396
Forholdet mellom omkretsen og diameteren er nær 3.

0:03:58.500,0:04:01.927
Kanskje omkretsen alltid er 3 ganger diameteren.

0:04:02.020,0:04:05.579
På den tiden målte man en masse sirkler for å finne ut om det gjaldt for alle sirkler.

0:04:05.720,0:04:07.870
Dette kunne f.eks vært denne, som er litt mindre.

0:04:07.870,0:04:11.200
La oss si at de målte rundt sirkelen og fant ut

0:04:11.200,0:04:14.960
omkretsen er ca 6 centimeter.

0:04:14.960,0:04:18.210
De hadde en dårlig målebånd, så det var ikke helt nøyaktig.

0:04:18.210,0:04:23.448
Så fant de ut at diameteren var ca 2 centimeter.

0:04:23.520,0:04:30.105
Igjen er forholdet mellom omkrets og diameter ca 3.

0:04:30.230,0:04:32.140
Det ser ut som et mønster.

0:04:32.140,0:04:37.983
Kanskje er forholdet mellom omkrets og diameter det samme for alle sirkler

0:04:38.080,0:04:40.260
De undersøkte derfor enda mer.

0:04:40.260,0:04:42.510
Det var veldig spennende.

0:04:42.510,0:04:45.090
Da de fikk bedre målebånd, målte de

0:04:45.090,0:04:47.630
at diameteren var nøyaktig 1.

0:04:47.630,0:04:49.430
De var sikre på at diameteren var 1,

0:04:49.430,0:04:55.871
men omkretsen var faktisk nærmere 3.1.

0:04:56.000,0:04:57.290
Det samme skjedde her.

0:04:57.290,0:04:59.370
De la merke til at dette forholdet var nærmere 3.1.

0:04:59.370,0:05:01.830
De fortsatte å måle, og de ble bedre og bedre og bedre.

0:05:01.876,0:05:07.864
Den målte mer nøyaktig og kom til forholdet var:

0:05:07.956,0:05:10.807
3,14159

0:05:10.807,0:05:12.550
De tilføyde desimaler

0:05:12.550,0:05:14.096
men desimalene gjentok seg aldri.

0:05:14.096,0:05:18.193
Det var en merkelig fascinerende tall som alltid dukket opp i andre sammenhenger.

0:05:18.300,0:05:20.940
Det tallet er så grunnleggende for vårt univers,

0:05:20.940,0:05:23.500
fordi sirkelen er så grunnleggende for vårt univers.

0:05:23.500,0:05:26.680
Tallet er gjentatt i alle sirkler.

0:05:26.680,0:05:28.865
Forholdet av omkretsen til den diameter lik dette tallet.

0:05:28.865,0:05:32.390
Tallet fikk sitt eget spesielle navn.

0:05:32.390,0:05:41.810
Figuren ble kalt pi. Det er stavet "p" "i", men det er vanligvis skrevet med den greske bokstaven pi som dette.

0:05:41.880,0:05:46.705
Bokstaven representerer dette tallet, som trolig er det mest fascinerende tallet i vårt univers.

0:05:46.790,0:05:51.383
Det ble først oppdaget ved forholdet mellom omkrets og diameter,

0:05:51.383,0:05:55.916
men som du vil lære på reisen gjennom matematikk,

0:05:55.916,0:05:57.160
inngår tallet på mange forskjellige steder.

0:05:57.160,0:05:59.130
Det er en av de grunnleggende ting om universet,

0:05:59.130,0:06:02.121
som gjør at du tror at det må være en eller annen form for orden i universet.

0:06:02.121,0:06:05.180
Før det blir for filosofisk, la oss se på

0:06:05.180,0:06:09.330
hvordan vi kan bruke denne kunnskapen i vår grunnleggende matematikk?

0:06:09.330,0:06:16.104
Nå vet vi at

0:06:16.104,0:06:25.172
hvis vi deler omkretsen med diamteren,

0:06:25.172,0:06:28.400
vi får nummeret pi.

0:06:28.400,0:06:29.500
Pi er akkurat dette nummeret.

0:06:29.500,0:06:33.570
Vi kunne skrive 3,14159 og bare gå videre og videre og videre,

0:06:33.570,0:06:35.950
men det ville være en sløsing med plass, og det ville være vanskelig å stole på

0:06:35.950,0:06:38.570
så vi skriver den greske bokstaven.

0:06:38.570,0:06:40.330
Denne bokstaven.

0:06:40.330,0:06:41.850
Hvordan kan vi bruke det?

0:06:41.850,0:06:44.920
Vi kan multiplisere begge sider av denne med diameteren,

0:06:44.920,0:06:48.640
og vi si at omkretsen er lik

0:06:48.640,0:06:50.820
pi ganger diameteren.

0:06:50.820,0:06:55.570
Vi kan også si

0:06:55.570,0:07:00.266
omkrets er lik to ganger pi ganger radien.

0:07:00.360,0:07:03.450
Det blir ofte skrevet som

0:07:03.450,0:07:07.360
2 pi r.

0:07:07.360,0:07:11.220
La oss se om vi kan bruke den til å løse noen oppgaver:

0:07:11.220,0:07:17.240
La oss si at vi har en sirkel som dette.

0:07:17.240,0:07:22.600
Den har en radius på 3.

0:07:22.600,0:07:28.820
Radiusen er 3.

0:07:28.820,0:07:32.310
Det er kanskje 3 meter, la oss sette enheten m for meter.

0:07:32.310,0:07:34.660
Det er omkretsen av sirkelen?

0:07:34.660,0:07:38.180
Omkretsen er lik 2 ganger pi ganger radius.

0:07:38.180,0:07:42.090
Det er lik 2

0:07:42.090,0:07:47.280
x 3 meter, som er lik 6 meter, ganger pi.

0:07:47.280,0:07:49.520
Det er 6 pi meter.

0:07:49.520,0:07:52.430
6 pi meter.

0:07:52.430,0:07:53.740
Nå kan vi multipliserer det ut.

0:07:53.740,0:07:55.900
Husk pi er et tall.

0:07:55.900,0:07:59.680
Pi er 3,14159 med uendelig mange desimaler.

0:07:59.680,0:08:03.460
Hvis vi multipliserer 6 med pi, får vi 18 komma

0:08:03.460,0:08:05.600
mange desimaler.

0:08:05.600,0:08:07.850
Hvis du har kalkulatoren din, kan du finne det,

0:08:07.850,0:08:10.490
men å holde det enkelt her, skriver man som regel

0:08:10.490,0:08:12.120
svaret i enheter av pi.

0:08:12.120,0:08:14.020
Hvis du multipliserer 6 med 3,14159,

0:08:14.020,0:08:18.510
det må gi et tall mellom 18 og 19.

0:08:18.510,0:08:21.648
Det er 18 komma noen desimaler.

0:08:21.720,0:08:23.450
Vi har ikke kalkulator..

0:08:23.450,0:08:25.300
I stedet for å skrive desimaltall,

0:08:25.300,0:08:27.060
kan vi skrive 6 pi.

0:08:27.060,0:08:29.770
I virkeligheten er sannsynligvis svaret

0:08:29.770,0:08:31.430
litt under 19.

0:08:31.430,0:08:33.770
La oss stille et annet spørsmål.

0:08:33.770,0:08:38.454
Det er diameteren av sirkelen?

0:08:38.580,0:08:42.690
Hvis denne radiusen er 3, så er diameteren det dobbelte.

0:08:42.690,0:08:45.730
Det vil si 3 ganger 2, eller 3 pluss 3

0:08:45.730,0:08:47.170
som er lik 6 meter.

0:08:47.170,0:08:50.750
Omkretsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,

0:08:50.750,0:08:53.620
og radius er 3 meter.

0:08:53.620,0:08:55.110
La oss prøve å finne en annen måte.

0:08:55.110,0:09:01.171
Anta at vi har en annen sirkel.

0:09:01.220,0:09:08.466
Som har en omkrets på 10 meter.

0:09:08.560,0:09:12.990
Hvis du hadde hatt et målebånd og gått rundt den, ville man målt 10 meter.

0:09:12.990,0:09:18.370
Det er diameteren av sirkelen?

0:09:18.370,0:09:22.810
Vi vet at diameteren ganger pi

0:09:22.810,0:09:26.830
er lik omkretsen,

0:09:26.830,0:09:28.700
og omkretsen er 10 meter.

0:09:28.700,0:09:32.466
For å løse dette, må vi dele begge sider av denne ligningen ved pi.

0:09:32.520,0:09:35.860
Diameteren er lik 10 meter over pi

0:09:35.860,0:09:38.710
eller 10 over pi meter.

0:09:38.710,0:09:40.020
Det gir et tall.

0:09:40.020,0:09:42.540
Hvis du har din kalkulator, kan du dele 10 med 3,13159

0:09:42.540,0:09:47.445
og da vil du få 3 komma noe.

0:09:47.500,0:09:48.960
Det er vanskelig å regne i hodet.

0:09:48.960,0:09:50.070
Resultatet er imidlertid et tall.

0:09:50.070,0:09:53.320
For enkelhets skyld, skriver vi ofte svaret på denne måten.

0:09:53.320,0:09:55.270
Hva er radiusen da?

0:09:55.270,0:09:58.590
Radiusen er lik halvparten av diameteren.

0:09:58.590,0:10:02.870
Diameteren er altså 10 pi meter.

0:10:02.870,0:10:06.230
Hvis vi ønsker å finne radius,

0:10:06.230,0:10:07.580
må vi multiplisere det med en halv.

0:10:07.580,0:10:13.160
Vi har derfor en halv ganger 10 over pi, som er en halv ganger 10

0:10:13.160,0:10:18.031
Vi kan nå dele telleren og nevneren med 2.

0:10:18.140,0:10:21.130
Vi får 5 over pi.

0:10:21.130,0:10:23.890
Radius er altså 5 over pi.

0:10:23.890,0:10:25.690
Det er ganske enkelt når du har gjort noen av disse.

0:10:25.690,0:10:31.760
Det er viktig å huske at pi er et tall.

0:10:31.820,0:10:38.640
Pi er 3,14159 og et uendelig antall desimaler.

0:10:38.640,0:10:41.950
Det er faktisk skrevet mange bøker om pi.

0:10:41.950,0:10:45.100
De kan være spennende å lese.

0:10:45.100,0:10:48.340
Det er imidlertid viktig å huske

0:10:48.340,0:10:49.340
at pi er et tall.

0:10:49.340,0:10:54.372
Det er et meget spesielt tall.

0:10:54.372,0:10:55.636
Men det kan være skrevet som et vanlig tall.

0:10:55.680,0:11:00.530
Imidlertid er det ofte lettere å skrive det som pi.

0:11:00.640,0:11:01.680
Nå kan du selv finne ut noen eksempler på dette.

0:11:01.680,0:11:04.843
I neste video vil vi finne ut arealet av en sirkel.